CONTRE - MANIVELLE

Lorsqu'on fait usage de la graphostatiqne , pour déterminer les moments, on commence par ehorclier, comme nous l’avons fait précédemment, le bras en fer à section rectangulaire, qu’on remplace par une pièce en fonte de largeur double (v. § 221), et on passe ensuite de cette dernière pièce à la forme de section en I, an moyen de la table du § 223.

Contre - manivelle.

On désigne, sous le nom de contre -manivelle, une manivelle à bras incliné, qui part du tourillon d’une manivelle ordinaire et qui a la meme axe de rotation que cette manivelle. La fig. 531 représente une contre - manivelle en fer, exécutée d’une seule pièce comme celle de la fig. 525. Ordinairement, le petit bras

Fig. 531.

est dirigé, comme l’indique la figure, eu sens contraire du bras principal, mais souvent aussi il occupe une position différente. Le tourillon et le bras d’une contre - manivelle se déterminent exactement comme ceux d’une manivelle ordinaire. Comme le moment de la pression sur le tourillon de la contre- manivelle a, en général, une faible importance, le bras de la manivelle peut rester tel que nous l’avons déterminé précédemment. Mais, il n’en est pas de même du tourillon correspondant, qui doit être calculé spécialement, en tenant compte des efforts simultanés de

CALCUL CiRAPnOSTATIQUE D'UNE CONTRE - MANIVELLE. 503

torsion et de flexion, auxquels il se trouve soumis dans ce eas. On doit alors recourir à l’emploi de la formule (221) en remarqnant que , la contre ■ manivelle se trouvant conduite par la tnaui vellc, le moment de cette contre -manivelle atteint son maximum pour le milieu du tourillon principal.

Calcul graphostatiqiie de la contre -manivelle.

La fig. 532 représente le diagramme, fourni par la graphostatique, pour une contre -manivelle, dont les deux bras sont obliques par rapport il l’axe de la manivelle principale.

Fig. 532.

Dans cette figure, on a tracé d'abord la ligne des axes AB CD EFG III, en prenant, aussi exactement que possible, les longueurs AB, CE et FG, d’après les longueurs des tourillons correspondants. La pression 1, qui s’exerce sur le tourillon de la contre -manivelle, est supposée dirigée en sens contraire de la pression 2 sur le tourillon principal.

504 CALCUL ORATHOSTÀT1QUE O’i NK CONTRE - MANIVELLE.

Polygone des forces. Dans le polygone des forces, tracé à droite de la figure, la pression l sur le tourillon de la contre manivelle est supposée dirigée de bas en haut et correspond à la ligne 0 1 ; le pôle 0 est choisi sur une horizontale , passant par le point O; la pression 2, sur le tourillon principal, est dirigée vers le bas et représentée par la ligne J 2. Traçons les rayons polaires 0 0, 10, 2 0, puis, dans l'autre figure , menons la ligne a (t parallèle à 1 O jusqu’à son intersection d' avec la direction de la force 2, qui passe par le point I)\ menons également <t g pnralléle à ‘J O, jusqu’à son intersection g avec la direction de la force 3, dont la grandeur n’est pas encore connue, mais qui passe par le point G et qui agit de bas en haut.

Pour trouver cette force, ainsi que celle qui agit en JJ, joignons les points g et 11, Ha sera la ligne de fermeture, qui doit bien être horizontale, puisque, dans le polygone des forces, la ligne de fermeture 00 a été prise elle -même horizontale. Si, dans ce dernier polygone, nous menons 03 parallèle à II g, la ligne 2 3 représentera la troisième force, agissant eu O, de bas en haut, et la ligne 30 la quatrième force, appliquée en G et dirigée vers le bas.

La figure ad' kg H représente, comme on le voit, le polygone funiculaire pour le système qu’il s'agit de construire. Au point k correspond im moment nul (v. § 90). Dans notre tracé, pour plus de commodité, le triangle kg II a été reporté dans la position kg H. Le polygone funiculaire, que nous venons de trouver, peut être utilisé, comme surface des moments, pour une partie de la construction, ainsi que nous allons le voir.

Fuseau AB. La détermination des dimensions de ce fuseau s’effectue facilement au moyen des ordonnées verticales du triangle ab b, lorsqu’on a préalablement calculé le tourillon en A pour la pression 1.

Pièce de tourillon ODE. Cette pièce est soumise à des efforts de flexion, dont les moments sont représentés par la surface cd' e, et à des efforts de torsion, dus à la force 1, dont le bras de levier r = Ce — B b. Pour déterminer le moment de torsion, prenons al = r et menons l’ordonnée IV ‘, cette ligne est le moment de torsion; la surface correspondante pour EDO est donc le rectangle, construit sur IV et ce, qui, composé avec le trapèze cd' e, donne la surface des moments ccd' e e. Comme il peut arriver que la pression sur le tourillon de la contre -

CALCUL O R A P HOSTATIQU K n’UNK CONTRE - MANIVELLE. 505

manivelle agisse seule, auquel cas le côté ad' doit être prolongé jusqu’en m, nous partirons de ce dernier polygone de flexion et nous obtiendrons alors, comme courbe limite de la surface des moments résultante, la courbe ed"c", dont les ordonnées permettent de déterminer les dimensions de CB F. Ainsi que nous l’avons dit dans un paragraphe précédent, la plus petite longueur l, qu’on puisse admettre pour ce tourillon, est celle du tourillon normal d’extrémité, correspondant k la pression 2.

Arbre F G II I. Cet arbre est soumis à des efforts de flexion, représentés par le fvolygone Ffg'H, et au moment de torsion de la force 3, diminué de celui de la force 1. Pour déterminer le moment de torsion de la force ;f , prenons, dans le polygone des forces, un second pôle O', situé sur une horizontale, menée par l’origine de la force 2, et sur la même verticale que l’autre pôle O; joignons 2 O', menons dg" parallèle à cette ligne et prenons <1 n — Ce — li\ l’ordonnée nn représentera le moment de torsion

Fig. 533.

cherché. Si maintenant nous prenons l’ordonnée en a, correspondant à une abscise égale à A a = R — r, cette ordonnée

506 CAECUL (4HAPH08TATIQLE 1)’UNE CONTRE - MANIVELLE.

donnera le moment de torsion de la force 1 sur le liras, lequel agit en sens contraire du précédent. En retranchant cette dernière ordonnée de nn, on obtient la ligne Ff, comme hauteur du rectangle de torsion FI if", qu’il suffit de composer, comme à l’ordinaire, avec les moments de flexion, pour obtenir la surface des moments résultante Ff" g" h"? I. Il peut arriver que la force 1 soit nulle, c’est, par exemple, ce qui a sensiblement lieu dans les machines à vapeur, où le tourillon de la contremanivelle ne conduit que le tiroir; dans ce cas, on doit construire la surface des moments de flexion Ff0g"U, celle des moments de torsion FF0iI et examiner si la surface résultante a des ordonnées plus grandes que la surface précédente, auquel cas ce sont celles-là qui devraient être utilisées pour la détermination des dimensions. C’est le cas qui se présenterait avec • les données de notre figure, où ce second polygone résultant se trouve figuré en pointillé, sans lettres, au-dessus de la ligne FL En supposant que les forces en I se réduisent à un couple, la pièce II I n’est soumise qu’à la torsion et, par suite, le polygone résultant se réduit à un rectangle.

Bras JiC de la contre • manivelle. Ce bras éprouve des efforts de torsion et de flexion, dfis à la force 1, qui agit, dans le premier cas, avec le bras de levier AA„, perpendiculaire à CB prolongé (le moment de torsion est égal à l’ordonnée en a0) et, dans le second, avec le liras de levier A0C (le polygone funiculaire est un triangle, dont CA0 est l’un des côtés et dont l’angle en A0 est égal à baa„). La composition de ces deux espèces de moments donne CBcac" pour la surface des moments (v. fig. 535).

Bras principal EF. La force 2 exerce, en avant, sur ce bras, des efforts fléchissants, dont les moments sont représentés par les ordonnées de la surface D„FF" (l’angle eu D„ est égal à l’angle edg"), et une torsion, dont le bras de levier est DD0, perpendiculaire à FE prolongé; ce même bras est soumis, en outre, à l’action de la force l, qui produit, en arrière, des moments fléchissants, représentés par la surface E0 EF', et un moment de «

torsion, dont le bras de levier est AE0} normal à EF. Les moments de flexion, retranchés les uns des autres, fournissent la surface Ed0c0F"’ F, tandis que les moments de torsion donnent, comme différence, le rectangle construit sur EF] la composition de ces deux surfaces fournit définitivement E e" f" F comme

ARBRES COI! DÉS

surface (les moments. Dans le cas où la force 1 devient nulle, on n’a plus il faire les différences des surfaces de moments de même espèce et on obtient le polygone funiculaire, tracé en pointillé, dont les ordonnées supérieures à celles de la surface précédente sont, par conséquent, celles qu’il convient d’utiliser pour la détermination des dimensions.

Après quelques exercices, on arrive à exécuter rapidement les operations que nous venons de décrire, surtout si l’on a soin de se borner à la recherche des parties importantes, pour lesquelles l’exemple précédent donne déjà, d’une manière générale, les renseignements nécessaires. L’emploi du diagramme, pour déterminer les sections des pièces et la transformation de ces sections, ne pont présenter aucune difficulté, après les indications du § 226. lorsque le bras principal et celui de la contre manivelle ont une direction perpendiculaire à l’arbre , le problème se trouve notablement simplifié, ainsi que le montre le paragraphe suivant. •

Arbre il un seul coude.

Les arbres coudés se divisent en deux catégories, suivant qu’ils présentent un ou plusieurs coudes. La fig. 334 représente un arbre il un seul coude.

Fig. 534.

ne peut se faire, avec quelque exactitude, par la méthode analytique, qu’en entraînant de grandes complications, tandis que la graphostatique permet d’arriver à la solution du problème, d’une

ARBRES COUDÉS

manière à la fois très -simple et très -exacte; aussi, emploierons nous uniquement cette dernière méthode. La fig. 535 donne le tracé des lignes d’axes A ÜCDEFGH d’un arbre coudé à bras inclinés, dont il s’agit de déterminer les dimensions.

L’effort P, qui agit sur le tourillon de la partie coudée, a

pour expression œsu> cn désignant par Q la pression exercée

par le piston dans la direction KM, et par a l'angle de la direction KL de la bielle avec KM. l’our une valeur constante de Q, cet effort atteint sensiblement son maximum, lorsque KL est perpendiculaire au rayon LM. Comme ce maximum diffère

d’ailleurs très -peu de la valeur — correspondant à la position vertical ML, de la manivelle, nous pouvons, sans inconvénient, adopter cette dernière position pour la détermination graphique de P. L’effort en M est parallèle et égal à P; en K s’exerce une pression normale, N — (Jttju , dont le maximum correspond à la position AT, L , M. 11 résulte de là que les

Fig. 535.

ARRHES COUDÉS

moments de flexion du bras de la manivelle et de l’arbre peuvent être considérés comme atteignant leur maximum au même moment et comme produits par une même pression P.

Dans notre figure, E est le milieu du tourillon de la partie coudée, Pet// deux paliers ; nous supposons, de plus, qu’en A soit appliqué un couple, capable de s’opposer il la torsion produite par la forée P, agissant avec le bras de levier S. On voit, d'après cela, que le problème actuel présente la plus grande analogie avec celui que nous avons traité dans le paragraphe précédent. La partie II G remplace ici le fuseau du tourillon de la contre -manivelle, avec cette différence toutefois que la force en H , au lieu d’être une variable indépendante, dépend de la pression P en E.

Polygone des forces. Pour que la ligne de fermeture du polygone funiculaire soit horizontale, on commence par joindre les points B et II à un point quelconque e de la normale Ee prolongée. Cela fait, à partir du point O, on porte la force P, on mène O O et 1 0, respectivement parallèles à lie et Br', puis 02 perpendiculaire à P; la longueur 1 à 2 représente alors la force Pt, qui agit en li, de bas en haut, et la ligne 2 0 la force P„, agissant en //, également vers le haut; 0 2 est la distance polaire.

Fuseau H G de V arbre. Ce bras n'est soumis qu’à une flexion produite par la force P, appliquée en II. Le triangle 11 G g est la surface des moments, dont les ordonnées servent à déterminer les dimensions de la pièce , lorsqu’on a calculé le tourillon en 11.

Fuseau BC de T arbre. La surface des moments de flexion est le triangle B Ce. Pour tenir compte, en outre, de la torsion due au moment PB, menons, dans le polygone des forces, (X 1 normale à P et égale à 02, puis E0e0 parallèle à 02 et égale à E e — R ; 0 E0 est alors le moment cherché , qui donne le rectangle A a' Ce-, en composant, à la manière ordinaire, ce rectangle avec le triangle de flexion, on obtient la surface des moments résultante A B Ce" b" a".

Tourillon DEF. La surface des moments de flexion est d f f e' d'. Pour obtenir celle qui correspond à la torsion produite par la force Ps, agissant en //, avec le bras de levier Ee — R, prenons H g — Ee = R ; l’ordonnée g g représente le moment de torsion. En composant le rectangle de torsion dff " d" avec

ARBRES COUDÉS

la surface de flexion, on obtient dff’e'd" pour la surface des moments. L’ordonnée maximum ce" est la seule qu’on ait h utiliser, puisque le tourillon doit être cylindrique.

Bras coudé GF. Ce bras éprouve un mouvement de flexion, dû à la force P3, agissant en //„, II Ifu étant normal à FG\ la surface de moments correspondante est FGg0ft, où l’angle gü //„ G est égal à l’angle g H g. La force P3, agissant avec le bras de levier II //„, tend , en outre , à produire une torsion, dont le moment h h' s’obtient en prenant H h H Jl0 ; cette ordonnée, reportée en F h'" et G h", donne le rectangle de torsion F h" G h'" ; par la composition de cette surface avec la précédente, on obtient définitivement la surface des moments F G g" g".

Fig. 53C.

Bras coudé; CD. On mène ED„ et //// perpendiculaires à CD. Pour la position KLM de la bielle et de la manivelle, fig. 5.30, la force P, appliquée en D„, tend à produire une flexion en avant, tandis que la force P3, appliquée en //, tend, au contraire, ù produire une flexion eu arrière. Les polygones funiculaires cor-

ARBRES COUDÉS

respondants sont les triangles 7 \Ci et 7/ Ci’ (C i = O 770 dans le polygone des forces et H„h„ ■= CD„). La différence de ees deux surfaces donne Ci" i"' pour la flexion du bras I) C. De plus, ee bras se trouve soumis à deux torsions, l’une en avant, l’autre en arriére; la première est due à la force P, agissant avec le bras ED0 = kk„, dans le polygone des forces, et sou moment est, par suite, 0 k; la seconde, produite par la force P3, avec le bras de levier 777/ -= 77/, dans le polygone funiculaire, a pour moment 77. La différence de ces deux derniers moments, portée suivant C c0 et D d0, donne le rectangle de torsion I)d„ Cc0. Enfin la composition de ce rectangle avec le triangle de flexion fournit la surface des moments C I) 7 7, qui complète la série des surfaces propres à déterminer les dimensions des cinq parties principales de l'arbre coudé.

Le tracé précédent montre très -nettement les efforts auxquels l’arbre se trouve soumis en ses différents points et permet, par suite, de comprendre facilement, dans la plupart des cas, les faits de rupture, signalés pour certaines pièces de ce genre.

Lorsque les deux axes des bras du coude sont perpendicnlaircs à l’axe de l’arbre, la recherche des surfaces des moments se trouve notablement simplifiée.

Dans ce cas, tig. 537, A B CD EF G II représentant la série des axes des pièces de l’arbre, nous supposerons, comme précédemment, qu’en A soit appliqué un couple, dont le moment soit égal et de sens contraire au moment de torsion VU.

Polygone des forces. Nous prendrons ici, pour mesure de la force P, la hauteur ce du triangle Bc II, tracé comme précédemment. Si on fait B b" = ee', qu’on mène b" O parallèle à c 77 et Oh perpendiculaire à 777/', b" b et b B représenteront respectivement les efforts P3 et en 77 et en 77, Oh étant la distance polaire.

Fuseau 77 G. Cette partie n’est soumise qu'à des moments de flexion dont la surface est lî G g.

Fuseau ABC. Cette pièce, soumise à des efforts de flexiou, dont les moments sont représentés par la surface B Ce, est eu même temps sollicitée à la torsion par le moment PR. Si on trace c (f parallèle et égale à la distance polaire b O, c " p parallèle à cette même ligne et égale à Ee - 77, ce" est le moment de torsion, auquel correspond le rectangle de torsion ayant, pour base, AC et, pour hauteur, Aa =»» 77?/" ■* ce'". La

ARBRES COUDÉS

composition des moments de flexion et de torsion donne la surface des moments A B Ce" b' a.

f'ifr- 537.

Tourillon DEF. Soumis à des moments de flexion, dont la surface est CG grc, et sollicité à la torsion par la force agissant en //, avec un bras de levier H = CD — ///’; ce qui donne, pour le moment de torsion, ff = Gf -= Cf'". La surface des moments résultante est CQg'e'e, qui, pour un tourillon cylindrique, peut être remplacée par le rectangle de hauteur G g" — Ce" = ce".

Brus FG. Sollicité à la flexion par la force P3, appliquée en G\ surface des moments correspondante GFf0, dont l'angle aigu G est égal à fllf‘‘, la même force, agissant avec le bras de levier II G , tend à produire une torsion , dont le moment est G g Ch = Fi. La surface des moments résultante est FGh'%.

Bras CD. Sollicité à la flexion par la force P, qui, pour le point C, donne le moment déjà trouvé ec" = Ck, et à la torsion, dont le moment est Cr = Cl — DI. Surface des moments résultante CDdk'.

Pour la même position de E par rapport à B et II, le moment de torsion, qui agit sur le bras CD, a ici une valeur plus considérable que dans le cas où les bras sont inclinés sur l’axe de l'arbre et, par suite, il est nécessaire de donner aux bras droits des dimensions plus fortes. Comme, d'ailleurs, la torsion

ARBRES COUDÉS

de ces bras est d’autant plus faible que les points C et G sont plus rapprochés, il en résulte qu’au point de vue de l’économie de matière, il y a avantage à réduire le plus possible la distance de ces deux points. A ce même point de vue, l’emploi des bras obliques se recommande encore par ce fait que la longueur totale FG H, ou DG B, est nécessairement plus faible qu’avec les bras à angle droit.

Il arrive fréquemment qu’un arbre à coude unique doit être construit de telle manière que la torsion puisse s’exercer, tantôt à une extrémité, tantôt à l'autre. Il convient alors de tracer les surfaces des moments pour les deux cas, de les superposer et de prendre, pour chaque point, la plus grande des deux ordonnées qui lui correspondent. 11 est bien évident qu’ou doit adopter, dans les deux tracés, la même unité de mesure et la même distance polaire pour le polygone des forces. On rencontre des exemples de cas de ce genre dans les pièces intermédiaires des arbres coudés des machines de navires à roues (avec cylindres à vapeur oscillants) , établies d’après la disposition de Penn et dans lesquelles le coude de la pièce intermédiaire commande les pompes à air. Toutefois, dans ce cas, le genre d’action est un peu différent de celui que nous avons admis dans le tracé précédent et il est préférable de recourir à un tracé spécial, comme nous allons le faire.

Soit A B C DE FG H , tig. 538, la série des axes de l’arbre coudé. Supposons qu'abstraction faite des forces appliquées en F, on ait introduit un couple, dont le moment soit représenté

Fig.

K« liteaux, le Constructeur, 33

ARBRES COUDÉS

par Bb =■= Ce -= G g = H h. Les effets (lus à ce couple seront les suivants.

Fuseau ABC. Simple torsion, dont le moment, transformé en moment de flexion (v. IV, § 16, pour M, = 0), doit être porté suivant BU = Ce = % B b.

Fuseau G H. Même effet que pour ABC; la surface des moments a pour hauteur H h' •= G g' «*= Ce'.

Tourillon DEF. Ici encore le couple donne lieu au même moment de torsion que pour les deux fuseaux et on a Dd0 = Ff9 - BU.

Bras coudé CD. Le couple produit, en chaque point de ce bras, une flexion, dont le moment a pour valeur Ce" ■=» Dd

— Ce; le plan de flexion est perpendiculaire au plan de la figure. La surface des moments est un rectangle de hauteur Bb - Ce.

Bras coudé F G. Flexion et torsion simultanées. Décom-

posons le couple, comme on l’a indiqué au point G, en deux autres, l’un normal à l’axe du bras, l'autre suivant l’axe de ce bras. Au premier correspond le rectangle de torsion GFf'g" et au second le rectangle de flexion FGi*. Si on prend pq

— blt Gi, pr = ■ % G g", tp = Gg' — qs + qr, on obtient le rectangle FGg'f", qui représente la surface des moments résultante des deux premières.

Le tracé que nous venons de faire ne tient aucun compte des forces qui peuvent être appliquées au point E. Dans le cas où il en existe, on commence par déterminer séparément tous les moments de flexion et de torsion , correspondant aux forces et aux couples; cela fait, pour chaque partie de l’arbre, on ajoute ou on retranche, suivant leurs directions, les différents moments de torsion qui lui correspondent et on opère de même pour les moments fléchissants, en ayant soin d’ailleurs de tenir compte de la position des plans de flexion (v. § 44); eufiu la composition des moments de torsion et de flexion, ainsi obtenus, fournit, pour chaque pièce, la surface des moments résultante.

Le travail qu’entrainent , pour le bureau de dessins d’une usine de construction, les tracés du genre de ceux que nous venons d’iudiquer est, en réalité, d’une bien faible importance, eu égard aux nombreux services qu’ils peuvent rendre; en particulier, ils offrent, pour le constructeur, le grand avantage de le fixer exactement à l’avance sur les efforts, auxquels se trouverout