VIS SANS FIN
Ordinairement 3 — ^ ^ filet) et on a alors:
Ia! frottement de la vis sur les dents de la roue est trèsconsidérable , en raison du glissement longitudinal du filet sur les flânes des dents. En désignant par /' le eoetflcient de frottement, la force P', qu’il faut appliquer réellement pour faire tourner la vis, et la force P qui, appliquée au même bras de levier, serait suffisante, si le filet n’éprouvait aucun frottement, sont entre elles dans le rapport:
Pour f cette expression se réduit sensiblement à
D’où il résulte que, pour diminuer la perte par le frottement, il convient de faire aussi petit que possible.
Morin conseille de prendre II— ‘St, ce qui donne p = l.
Redtenbacher - - R - - p- *“ 2,6.
Nous proposons d’adopter R — t, - - p 2.
La valeur 1 est très- admissible, mais on ne pourrait
guère descendre au-dessous, .sans s’exposer à des difficultés
d’exécution. Avec notre valeur limite ^ 1, l'effet utile est
encore assez faible, puisqu’il u’est que de 5(>p“/„. On voit, d’après cela, que, dans ce disposifif d’engrenage, la vis peut conduire le pignon, mais que celui-ci ne peut conduire la vis,
puisque, avec les valeurs admises pour f et -j, le frottement de
glissement se trouverait précisément égal à l’elfort tendant à faire tourner en sens opposé. Nous devons faire remarquer, d’ailleurs, qu’au frottement que nous avons calculé viennent encore s’ajouter le frottement ordinaire des dents et celui des tourillons, lesquels
KOUES A DENTS I1ÉIA(;0IDALES.
agissent dans le même sens. La denture à employer, pour une vis et sa roue, peut s’établir comme celle d’uue crémaillère et de son pignon, en effeetuant le tracé des dents dans un plan mené par l’axe de la vis, normalement à la surface cylmdrique de la roue (v. § 20.H ). Le tracé j>ar développantes a l’avantage de donner, dans ce cas, des lignes droites pour les profils des dents de la roue, mais il ne faut pas oublier que le nombre de ces dents doit être supérieur à 28 (§ 195). Le contact, qui géométriquement n’a lieu qu’en un seul point, se répartit, en réalité, sur une petite surface. Si on veut obtenir un contact plus étendu, il convient de tailler les dents avec une fraise, disposée de manière à agir précisément comme la vis elle -même.
Les roues dentées, dans lesquelles le contact n’a lien théoriquement qu’en un seul point, constituent ce qu’on désigne généralement sous le nom d’engrenages de précision, tandis qu’on réserve celui d’engrenages de force pour les roues dans lesquelles le contact des dents a lieu géométriquement suivant une ligne. Les différences d’applications, que semblent impliquer ces désignations, ne sont pas, du reste, parfaitement tranchées, ainsi qu’il résulte de l’exemple précédent, puisque les vis sans fin sont également bien employées pour la transmission de petites forces et d’efforts considérables.
Roues cylindriques d dents hélicoïdales.
Les roues cylindriques à dents hélicoïdales, qui cfinstitnent une généralisation du dispositif précédent, jouissent de propriétés spéciales. Les roues A et Ji, dans la fig. 475, sont munies toutes les deux de parties filetées à gauche. I.Æ8 angles d’inclinaison Y et y, de ces portions de fileta sont déterminés de manière qu’au point de contact les hélices, situées sur les cylindres primitifs, aient une tangente comnmne, c’est-à-dire qu’en désignant par (t l’angle des axes, on doit avoir:
(1) Dans 1« trace des roues à dents liéli^aidalcs, un doit veiller avec le |dus ^rand soin à ce (jue les angles y et y, soient comptés dans le même sens, c'est-à-dire, par exemple, tous les deux à droite du plan moyen de chaque roue, comme dans la figure.
liOUKS A liENTS IIKM<;OII)ALfa5.
Si on décompose les vitesses à la circoulcrciice v et o, suivant les directions de eliiuiue tangente et de la normale correspondante, on obtient:
sin.y
et,
par suite:
Main, y K^sitl.y^
Fit;, •t".').
Comme, de plus, les pas des dents, mesurés perpendieulairement à la direction des tilets et qui ont pour valeurs respectivement T=~tsin.y et r, =t^am.y^, doivent être égaux, il en résulte q'u’on doit avoir encore: t : sin. y : , d’où on
déduit, comme précédemment:
Dans ce cas, les nombres de dents sont, comme on le voit, proportionnels, non aux rayons des roues, mais à leurs projeetions sur deux lignes, menées normalement aux hélices des dents; cette relation fournit le moyen de détenniner approximativement les rayons par une construction graphique.
En vertu des composantes v et v\ des vitesses, les flancs des dents de rime des roues glissent sur ceux de l’autre, avec une vitesse relative donnée par l’expression:
c' = O + v\ ■= c{cotg.y -f cotg.y^) . . . (188).
K0UE8 A DENTS UÉLKJOIDAr.ES.
La coiiséqueiicc de ee glissement est une perte de travail et une usure assez cousidérahle. Pour ce motif, les roues hélicoïdales doivent être réservées de préférence pour la trausmission de faihlcs efforts. Im minimum de c correspond à l’égalité des valeurs de v et e, , c’est - k - dire à y = y, . Dans ce cas , la noi-malc c aux flancs des dents divise en deux jiartics égales l’angle des plans moyens des deux roues.
Par suite des valeurs assez différentes qu’on peut aflopter pour les inclinaisons des filets, ou se trouve conduit, pour les engrenages hélicoïdaux , à une assez grande variété de dispositifs, ainsi que le montrent les exemples suivants;
Exemple. Données: ^ fntu/lc des axes a =■ 40“ et la jins
cmirte distnnec de ces axes a = R ij,. Si on prend y = GO", la formule (IHG) fournit: y, = J80" — 60 -40= 80" (fig. 476) et on a, iCajiris la for-
, sÏH.y, n, sin.SO" 1 0<)848 1 „ ,
mule (187): ^ ~ O^GW '2 “ 0,5686; ce ipu
permet de déterminer R et R,. Si l'an suppose, par exemple, a = 100°"“, 1,5686
on a: R,
65 “"“,751 et R = 56 “"“,249. Pour
3 = 20, 3i “ -fô , le pas , compté lujrmalemcnt aux dents , a j>our râleur
r =t»»»i.y«= — J— stfi. y = = 0,272-56,249 ‘
Pour les pas des filets des roues on a : t = g ÿgg
= 10“"“, 014. La formide (188) fournit, pour la vitesse de glissement des dents ; c' = c (coig. 60“ -f cotg. 80") = c (0,5774 -f 0,1763) 0,75.37 c.
Fig. 47tî. Fig. 477. Fig. 478.
2" Exemple. Pour réduire c' à son minimum, prenons y ~ y, =
„ . . H,SiO
9 “•'“,810, t — t, — 0-ggg-y
10"““, 472 et & = 2- cotg. 70“-c = 2- 0fl640- c = 0,728e, ce qui montre que la valeur précédente de c' était déjà trèt-rajprochée de son minimum.
HOUES A DENTS IIÉLM;0IDAI.E8.
■î® Hxemple. Pour obtenir plius de facilité dam V exécution , m}>posonx y ÜO", ce qui conduit à une roue droite ordinaire (fiij. 478); nous aurom
alors : y, =. 180—40—80 = 50", Jf ÿ • 0,7000 = 0,383, d'où H, =
72"^,307, R = 27""‘,693, t = 2i““, ( = r, t, = 15’“'“, 450 et enfin
d = ofiSOl c.
8i, au lieu de a, on donne le pas t, ce qui se lait ordinairement pour les roues taillées à la fraise, on choisit y et y,
et on a alors: Iisin.Y= , d’oii on tire:
£ it *
2 ;r sin.y ' ' 2 /i
On peut egalement donner JK et i ; dans ce cas , y n’est plus arbitraire; on a, en effet:
4" Exemple, a = 00", 3 = 8i- J'our réduire le ijlissement au 180—90 ■ .
minimum, faisons T “ J'i — ” ^ 4^“ deux roues, dans ce cas.
sont éijalcs, toutes les deux filetées à gauche, ou encore à droite, mmme ilans la fig. 470. La vitesse de glissement d = 2' cotg.45"- c = Sc.
5" Exemple. Etant données deiu- roues hélicoïdales A et li « angle droit (fig. 180), si arec la roue II ou en fait engrener une troisième C, également à angle droit, les deux roues A et C se troacent aroir des sens de rotation opposés. La roue intermédiaire H ]iermct donc de changer le sens de la rotation, comme dans les roues coniques.
Fig. ■179.
Fig. 480.
Fig. 481.
8" Exemple. .Si on sup/iose a = 0", c'est-à-dire si les axes sont parallèles, les roues se réduisent à des roues droites arec des dents héliçoidales, fig. 481; la somme des angles y et y, étant égale à 180", il en résulte que Vane des roues est toujours filetée à gauche et l'autre à droite, (juanl à la vitesse lie gli.s.sement d, elle devient nulle. .Si arec a = 0 un a, en outre, y = 0, les roues hélicdUlales deviennent de véritables roues « coins.
L’examen d’autres cas limites des roues à dents héliçoïdales fournit tiue série de dispositifs dignes d’attirer l’attention.
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UCJIÎKS A DENTS IIÉLK;0IDAI.E8.
7* Exempte, n =. 00", y = 10°, et, par suite }', = 80°, U, ■= oo; on obtient, dans ce cas, une crémaillère engrenant avec une vis (fig. 483). Si on fait y = 10°, = 10 ’, « devient égal à 80". Dans ses machines à
raboter. Setters donne aux dents de la crémaillère (fig, 188) une iticlituiison telle que la pression latérale qui en résulte soit précisément suscejdible d'annuler l'effort qui s'exerce de l'autre côté et qui provient du frottement de glissement entre les lianes des dents.
Fig. 183.
ff E.ceinide. R ~ E, — -X5; on obtient, dans ce cas, deux crémaillères qui se déplacent toutes tes deux, fnj. 181. On a, comme précédemment, V, sin. y ... ,
— — >S», comme dans la fig. PJ.3. on a a ==.= 00“ et *«, {mur réduire
le glissement à son minimum, un prend y — y, =■ là", on a v ^ t',. Ce mécanisme se rencontre asses fréquemment dans les machines à rayer les canons et dans quelques machines ti tailler les vis.
Fig. 484. Fig. 485.
9" Exemple. « = 90°, y, = 90° et, par suite, y O"; avec deux rayons de grandeur finie, fuj. 186, on obtient ce qu'un appelle une crémaillère à rotation, dont l'ii.inge se rencontre assez souvent dans les régulateurs et les appareils du mime genre. La rotation de l'axe .4 ne produit aucun déplacement de B.
10° E.cemple. L'engrenage à vis sans fin, comme lunis l'avons déjà fait remarquer, est un cas particulier des roues héliç&idales. Cet engrenage se présente encore, bien qu' assez rarement, sous deux autres formes parti-
FHOTTEMENT DES UOUES HÉI,I(;01DALES.
entières, nui font curaclêrisces par Vemfiui d'une roue à denture i)Uéricure(l). Lu fig. tffT rcpj'êxeHte une roue de ce genre à dents droites ou i>u:linées (2).
Fig. 48(i. Kg. 4H7. Fig. 48S.
Vans le dis]>ositif de la fig. 4)s8, c'est la vis sans fin gui est creuse , la roue est une roue droite à denture extérieure (3).
Denture des roues h«‘lU*oïdales. Frottement.
Les dents des roues héliçoïdales sont le plus souvent taillées à la fraise. Ce résultat peut s’obtenir au moyen d’un tour à pointes, sur le porte-outil duquel on place la fraise obliquement. I.<e procédé est analogue à celui qu’on emploie pour fileter les vis. Le pas s des filets de la roue est donné par la relation:
s 2 /r R tg y (191)-
Dans le choix des angles d’inclinaison y et y,, on doit prendre en considération les roues de recliange dont on dispose pour le tour (4).
Pour la forme des dents, on choisit celle qui eorrespond à la courbure du filet complémentaire de celui qu’i ’agit de tailler, c’est-à-dire de celui qui lui est perpendiculaire. Les rayons de courbure r et r, , dont on doit faire usage, sont donnés par les relations:
stn.’y’
Ji,
sm.'y,
(1) Les roncs creuses correspondeut an cas où le point d’engrènement doit 80 trouver sur a, en dehors des axes, au lieu de tomber entre ces axes.
(2) Kniidoj'ée dans l'horloge astronoiiiiqnc de Prague.
(3) Employée dans la machine à percer de Stehelin.
(4) Pour les diverses combinaisons qn’on lient obtenir avec la série des roues d'engrenages d'un tour, on peut consulter avec avantage l'ouvrage de Brocot (Calcul des ronages par approximation, Paris ISU'i).
FKf)TTEMENT l>E8 ROEES IIÉLIÇOIDAI-Efl.
Cc8 valeurs doivent être employées comme rayons des roues auxiliaires avec le pas r; d’après le mode de denture adopté, on obtient pour le vide des dents le profil même de la fraise.
1" Exemple. Pour les roues tlu 1" exemple du § précédent, on a:
