ARBRES A COUDES MULTIPLES

soumis les divers éléments de pièces en fer forgé, d’nne exécution difficile, comme celle des arbres coudés.

Arbres il coudes innltiples. Arbres de locomotives.

Parmi les arbres en fer forgé ou eu acier, i\ coudes multiples, les arbres coudés des locomotives présentent une importance toute spéciale. Par suite de la complexité des différents genres d’efforts auxquels ces pièces se trouvent soumises, il est à peu près impossible au praticien de les soumettre au calcul. La méthode grapbostatique , au contraire, ainsi que nous allons le montrer, permet d’arriver à des résultats très- nets et offrant d'ailleurs toute sécurité, à la seule condition d’être appliquée par un dessinateur, qui se soit suffisamment exercé sur les tracés de constructions plus simples, douués précédemment. Nous elioi-

Fig. 539.

ARBRES 'COUDÉS DE LOCOMOTIVES

sirons ici, comme exemple d’application, un arbre de locomotive avec cylindres intérieurs, tel que celui représenté par la fijç. 539.

Comme la grandeur des roues intervient dans le tracé du plan des moments, nous les avons reproduites avec l’arbre. C\, Cs sont des plans verticaux, passant par les axes des cylindres, yl, et yl, les milieux des supports des tourillons, B, T\ et BtDt les portées des moyeux des roues; les plans des axes des coudes, eu Cl et Ct, sont perpendiculaires l’un à l’autre. Cela posé, dans la position indiquée sur la figure, l’arbre se trouve soumis à trois genres d’efforts: 1° les pressions, contenues dans un plan vertical, qui sont dues au poids de la locomotive et k l’action latérale des rails sur les rebords des roues; 2° les actions horizontales, qui comprennent la pression du piston sur la manivelle Ct et la résistance des rails (l’adhérence); 3° la pression, dirigée obliquement, de la bielle sur la manivelle (\ . Nous négligerons les autres actions accessoires, telles, par exemple, que celles dues aux tiges d'excentriques de la distribution et nous considérerons successivement les trois genres d’efforts que nous venons d’indiquer.

Forces et moments dans le plan vertical. Fig. 540. A la hauteur du centre de gravité de la locomotive est appliquée, en SB, la partie Q du poids de cette locomotive, qui correspond à l’arbre coudé. Par suite des mouvements de lacet et de l’action île la force centrifuge dans les courbes, il se développe une force horizontale II, qui peut être évaluée à ijs Q. La résultante R des forces Q et 11 représente alors la charge île l’arbre, que nous pouvons décomposer en pressions P, et /', sur les tourillons, en yl, et yl,, et en pressions y, et sur les têtes des rails F, et Fs. Ia>s deux forces (J, et V* sc décomposent elles -mêmes chacune eu deux autres sur les portées des moyeux. Si, de toutes les forces ainsi obtenues, nous ne considérons que les composantes normales à l’axe de l’arbre, nous arrivons définitivement à six actions verticales, tendant à produire la flexion de l’arbre; les unes 1, 2, 3, 4, appliquées en Du yl,, yl, et />,, sont dirigées vers le bas, tandis que les deux autres 5 et 6, en J5, et R,, sont dirigées vers le haut. Si maintenant nous choisissons un pêde 0 (à une distance arbitraire de F, mais qui doit rester la même pour tous les tracés suivants), nous formerons le polygone des forces F i ü , puis le polygone funiculaire ou la surface des moments dx a, a, dt b, <#, , qui, pour chaque point de l’arbre, situé

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

dans le plan vertical (ici le plan de la ligure) donne, par l’ordonnée correspondante, le moment fléchissant; la surface totale se trouve désignée par V.

Forces et mometds dans te }>lan horizontal. Fig. 541. Ainsi que nous l’avons expliqué dans le paragraphe précédent, la pression P sur le tourillon, pour la position LM de la manivelle, est légèrement supérieure à la pression Pn du piston; mais, au point de vue de la ro Dit ion de l’axe, son moment

(co^â ^rosaj 8e r*^uit précisément à P0R, de telle sorte que

la roue à gauche étant supposée glisser sur le rail, l’autre roue se trouve maintenue sur le second rail par un effort correspondant an moment P0R, c’est-à-dire que la résistance an glissement 3, en Et, est égale à ^P0. Au moyen de cette dernière

force et des résistances l et 2 sur les tourillons, il est facile de construire d’abord le polygone des forces Ai 2 U, puis le polygone funiculaire 11 (en hachures claires), qui représente les moments

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

correspondant aux forces horizontales. (Les forces l et 2 ont été obtenues en déterminant d’abord la position de la résultante des forces 3 et 4, parallèles et dirigées dans le même sens, puis en décomposant cette résultante 3 + 4 en deux composantes, 1 et 2, appliquées en A, et .4,).

Fig- 541.

Forces et moments dons le plan incliné des bielles. Au point G , est appliquée la force Q = 5, dont l’inclinaison sur l’horizontale est donnée par l’angle MK L = a. Si nous décomposons cette force, comme l’indique la figure, en deux autres 6 et 7, appliquées en A , et At, nous pourrons former le polygone des forces, avec la distance polaire adoptée précédemment, puis le polygone funiculaire S (en hachures noires), qui peut être utilisé comme surface des moments, pour les flexions, dans le plan incliné des bielles.

Composition des trois polygones funiculaires correspondant à la flexion de Varbrc. Fig. 542. Comme les trois genres d'efforts, qui tendent à produire la flexion , agissent simultanément sur l’arbre , nous devons chercher à les composer. Dans ce cas , nous pouvons, conformément à une remarque du §44, opérer directement avec les ordonnées, représentatives des moments, comme avec les forces elles-mêmes. Nous formerons donc, pour une

ÀEBKES COUDÉS DE I.OCOMOTIVE8. 519

série de points de l’arbre très - rapprochés , les polygones d’ordonnées correspondantes, en ayant bien soin de tenir compte des directions; la ligne, fermant chacun de ces polygones, fournira,

Fig. 542.

en grandeur et en direction, le moment résultant. Un de ces polygones d’ordonnées, représenté dans la fig. 540, à gauche et à la partie supérieure, correspond au point C,. L’ordonnée verticale V est dirigée de bas en haut, l’ordonnée horizontale H, qui vient ensuite, est portée de droite à gauche, ainsi que l’ordonnée inclinée S\ par conséquent, la résultante T, qui correspond à une ordonnée dirigée en sens contraire , s’obtient en joignant le point de départ de V avec l’extrémité de S. En répétant la même opération, sur toute la longueur de l’arbre, on arrive à la surface des moments Dt D, b, at q q a, ht , qui donne les flexions de toutes les parties de cet arbre (à l’exception de celles des bras coudés).

Moments de torsion pour l'arbre. Pour la position des mani velles , que nous avons prise comme point de départ , une seule de ces manivelles tend à produire sur l’arbre une torsion, dont le moment est PR. Mais, si les manivelles se trouvent inclinées, toutes les deux, de 45° sur l'horizontale, le moment de torsion pour les fuseaux d’extrémités, C, D, et C’,/),, devient sensible-’ ment égal à \>:2 PR, ou 1,4 PR. Bien que, pour cette position de manivelles , les moments de flexion soient légèrement différents de ceux que donne le dernier diagramme , c’est cette valeur

AKBBES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

du moment de torsion qne nous introduirons dans le tracé, en faisant D,d\ — Did\ ■=■ 1,4 PB, tandis que, pour le corps de

Fig. 543.

toutes ces quantités étant rapportées, bien entendu, à l’échelle déterminée par l’unité de mesure des forces et celle de la distance polaire dans les polygones précédents.

Composition des moments de flexion et de torsion. Les moments de flexion et de torsion, composés d’après la formule du § 45, donnent la surface des moments Z), Z), ct\ b'\ . . . <t\, qui permet de déterminer les dimensions à donner aux deux fuseaux ClDl et C,Dt, ainsi qu’au corps de l’arbre 6’, C,, à la seule condition de chercher préalablement le diamètre en un point, correspondant à l’un quelconque des moments, à l’ordonnée Z?,?»",, par exemple. Comme, d’ailleurs, le diagramme n’est pas symétrique par rapport au milieu de l’arbre, il convient d’adopter pour les deux moitiés de cet arbre, la moitié du diagramme, qui présente les ordonnées les plus grandes.

Tourillon de manivelle en Ct. Les deux manivelles ont été reportées séparément dans les fig. 545 et 546, afin de permettre de représenter plus commodément les moments correspondants. Le tourillon FG, en Ct, est soumis d’abord aux flexions, dont les moments, fournis par le tracé de la fig. 543, forment ici la surface FGct, fig. 545. Pour déterminer les efforts de torsion, il convient de prendre toutes les forces appliquées

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

à gauche du point E\ nous allons commencer par chercher leur résultante. Les forces l , 2 et 6 de la fig. 5-10 agissent verticalement; leur somme algébrique fournit la force verticale I. La force horizontale î de la lig. 541 est dirigée d’avant en arrière; elle porte, sur notre figure, le n" H. La force oblique 6 de la fig. 541 est également dirigée en arrière, vers le bas; elle porte le n° 111. La ligue (non représentée), allant du point C à l’extrémité de III, donnerait la résultante totale, dont la composante horizontale IV, agissant avec le bras de levier EF *- R , produit la torsion du tourillon. Dans la fig. 544 , prenons une longueur «0. égale à la distance polaire, portons IV à partir de 0, vers le bas, menons la ligne alVe et faisons af **= R; le segment fe de la perpendiculaire à af représente le moment de torsion , qui est reporté sur la fig. 545 en Ff‘. Le rectangle de torsion correspondant, composé avec la surface FGcl} donne FGc\ pour la surface des moments.

Fig. 544. Fig. 645.

Bras de manivelle E F. Le polygone des ordonnées pour le point E est représenté par la fig. 544, en VlHiSlTl. La composante horizontale h1 du moment résultant T, produit, sur le bras E F, une torsion, dont le moment est représenté sur la fig. 545 par Fd = A, ; la composante verticale r, correspond à une flexion du bras, dans le plan de la figure, Fb = v, ; en outre, la force IV, appliquée en E, produit sur ce bras, normalement à ce plan,» une flexion, dont le moment en F est représenté par b b,. La composition des moments fléchissants fournit la surface EFb'b", qui, composée elle -même avec le rectangle de torsion EFd donne définitivement la surface des moments résultante EFb“‘.

522 AKBKES COUDÉS DE LOCOMOTIVES. I

Bras de manivelle GH. Pour le point H, le polygone des ordonnées est VtHtSt Tt. La torsion du bras GH correspond à la composante horizontale ht\ son moment se trouve représenté par H d, =■ /<, ; la composante verticale e, donne une flexion, dans le plan de la figure, Gb\ ■*» K, ; le bras est soumis, en outre, à une seconde flexion, normale à ce plan, duc à la force P, agissant sur GF et dont le moment est PB = fh (en prenant, dans la fig. 544, Og = P, af == R)\ le moment se trouve reporté en b,bs =- fh. lai résultante des moments fléchissants est GHb\b't, qui, composée avec le rectangle de torsion GIIdl, donne pour la surface des moments GHb"’t.

Tourillon KL. Fig. 546. Ce tourillon est d’abord soumis aux moments fléchissants, compris entre M et J\ à ce genre d’action correspond la surface des moments KLct, fournie par la fig. 543. Toutes les forces, qui agissent à droite de Ct, tendent à produire la torsion de ce même tourillon. La résultante des forces 3, 4 et 5, fig. 54<>, agit verticalement de haut en bas et se trouve représentée ici par F; de même la résultante (ou la différence) de 2 et 3 (fig. 541), qui est horizontale et dirigée d’avant en arrière, est figurée en 17; enfin on a reporté en VII la force 7 de la fig. 541, qui est également dirigée en arrière, obliquement au plan de la ligure. La composante verticale de la ligne qui ferme le polygone des forces V, VI et VII tend à produire une torsion du tourillon, puisque, d’après ce que nous avons supposé , le bras de manivelle J K est dans la position

Fig. 546.

horizontale. Le moment de cette composante verticale a pour grandeur kk\ Le tourillon est, en outre, sollicité à la torsion

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

par le couple qu’introduit ici le coude de gauche (v. le texte correspondant à la tig. 53H); le moment de ce couple, qui est donné en Cl c', , sur la fig. 543, se trouve représenté ici par Kk; comme il agit en sens contraire du moment kk', précédemment trouvé, il en résulte que le moment de torsion du tourillon KL se trouve finalement représenté par Kk', qui, combiné en chaque point avec le moment de flexion, donne pour surface des moments résultante KLct.

Bras de manivelle J K. Ce bras est sollicité à la torsion par le moment K d de la composante verticale e, du polygone des ordonnées V3I13S3T3; il est également soumis, dans le plan vertical, à une flexion, dont le moment est K b =- K k, conformément à ce qui a été dit précédemment pour la fig. 538; de plus, il est soumis, dans le même plan, à une flexion, due à la composante verticale des forces V, VI et VII et dont le moment, an point K, a pour valeur b b3 (voir pour la détermination de ce moment le tracé supérieur de la figure 544); enfin il éprouve, dans le plan horizontal, une troisième flexion, dont le moment est bbx et qui correspond à la composante horizontale h3 du polygone des ordonnées. La composition de tous ces moments fléchissants fournit la surlace JKb\b't, qui, combinée elle -même avec le rectangle de torsion KdJ, donn eJKb'\ pour la surface des moments résultante.

Bras de manivelle LM. Le moment de torsion Ldt est égal à la composante verticale vt du polygone des ordonnées pour la position M. Des deux flexions, dans le plan vertical, l’une a un moment constant L b3 «■= Kk, l’autre un moment variable, dont la valeur est b3bt pour le point L ; le troisième moment fléchissant b3 bh est égal à la composante horizontale ht du polygone des ordonnées. La résultante de tous ces moments fléchissants est la surface M Lb't, qui, composée avec le rectangle de torsion Ldlt donne définitivement MLb"3 pour la surface des moments.

Des quatre bras de manivelle, J K et G II sont ceux dont les surfaces de moments sont les plus considérables. 11 convient donc île superposer ces deux surfaces (J Kb"t et G Ilb "3) et d’utiliser celle dont les ordonnées sont les plus grandes. On applique alors aux quatre bras les dimensions correspondantes, en leur faisant subir quelques simplifications, si on le juge convenable.

AKBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

Le tracé du plan des moments, pour un arbre doublement coudé , est, comme on le voit, assez laborieux et il exige qu’on traite les différentes questions qui s’y rapportent avec la plus sérieuse attention. Les résultats, fournis par ce tracé, ont d’ailleurs une très -grande importance, puisqu’ils permettent, en définitive, d’adopter sans danger, pour les différentes parties de l’arbre, une tension allant jusqu'aux deux tiers de la charge limite d’élasticité, c’est-à-dire 10* pour le fer et 15 à 16 pour l'acier, ainsi que nous l’avons constaté en appliquant notre diagramme à l’examen de pièces de ce genre d’une bonne construction.

Pour exécuter un tracé de cette nature sur une planche à dessiner, il est très - iuijiortaut de ne pas prendre une échelle trop petite; on doit éviter, toutefois, de la prendre trop grande, afin que le tracé des lignes parallèles ne devienne pas trop difficile. L’échelle la plus convenable est celle qui donne, pour le tracé de l’arbre entier, une longueur de 300 à 400““. De plus, on doit, autant que possible, pour les polygones de forces, déterminer la distance polaire, en se guidant sur des tracés antérieurs du même genre; une distance polaire trop petite donne un diagramme d’une trop grande hauteur, tandis qu’il se trouve trop écrasé avec une distance trop grande: les distances que nous avons adoptées, dans les figures précédentes, ont l’avantage de donner des diagrammes bien visibles. On peut se borner à un simple tracé au eravon fin, à la condition de différencier les surfaces des diagrammes par des teintes légères et foncées. I’our le dernier diagramme, qui représente la surface des moments résultante, le mieux est de l'indiquer par une simple, bordure d’une teinte vigoureuse, en rouge foncé, par exemple (v. fig. 543, <C\V\ ...) et de le limiter extérieurement par des traits de force. Il est utile, en général, de joindre au tracé une légende, indiquant la nature des surfaces représentées par les différentes teintes, afin de faciliter l'emploi de ce tracé pour des applications postérieures. Le dessin d’exécution de l'arbre lui -même doit être, autant que possible, établi sur la même feuille que le plan des forces, en ayant soin de faire coïncider les verticales passant par le indien de chaque figure, de telle manière que chaque section de l’arbre se trouve directement sur la même verticale que l'ordonnée qui lui correspond, dans la surface des moments

Avec un peu d’habitude, on arrive à distinguer assez facilement, parmi les actions auxquelles la pièce est soumise, celles