ARBRES COUDÉS

par Bh — Ce = G g •= Ifh. Les effets dus A ce couple seront les suivants.

Fuseau ABC. Simple torsion, dont le moment, transformé en moment de flexion (v. IV, § 16, pour Mf = 0), doit être porté suivant B b' => Ce' = % B b.

Fuseau G 11. Même effet que pour ABC', la surface des moments a pour hauteur H h' = G g = Ce'.

Tourillon DEF. Ici encore le cnuple donne lieu au même moment de torsion que pour les deux fuseaux et on a l)d„ ■= i'Yo = Bb'.

Bras eoudé CD. Le couple produit, en chaque point de ce bras, une flexion, dont le moment a pour valeur Ce" = Dit = Ce; 'le plan de flexion est perpendiculaire au plan de la figure. La surface des moments est un rectangle de hauteur 71 b = Ce.

Bras coudé FG. Flexion et torsion simultanées. Décomposons le couple, comme ou l’a indiqué au point G, eu deux autres, l’un normal à l’axe du bras, l’autre suivant l’axe de ce bras. Au premier correspond le rectangle de torsion GFf'g" et au second le rectangle de flexion F G i i'. Si on prend p q *= '’/g Gi, pr =• \ G g", ip <=-■ G g" =• q s -f qr, ou obtient le rectangle FGg"f ", qui représente la surface des moments résultante des deux premières.

Le tracé que pous venons de faire ne tient aucun compte des forces qui peuvent être appliquées au point E. Dans le cas où il eu existe, ou commence ]>ar déteniiincr scparémciit tous les moments de flexion et de torsion , correspondant aux forces et aux couples; cela fait, pour chaque partie de l'arbre, on ajoute ou on retranche, suivant leurs directions, les difterents moments de torsion qui lui correspondent et on opère de même pour les moments fléchissants, en ayant soin d’ailleurs de tenir compte de la position des plans de flexion (v. § 44); enfin la composition des moments de torsion et de flexion, ainsi obtenus, fournit, pour chaque pièce, la surface des moments résultante.

Le travail qu’entrainent , pour le bureau de dessins d’une usine de construction, les tracés du genre de ceux que nous venons d’indiquer est, en réalité, d’une bien faible importance, eu égard aux nombreux services qu’ils peuvent rendre; en particulier, ils offrent, pour le constructeur, le grand avantage de le fixer exactement à l’avance sur les efforts, auxquels se trouveront

ARBRES A r OrnES MITT-TIPLES.

soumis les divers éléments de pièces en fer forgé, d’une exécution difficile, comme celle des arbres coudés.

Arbres à coudes multiples. .Arbres de locomotives.

Parmi les arbres en fer forgé on en acier, à coudes multiples, les arbres coudés des locomotives présentent une importance toute spéciale. Par suite de la complexité des différents genres d’efforts auxquels ces pièces se trouvent soumises, il est à peu près impossible au praticien de les soumettre au calcul. La méthode grapbostatique , .au contraire, ainsi que nous allons le montrer, permet d’arriver à des résultats très- nets et offrant d’ailleurs toute sécurité, A la seule condition d’être appliquée par un dessinateur, qui se soit suffisamment exercé sur les tracés de constructious plus simples, donnés précédemment. Nous choi-

Pig. 539.

ARBRES ('01TDÉ8 DE I/)C'(.)MOTIVES.

sirons ici, comme exemple d’application, un arbre de locomotive avec cylindres intérieurs, tel que celui représente par la fig. 539.

Comme la grandeur des roues intervient dans le tracé du plan des moments, nous les avons reproduites avec l’arbre. C^, (\ sont des plans verticaux, passiiiit par les axes des cylindres, A, et A, les milieux des supports des tourillons, et

les portées des moyeux des roues ; les plans des axes des coudes, en Cj et Cj, sont perpendiculaires l’un à l’autre. Cela posé, dans la position indiquée sur la figure, l’arbre se trouve soumis à trois genres d’efforts: 1" les pressions, contenues dans un plan vertical, qui sont dues au poids de la locomotive et à l’action latérale des rails sur les rebords des roues; 2" les actions horizontales, qui comprennent la pression du piston sur la manivelle et la résistance des rails (l’.adbérence); 3” la pression, dirigée obliquement, de la bielle sur la manivelle C^. Nous négligerons les autres actions accessoires , telles , par exemple , que celles dues aux tiges d’excentriques de la distribution et nous considérerons successivement les trois genres d’efforts que nous venons d’indiquer.

Forces et moments dans le plan vertical. Fig. 540. A la hauteur du centre de gravité de la Iqeomotive est appliquée, en la partie Q du poids de cette locomotive, qui correspond à l’arbre coudé. Par suite des mouvements de lacet et de l’action de la t'orcc centrifuge dans les courlajs, il se développe une force horizontale II , qui peut être évaluée à */5 Q. La résultante R des forces Q et II représente alors la charge de l’arbre, que nous iwuvous décoînjtoser en pressions I\ et sur les tourillons, en .4, et A^, et en pressions Q, et V, sur les têtes des rails ii', et E^. Les deux forces et Vj se décomposent elles -mêmes chacune en deux autres sur les portées des moyeux. Si, de toutes les forces ainsi obtenues, nous ne considérons que les composantes normales à l’axe de l'arbre, nous arrivons définitivement à six actions verticales, tendant à produire la flexion de l’arbre; les unes 1, 2, 3, 4, appliquées en />,, v4,, A^ et I),, sont dirigées vers le bas, tandis que les deux autres 5 et 6, en B, et B^, sont dirigées vers le haut. Si maintenant nous choisissons uu pôle O (à une distance arbitraire de F, mais qui doit rester la même pour tous les tracés suivants), nous tonnerons le polygone des forces Fi O, puis le polygone fuuiculaire ou la surface des moments d^a^a.id^l)^h^, qui, pour chaque point de l’arbre, situé

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

dans le plan vertical (ici le plan de la figure) donne, par l’ordonnée correspondante, le moment fléchissant; la surface totale se trouve désignée par V.

Fip. 540.

Ainsi que nous l’avons expliqué dans le paragraphe précédent, la pression F sur le tourillou, pour la position LM de la manivelle, est légèrement suiiérieure à la pression du piston; mais, au point de vue de la rotation de l’axe, son moment

(c^(c réduit précisément h FqF, de telle sorte que

la roue h gauche étant supposée glisser sur le rail, l’autre roue se trouve maintenue sur le second rail par un effort correspondant an moment Po H, c’est-à-dire que la résistance au glisse-

Ti

ment 3, en est égale à Pfl. Au moyen de cette dernière

force et des résistances 1 et 2 sur les tourillons, il est facile de construire d’abord le imlygone des forces ^,2 0, puis le polygone funiculaire U (en hachures claires), qui représente les moments

518 ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

correspondant aux forces horizontales. ('I.ics forces l et 2 ont été obtenues en déterminant d’abord la position de la résultante des forces 3 et 4, parallèles et dirigées dans le même sens, puis en décomposant cette résultante 3 H- 4 en deux composantes, 1 et 2, appliquées en et A^).

Fig. 541.

Forces et moments dans le plan incliné des hielles. Au point C, est appliquée la force ^ = 5, dont l’inclinaison sur l’horizontale est donnée par l’angle MKL ^ u. Si nous décomposons cette force, eonune l’indique la figure, en deux autres 6 et 7, appliquées en >4, et A^, nous pourrons former le polygone des forces, avec la distance polaire adoptée précédemment, puis le polygone funiculaire S (en hachures noires), qui peut être utilisé comme surface des moments, pour les flexions, dans le plan incliné des hielles.

Compositimi des trois polygones fimicidaires correspotidant à la flexion de Varlrre. Fig. 542. Comme les trois genres d’efforts, qui tendent à produire la flexion , agissent simultanément sur l’arbre , nous devons chercher à les composer. Dans ce cas , nous pouvons, conformément à une remarque du §44, opérer directement avec les ordomiées, représentatives des moments, comme avec les forces elles-mêmes. Nous formerons donc, pour une

ABBKE8 COUDÉS DE LOCOMOTIVES

série de points de l’arbre très - rapprochés , les polygones d’ordonnées correspondantes, en ayant bien soin de tenir compte des directions; la ligne, l'crmaut chacun de ces polygones, fournira,

Fig. 542.

en grandeur et en direction, le moment résultant. Un de ces polygones d’ordonnées, représenté dans la fig. 510, à gauche et à la partie supérieure, correspond au point C,. L’ordonnée verticale V est dirigée de bas en haut, l’ordonnée horizontale H, qui vient ensuite, est portée de droite à gauche, ainsi qne l’ordonnée inclinée S; par conséquent, la résultante T, qui correspond à une ordonnée dirigée en sens contraire, s’obtient en joignant le point de départ de F avec l’extrémité de 5. En répétant la même opération, sur toute la longueur de l’arbre, on arrive à la surface des moments 7), Z), \ a^CiC,afbf, qui donne les flexions de tontes les parties de cet arbre (à l’exception de celles des bras coudés).

Moments de torsion pour l'arbre. Pour la position des manivelles, que nous avons prise comme point de départ, une seule de ces manivelles tend k produire sur l’arbre une torsion, dont le moment est PE. Mais, si les manivelles se trouvent inelinées, toutes les deux, de 45" sur l’borizontale , le moment de torsion \ pour les fuseaux d’extrémités, C, 7), et U, 7)„ devient sensible-’ ipent égal à \/2 PR, ou 1,4 PE. Bien qne, pour cette position de manivelles , les moments de flexion soient légèrement différents de ceux que donne le dernier diagramme , c’est cette valeur

AKBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

du moment de torsion que nous introduirons dans le tracé, en faisant D^d\ ■= Djd’, =■ 1,4 PR, tandis que, pour le corps de

Fig. 54.S.

l’arbre C, C,, nous prendrons simplement C, c', =■ C, c', PR, toutes ces quantités étant rapportées, bien entendu, à l’échelle déterminée par l’unité de mesure des forces et celle de la distance polaire dans les polygones j)récédents.

Composition des moments de fleximi et de torsion. Les moments de flexion et de torsion, composés d’après la formule du § 45, donnent la surface des moments 71, 7), d", b'\ . . . d",, qui permet de déterminer les dimensions à donner aux deux fuseaux C,D, et C, 77, ainsi qu’au corps de l’arbre C, C„ à la seule condition de chercher préalablement le diamètre en un point, correspondant à l’un quelconque des moments, à l’ordonnée par exemple. Comme, d’ailleurs, le diagramme n’est ])as symétrique par rapport au milieu de l’arbre, il convient d’adopter pour les deux moitiés de cet arbre, la moitié du diagramme, qui présente les ordonnées les plus grandes.

Tourillon de manivelle en C,. Les deux manivelles ont été reportées séparément dans les tig. 545 et 546, afin de permettre de représenter plus commodément les moments correspondants. IjC tourillon FG, en C,, est soumis d’abord aux flexions, dont les moments, fournis par le tracé de la tig. 543, forment ici la surface FGc,, tig. 545. Pour déterminer les efforts de torsion, il convient de prendre toutes les forces appliquées

ARBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

à gauche du point E\ nous allons commencer par chercher leur résultante. l.æs forces 1 , 2 et 6 de la fig. 540 agissent verticalement; leur somme algébrique fournit la force verticale I. La force horizontale 1 de la fig. 541 est dirigée d'avant en arrière; elle porte, sur notre figure, le n“ II. La force oblique 6 de la fig. 541 est également dirigée en arrière, vers le bas; elle porte le n“ III. La ligne (non représentée), allant du point C à l’extrémité de III, donnerait la résultante totale, dont la composante horizontale IV, agissant avec le bras de levier EF R, produit la torsion du tourillon. Dans la fig. 544, prenons une longueur a O, égale à la distance polaire, portons IV à partir de 0, vers le bas , menons la ligne a IV e et faisons a /' = R\ le segment fe de la perpendiculaire à af représente le moment de torsion, qui est reporté sur la fig. 545 eu Ff. Le rectangle de torsion correspondant, composé avec la surface FGc^, donne FGc\ pour la surface des moments.

Fig. 544 Fig. 545.

Bras dt tmnivclle E F. Le polygone des ordonnées pour le point E est représenté par la lig. 544, en F,//, S, T,. La composante horizontale /i, du moment résultant T, produit, sur le bras EF, une torsion, dont le moment est représenté sur la fig. 545 par Fd = /», ; la composante verticale v, correspond à une flexion du bras, dans le plan de la figure, Fb ^ o,-, eu outre, la force IV, appli(|uée en E, produit sur ce bras, normalement à ce plan, une flexion, dont le moment en F est représenté par bit,. La composition des moments fléchissants fournit la surface EFh'h", qui, composée elle -même avec le rectangle de torsion EFd, donne définitivement la surface des moments résultante EFb"'.

522 ARBRE« COUDÉS DE LOCOMOTIVES

Bras de manivdle (rll. Pour le point //, le polygone des ordonnées est I..a torsion du bras GU correspond

à la composante horizontale />, ; son moment se trouve représenté par Hd^ = /»,; la composante verticale donne une flexion, dans le plan de la figure, Gh\ ^ V^\ le bras est soumis, en outre, à une seconde flexion, normale k ce plan, due à la force P, agissant sur GF et dont le moment est PR = fh (en prenant, dans la fig. Og-^P, af^R)\ le moment se trouve reporté en ^fh. La résultante des moments fléchissants est GHb\h'\, qui, composée avec le rectangle de torsion GHdi, donne pour la surfaiÆ des moments Gllh"\.

Tourillon KL. Fig. 546. Ce tourillon est d’abord soumis aux moments fléchissants, compris entre M et J-, à ce genre d’action correspond la surface des moments KLc^, fournie par la fig. 543. Tontes les forces, qui agissent à droite de C,, tendent à produire la torsion de ce même tourillon. La résultante des forces 3, 4 et 5, fig. 540, agit verticalement de haut en bas et V se trouve représentée ici par V; de même la résultante (ou la

différence) de 2 et 3 (fig. 541), qui est horizonUle et dirigée d’avant en arrière, est figurée en IT; enfin on a reporté en VII la force 7 de la fig. 541, qui est également dirigée en arrière, obliquement au plan de la figure. La comiwsante verticale de la ligne qui ferme le polygone des forces V, VI et VII tend à produire une torsion du tourillon , puisque, d’après ce que nous avons supposé, le bras de manivelle J K est dans la position

Fig. .'i4«.

horizontale. T>e moment de cette composante verticale a pour grandeur kk'. Le tourillon est, en outre, sollicite à la torsion

ARBRES œUDÉS DE LOCOMOTIVES. 523

par le couple qu’introduit ici le coude de gauche (v. le texte correspondant à la fig. 538); le moment de ce couple, qui est donné en CyCy, sur la fig. 543, se trouve représenté ici par Kk\ comme il agit en sens contraire du moment kk', précédemment trouvé, il en résulte que le moment de torsion du tourillon KL se trouve finalement représenté par Kk!, qui, combiné en chaque point avec le moment de flexion , donne pour surface des moments résultante KLc\.

Bras lU maniveUe J K. Ce bras est sollicité à la torsion par le moment Kd de la composante verticale r, du polygone des ordonnées il est également soumis, dans le plan

vertical, k une flexion, dont le moment est Kb = Kk, conformément à ce qui a été dit précédemment pour la fig. 638; de plus, il est soumis, dans le même plan, à une flexion, due à la composante verticale des forces V, VI et VII et dont le moment, au point K, a pour valeur h i, (voir pour la détermination de ce moment le tracé supérieur de la figure 544); enfin il éprouve, dans le plan horizontal, une troisième flexion, dont le moment est b b, et qui corres))ond A. la composante horizontale A, du polygone des ordonnées. La composition de tous ces moments fléchissants fournit la surface JKh\h\, qui, combinée elle -même avec le rectangle de toreion KdJ, donneJKb‘\ pour la surface des moments résultante.

Bras de tnaniveUe LM. Le moment de torsion Ld, est égal à la composante verticale du polygone des ordonnées pour la position M. Des deux flexions, dans le plan vertical, l’une a un moment constant L b„ •== K k, l'autre un moment variable, dont la valeur est b„b^ pour le point L; le troisième moment fléchissant b^ b^ est égal A la composante horizontale du polygone des ordonnées. La résultante de tous ces moments fléchissants est la surface M Lh\, qui, composée avec le rectangle de torsion donne définitivement MLh'\ pour la surface

des moments.

Des quatre bras de manivelle , JK et G II sont ceux dont les surfaces de moments sont les plus considérables. Il convient donc de superposer ces deux surfaces {J Kb‘\ et GIlb"\) et d’utiliser celle dont les ordonnées sont les plus grandes. On applique alors aux quatre bras les dimensions correspondantes, en leur faisant subir quelques simplifications, si on le juge convenable.

ABBRES COUDÉS DE LOCOMOTIVES

I.Æ tracé du plan des moments, pour un arbre doublement coudé, est, comme on le voit, assez laborieux et il exige qu’on traite les différentes questions qui s’y rapportent avec la plus sérieuse attention. Les résultats, fournis par ce tracé, ont d’ailleurs une très -grande importance, puisqu’ils permettent, en définitive, d’adopter sans danger, pour les différentes parties de l’arbre, une tension allant jusqu’aux deux tiers de la charge limite d’élasticité, c'est-à-dire 10’' pour le 1er et 15 à 16 pour l’acier, ainsi que nous l’avons constaté en appliquant notre diagramme à l’examen de pièces de ce genre d’une bonne construction.

Pour exécuter un tracé de cette nature sur une planche à dessiner, il est très -important de ne pas prendre une échelle trop petite; on doit éviter, toutefois, de la prendre trop grande, afin que le tracé des lignes parallèles ne devienne pas trop difficile. L’échelle la plus convenable est celle qui donne, pour le tracé de l'arbre entier, une longueur de 300 à loO"". De plus, on doit, autant que possible j pour les polygones de forces, déterminer la distance polaire, en se guidant sur des tracés antérieurs du même genre; une distance polaire trop petite donne nn diagramme d’une trop grande hauteur, tandis qu’ii se trouve trop écrasé avec une distance trop grande: ies distances que nous avons adoptées, dans les figures précédentes, ont i'avantage de donner des diagrammes bien visibles. On peut se borner à un simple tracé au crayon fin, à la condition de différencier les surfaces des diagrammes par des teintes légères et foncées. Pour le dernier diagramme, qui représente la surface des moments résultante, le mieux est de l’mdiquer par une simple bordure d’une teinte vigoureuse, eu rouge foncé, par exemple (v. fig. 543, ff\ h'\ ...) et (le le limiter extérieurement par des traits de force. 11 est utile, en général, de joindre au tracé une légende, indiquant la nature des surfaces représentées par les différentes teintes, afin de faciliter l’emploi de ce tracé pour des applications postérieures. Le dessin d’exécution de l’arbre lui -même doit être, autant que possible, établi sur la même feuille que le plan des forces, en ayant soin de faire coïncider les verticales passant par le milieu de chaque figure, de telle manière que chaque section de l’arl)re se trouve directement sur la niéiue verticale que l’ordonnée qui iui correspond, dans la surface des moments .\vec un peu d’habitude, on arrive à distinguer assez facilement, parmi les actions auxquelles la pièce est soumise, celles