KK8UI.TANTK SYSTÈME I >K FOUI ES

Résultante d’un système de forces.

Lorsqu’un système de forces, 1 à 5, pur exemple, fig. 17, ne donne pas un polygone fermé, ces forces ne se font pas équilibre en leur point d'applieation commun O. Pour produire l’équilibre, il faut appliquer à ce point O une nouvelle force B, qui se trouve déterminée, en grandeur et en direction, par

Fig. 47.

la ligne 5 6 qui ferme le polygone. Cette force, faisant équilibre »

aux forces données, est égale et de sens contraire à leur résultante R. Il suit de IA que, dans un polygone de forces fermé, chacune des forces, prise en sens contraire, représente la résultante de tontes les autres. Dans nu polygone de forces qui ne se ferme pas de lui même, la ligne qui ferme ce polygone, prise en sens contraire du mouvement, représente la résultante des forces. Ainsi, dans la fig. 47, Aï est à la fois la résultante

de 1 et 2 et de 3 , 4 , 5 et fi. I)e même , 1 3 est la résultante

de 2 et 3, comme de 4, 5, 6 et 1, etc. (1).

Forces agissant sur un système matériel dans un plan. —

Polygone funiculaire.

Lorsque des forces, appliquées A un corps solide, se font équilibre et qu’elles no se rencontrent pas toutes en un même

(1) Les propriétés que nons venons d'énoncer, an snjet des forces, sont

également vraies pour tontes les grandeurs dans lesquelles on s à tenir compte

POI.ÏCIONK FlNKTI.AlkK O! AUTICF1.É.

point (co (jui arrive fréquemment, puisque n forces peuvent avoir V l'U) pointa d’intersection), le mode précédent de représen-

tation n’est plus immédiatement applicable. Toutefois, on peut toujours ramener aux problèmes simples les cas les plus compliqués. A cet effet, en supposant d’abord que toutes les forces agissent dans uu même plan, imaginons le corps remplacé par un système de tiges rigides, formant un polygone, dont les sommets soient situés sur les différentes lignes qui représentent ces forces; imaginons, de plus, que ees tiges, susceptibles de résister aux efforts de traction et de compression agissant suivant leurs axes, aient des directions et des positions telles que chacune des forces partielles données soit en équilibre avec les deux forces, dirigées suivant les côtés du polygone , qui concourent au même point qu’elle.

Le polygone , qu’on obtient ainsi , tig. 48, porte lo nom de polygone funiculaire ou articulé; dans les voûtes il constitue ce qu’on appelle la courbe (les pressions, les différents éléments de cette ligne se trouvant généralement, dans ce cas, soumis à des efforts de compression.

Les sommets K d’un polygone funiculaire sont les articulations. D’après ce que nous venons de dire, un polygone de

Fig. 48.

de la direction; c'est ainsi i|u'ellc.s s'appliquent aux vitesses réelles ou virtuelles, aux trajectoires passant par des points déterminés, aux lignes qui, dans une voûte, passent par les centres de gravité des voussoirs. Tous les problèmes relatifs à ces lignes peuvent so traiter, comme pour les forces, par des polygones.

Kqmi.lliUK UliS FUltC KM KXTK1UKIJKKS.

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ce genre peut servir à la détermination des forces inconnues agissant sur le corps qu’il représente, puisque, en chaque articulation, il y a équilibre entre la force extérieure et les deux tensions, dirigées suivant les côtés correspondants; ainsi, par exemple, si l’on considère l'articulation Kï} les tensions St.a et St. 3 ont pour résultante une force, égale en grandeur et en direction à la force P2 , mais agissant en sens contraire.

Iaîs efforts de traction ou de compression, qui s’exercent suivant les côtés du polygone articulé, constituent ce qu’on peut appeler les forces intérieures.

Connaissant le polygone funiculaire, on peut appliquer les procédés graphiques précédents à la détermination des grandeurs des forces. Or, pour arriver au polygone funiculaire correspondant à un cas donné, nous avons à chercher d’abord les conditions d’équilibre

1", des forces extérieures,

2", des forces intérieures,

en supposant, comme nous l’avons fait, que, pour chaque articulation, les forces de la première série soient en équilibre avec les forces correspondantes de la seconde.

Equilibre des forces extérieures dans le polygone funiculaire.

Si l’on prend la résultante des forces 1\ et P*, qu’on la transporte en un point convenable de sa direction pour la composer avec P3, qu’on agisse de même avee cette nouvelle résultante et avec P4, etc., il faut, dans le cas où l’équilibre existe, que la résultante obtenue avec l’avant-dernière force P„ y, soit égale et de sens contraire à la dernière force P„. Le procédé de composition, que nous venons d’indiquer, conduit d’ailleurs toujours au meme résultat, tant que les directions et les grandeurs des forces restent invariables. On peut donc, saus troubler l’équilibre des forces extérieures, supposer milles les distances entre les points d’insersection. Mais alors on peut effectuer leur composition et construire le polygone des forces, exactement comme dans le cas, examiné précédemment, où toutes les forces concouraient en un même point. Ce polygone peut donc

EQUILIHKK DES E0KCE8 EXTÉIUEtlU».

également servir à déterminer les conditions d’équilibre de forces agissant sur des points matériels distincts. Le polygone se ferme de lui -même, s’il y a équilibre; dans le cas contraire, il donne, en grandeur et en direction, la résultante totale et, par suite, la force qu’il convient d’introduire pour arriver à l'équilibre. las tracé du polygone des forces permet donc de déterminer deux inconnues, la direction et la grandeur d’une force, ou encore les directions de deux forces, dont les grandeurs seraient, connues; il est évident que le même tracé peut fournir la direction d’une force et la grandeur (absolue) d’une autre force, en supposant connues, la grandeur pour la première et la direction pour la secoudc. — Dans ces différents cas, dont le dernier se présente assez rarement dans les applications, on peut arriver à la solution cherchée, à l’aide d’une des méthodes suivantes.

I. Déterminer les (fraudeurs des deux forces, quand on connaît leurs directions. Par les points 4 et A du polygone, tig. 49, on trace les deux directions données, 4 5' et A G', qui se rencontrent en 5; les longueurs 4 5 et A 5 représentent les forces cherchées, 5 et 6. Si les directions peuvent être portées dans les deux sens, le problème est susceptible de deux solutions; la seconde est représentée, fig. 49, par les ligues A VI' et 4 F', qui donnent, pour les forces, AV et 4 F.

II. On connaît les grandeurs des deux forces, déterminer leurs directions. Des points 4 et A, fig. 50, avec les grandeurs données des forces 5 et 6, on décrit des arcs de cercle, qui, en se coupant, déterminent les directions cherchées. Comme, en général, on aura ainsi deux points d’intersection, on voit que le problème comporte deux solutions , 4-5 avec 5 • A et 4 • F avec V A.

Fig. 49. Fig. 50. Fig. 51.

III. On connaît la grandeur de lune des forces et la direction (le Vautre. Par le js>int 4, fig. 51, on trace la direction

FOKC'KS KXTKkIKUKKS. AtTUCATIONS.

donnée 45' et, du point A comme centre, avec un rayon égal à la grandeur de la force 6 qui est donnée, on décrit un arc de cercle, qui coupe généralement la première ligne en deux points 5 et K; il y a donc, dans ce cas encore, deux solutions. Si le eerele ne. donnait aucun point d’intersection, on devrait en conclure que les données sont incompatibles.

Les exemples suivants feront comprendre comment, dans la pratique, peuvent s’appliquer ces principes.

i" Kxempie. Une grue AUC est chargée en A d'an poids L; ta partie U est cylindrique et engagée dans un support à galets; la partie C rejmse dans une crapaudine. Le corps de la grue a un poids O et son centre de gmcité est en S. On propice de déterminer les forces F, et F, en 11 et en C. — On cannait les directions des forces L et G; elles sont verticales; la direction de P, est horizontale, à la condition de négliger les frottements qui s'exercent en Jt. Si maintenant on imagine que, par un procédé eonveiuMe (voir par ex. § 39), on ait déterminé la j usition TQ de la résultante Q — G -j- L des forces G et L (1) , le point d'intersection O de cette ligne arec l'hcmizontale F , doit ajqmrtcnir à la direction de Pt. Cette force doit d'ailleurs passer également par le centre du picot, en C, f» admettant, comme ni ms l'avons fait ici, que la crajundine enrelopjie le j lirai. J si direction de la force P , est donc CO et nous )tourons, jwr suite, à Vaille du polygone des forces, fig. 53, déterminer les grandeurs de Ft et de F,. A cet effet, il

Fig. 52. Fig. 53.

suffit de porter, sur une verticale, en GF,, la force (p - G “j 1. , de mener GF, parallèle à O F, et F, F, parallèle à CO, [tour obtenir les forces F, et F,. La décomposition de F, donne ensuite les deux forces, horizontale et verticale, auxquelles se trouve soumis le picot C.

5* LxemjUe. Une grue, chargée comme précédemment, fig. 54, s'appuie en 11 sur un picot cylindrique et est soutenue en C juir un galet conique, roulant sur un tronc de cône, lxs deux cônes ont leur sommet commun au milieu du tourillon F. On connaît, comme précédemment , la résultante

(1) fU\ ms les >j rue* ordinaires de quais. G, qui varie ailleurs surhrnt avec la longueur portée. Il A, est compris entre *!& et Vi de la charge limite de la grtie.