KK.SI8TANCE A LA FLEXION
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Valeur de la tension 3.
Dans une pièec soumise à la flexion, la limite d’êlastieité, soit à la traction, soit i\ la eomiiression , est atteinte lorsque la tension (It'velopjit'e 6 devient éj^alc i\ T ou à T■^. Il importe donc (pie cette limite ne soit déliassée sur aucun des deux côtés de la section, l’our les sections qui présentent deux axes de sjmétrie, cette condition se trouve remplie, en prenant, pour £, la jilus petite des deux valeurs T ou T,, réduite dans un certain rapport jiour avoir une sécurité convenable; ainsi, pour la fonte, on partira de la cliarfte correspondant à la trai'tion.
.Vu contraire, lorsque d ^ on commencera par chercher quel est le côté de la section qui travaille par traction, quel est celui qui travaille par pression. Si alors
« est l’écartement maximum des fibres sur le côté soumis à la traction, o, sur la partie soumise à la compression, T et T^ les charges limites correspondant à la traction et à la compression,
M le moment fléchissant,
m le coefficient de sécurité qui, suivant les cas, sera pris égal à 2, 3 ou 4, on aura:
pour -> T,
■* »i rt
pour ^ < ÿ,
i;i fij
Exemple: pour la fonle, on n y “ '/i; d'autre pari, rfnn* la section
jKiraboliquc du N" XXIV, l'effort de traction s'exerce du côte de la base-
Celle section donne a ^ h , a, = * 5 h, • on a donc — > ».- ; jsir
suite, on devra prendre pour @ la valeur — oh —, <foHjVr= ’ ir^bh-. — ’ r r mm’ m 35
Pour le fer forgé oit 7’= 7’,, u«« pareille recherche n'est pas nécessaire. La
fonte est d'ailleurs à peu près le seul corps pmir lequel, dans Fétat actuel
de nos conmissatuxs , on doive attribuer à T et à T, des valeurs différentes.
NOUDEH ü’ÉÜALE UÉSISTANCE,
Sections dVf^ale résistance.
Dans les pièces destinées i\ travailler par flexion, comme les poutres, il convient, pour assurer la meilleure, utilisation de la matière, de la répartir aussi loin "que possible de l’axe neutre, tout en eonservant entre les diverses parties de la section des
liaisons sutlisantes. 11 est avantiigeux, eu outre, de choisir des
formes de section telles que, i)our une charge suffisante, les parties comprimées et les parties allongées arrivent à tra-
vailler en meme temps à leur limite d’élasticité. On doit, pour cela, prendre
fl, T,
IjCs sections, dans lesquelles ce rapjmrt est observé, prennent le nom de sections d’égale résistance ( 1 ). l’our le fer forgé, les sections à deux axes de symétrie sont donc les plus avantageuses, puisque T ^ T^. Pour la fonte, et dans l’hypothèse où la force fléchissante conserve une direction constante, les sections les plus favorables sont celles où «, = 2fl, attendu qu’alors
T^ = 2 T. C’est en obser\ ant ce rajiport qu’on a tracé les sections suivantes, dans lesquelles h et b, ])cuvcnt avoir, entre eux, un rapport arbitraire (Fig. 1, 2, 3).
Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3.
On a pour ces sections, si h, = h:
rp =
(1) Voir à ce sujet Klose; Théorie des ]poutre.s en fer à double cornière, Hanovre 1862. C'est à cet ouvrage qu'est empruntée la seconde des sections représentées ici.
késistan(:k a la fuexion.
Le côté qui travaille par traction est celui qui est le j)lu8 rapproché de l’axe neutre; comme module de section, on a pris
la valeur —, de telle sorte que l’on doit prendre i)our S le «1 T
rapport F désipie encore la surface de la section, l’emploi i)roportionnel de matière, eu prenant pour unité celui qui correspond i\ la fig. 1.
La valeur du <f est donnée d’une manière générale par l’expression
Dans cette formule, les lettres affectées d’un indice se rapportent î\ la section à étudier, les lettres sans indice à la section connue, ])rise comme unité de déi)ensc de matière; on doit poser, en outre, F = (ih*, Z= oh’ et S = S,. S et S,
n’ont de valeurs différentes (]ue si le rapport — n’est jms le
rt,
même dans les deux sections, l^ii relation (8) prouve d’ailleurs que de petites variations dans ce rapport n’ont ([u’une influence très - faible.
Si la force fléchissante iigit alteniativcment dans des directions opposées, les sections à deux axes <le symétrie sont, meme pour la fonte, les ]»lus avantageuses et l’on doit prendre, comme limite de. ©, la plus |)ctite des charges limites d’élasticité. Si la direction de la force change d’une manière continue, de telle sorte que l'axe neutre tourne autour du centre de gravité (axes et arbres de transmission), la section annulaire est la plus avantageuse, mais on i)cut aussi adopter les sections en croix ou étoilées, comme celles des N“ IX, XI et XXIV du t? 7, attendu que, pcmhuit la rotation, ou ramène constamment dans le plan de flexion des éléments de .section très - éloignés de l’axe.
Kxtmjile: on veut conslruire un bras en fonte, encastré comme au A'" 1, § G, pour une charge 1‘ = avec une longueur l => 3". Nous choi-
sirons la section indiguée fig. 3 et tu/us aurons à faire, dans l'équation (4), ■U = 3^. Or M = 3000x3000, Z = En admettant 3 qiourk coefficient de sécurité, nous aurons S = 0,3 x 13 = 7,5. Ces valeurs, introduites dans
l'équation, donnent 3300 x 3000 ~ 7,3 X 35 d'oii b — 100 J
6=23“*“. La surface de la section est alors 33 x 33- = 13335""'^. Les autres dimensions se déterminent d'ajmés les nombres proportionnels inscrits sur la fig. 3.
SOUDES d'ÉOAI.E RÉSISTAN't'E.
Solides dY^ale ri'sistaiice à la flexion.
On obtient nn solide d’égale résistance à la flexion, en choisissant les sections successives, de telle sorte que la tension ninxiniuin, soit sur le côté coini)riiné, soit sur le côté allongé, ait [lartout la même valeur. Kn vertu de la fbnnulc (4), l'éijiiation qui exprimera la tonne du corps sera:
= Const. (a)
Les solides d’égale ré.sistancc à la flexion, et surtout les formes (pd s’en rapprochent, trouvent, dans la construction des machines, de nondtrcuscs applications. Les considérations du § 4 s’appliquent d’ailleurs d’une maidére complète an cas actuel. Nous reproduisons ci-dessous une série de ces protils.
La flexion qu’éprouve un solide d’égale résistance, sous l’action d’une charge extérieure, est nécessairement plus grande qu’elle ne l’est pour des solides prismati(iue.s, avec le même mode d’application de la force. Ainsi, en comparant les valeurs des flèches (|ui se trouvent inscrites dans le tableau ci-ai>rès, on voit (pie la flèche est, dans le N° I deux fois, dans le N“ V une fois et demie ce qu’elle serait pour une tige prismatiipie, chargée dans les mêmes conditions. En général, lors«|ue l’axe d’un solide, avant d’être chargé, forme une ligne droite, la ligne élasti(|ue a pour éipiation M„ «o ..
Dans cette formule
A/g est le moment de la force fléchissante pour une section quelconque, |)ar exemple au point d’encastrement;
J„ le moment d’inertie de la section;
récartement de la libre la -plus éloignée;
l’écartement maximum de fibre (compté du même côté que
«„) pour la section située en x.
Le rayon de courbure ÿ de la ligne élastique, au ]mint xy, est alors : E
(’ette valeur est constante et, par suite, la courbe représente un cercle, lorsque = «o, c’est-à-dire lorsque la pièce jirésente, en tous ses nohits, la même hauteur, comme il arrive pour les types I, V, X, XIV etc.
KÉSISTANCK A I,A FLEXION.
Forme.
Mode d'appU* cation do la force.
Equation.
l’oiir la section rectangulaire:
hh “ Y'
Cas I et II, « = 6,
Prisme arrondi parabolii|iiemcnt.
Approximation de la forme I.
Prisme à arête abattue.
Approximation de la foniie II.
Prisme à arête abattue.
Prisme droit.
Pyramide à sommet arrondi par une parabole cubique.
Approximation de la fonne VI.
Pyramide à sommet abattu.
Tronc de cône droit, forme approchée | de la forme rigonreuse donnée par
SOLIDES d’égale KÉSISTANTE.
Charge «le fleiiun.
Volume du cor|>s.
Observations.
„ Shh^
Flèche à rcitri‘iiiit<‘ libre :
Bhh‘ ^ ” 61
La ligne élastiiine est, à l'état nonnal, une [larabule.
Section dangerengo au point lî’cncastreiuent.
~i>hi
A l’état normal, la ligne élastique est bissectrice de Taiigle au sommet du prisme.
Bhh^ ^ - 61
La ligne élastique est un arc de cercle.
. 1 PI» , b/i»
Bbh*
^ — éi
|f,Al
L’équation s'applique
si toutes les sections sont semblables.
Section dangereuse au point !
d’encastrement.
s TT
fc
Pour une mémo charge de Hexion ({u'aui cas N”* I à V'II on a i/T6~b h — rrü h '
KÉ-SISTANTE A I,A KI.EXION.
SOLIDE» d’éoale résistanoe:.
flhargi’ de flexion.
Volnme du corps.
Observations.
P 6hA»
Iblil
Type admissible en abattant
l’angle vif. 1
~hhl
