SURFACE DU TRIANGLE

OA = n, OE = 2 fois l’unité, EB = 6 et on joint OB-, la ligne

AC est le produit cherché x, car ou x =

Le procédé <iue nous venons d’indiquer, et qui peut s’appliquer avec tous les modes de multiplication du § 22, est très commode, comme nous le verrous, pour le calcul des surfaces.

Snrfaee du triangle.

La surface d’un triangle étant le demi -produit de sa base par sa hauteur, le calcul graphique de cette surface sc fait aisément d’après le paragraphe précédent

I. Fig. 25. Après avoir choisi, comme base du triangle à mesurer O AB, l’un des côtés O B = 5, et sans d’ailleurs tracer la hauteur correspondante AA' = h, on porte, sur O B, la ligne

Fig. 25. Fig. 20.

OE égale à 2 unités (centimètre, décimètre, etc.); on joint (on on suppose joints) les points A et E et, par le point B, on mène une parallèle à EA jusqu'à sa rencontre, en C, avec la ligne OA prolongée. La perpendiculaire CC, abaissée du point

G, est le produit^, c’est-à-dire la surface f cherchée (voir

Vn § 22 et n § 24).

n. Fig. 26. A l’extrémité de la base OB=-b, on porte, sur la perpendiculaire au point O, la longueur OE 2 unités, on abaisse la hauteur AA' = h et on mène, par le point A, une parallèle k EB] cette ligne détermine, sur O B, le segment

A C, qui représente le produit f y

Il § 24).

SURFACE DES POLTOONES.

■ in. On prolonge la base BC ei le côté BA Aw. triangle ABC, fig. 27, jusqu’à ee que ces lignes comprenueut entre elles une longueur OE = 2 unités, mesurée parallèlement à la hauteur

P’iff. 27. Fig. 28.

A' A = h. Ou Joint EC et on mène, par le point A, une parallèle à EC, qui détermine, sur la base, le segment BD\ ce

segment est le produit (voir IX § 22 et II § 24).

IV. Du sommet O du triangle AO B, tig. 28, et avec une ouverture de compas OE^ 2 unités, on décrit un arc de cercle qui coupe , eu E, le côté AB-, on fait l'anti - projection Ae AB sur OE, en menant BC parallèle à OE et AC perpendiculaire sur BC. La ligne ^4 (7 est le produit de la base b par la moitié de la hauteur h— 00', c’est-à-dire représente la surface du triangle (voir X § 22 et II § 24).

Si l’unité adoptée était le décimètre, la mesure de f en décimètres donnerait, en décimètres carrés , la surface du triangle ; ainsi ai f = 72 millim. l’unité étant le décimètre, la surl'ace sera 0,72 decim. ou 0,72 x 10000 — 7200 millimètres carrés.

Surface des polygones à quatre côtés.

Dans ces polygones , la surface j)eut se déterminer directement (pour le parallélogramme, par exemple), ou bien par voie de décomposition en triangles, que l’on évalue séparément; ou j)cut eutiu trausfonner le polygone en un triangle de surface équivalente.

I. Mesure du parallélogramme AB CO, fig. 29. En choisissant le côté OA comme base, on prend OE = l’unité, on élève la perpendiculaire EE' ■= h et (comme au § 22 , IV) on

8URFACK DES POLYOONES.

traee OE' jus(|D’A sa rencontre, en D, avec la perpendiculaire menée par le point A. La longueur A D donne la mesure de la surface, f = b h.

FifC. 29. Fip. 30.

II. Dans le polygone AB CO, fig. 30, si l’on mène la ligne CA, parallèle à la diagonale OB, jusqu’à sa rencontre avec la base AB, on obtient un triangle AO A ayant même surface que le polygone, car les deux triangles OBC et OBA sont étiuivalents. Cela posé, on peut, en procédant suivant la méthode IV, § 2r>, prendre OE ~ 2, et la ligne AI), antiprojection de AA sur OE, donnera la mesure de la surface cherchée /’.

III. Fig. 31. I.a diagonale AC •= b partage la surface AB CO en deux triangles ayant pour hauteur totale 00', c’està-dire l’anti-projection de O B sur.4C. Or, la multiplication de

00' par ^ peut s’eflFectuer immédiatement, d’après les méthodes

XI, § 22 et II, § 24. On mène O'BE parallèle à AC, on prend OE •= 2, et on trace AD parallèle i 0E\ la ligne CD,

Fig. 31. Fig. 32.

normale à AD, est le produit cherché f, c’est-à-dire la surface du polygone.

IV. Fig. 32. Le polygone AB CO peut se remplacer par un triangle dont la hauteur serait 2 et la base

SiniFACES DES POLYGONES.

Si on décrit, du point O comme centre, un eerele avec le rayon OE — 2, si on mène à ce cercle une tangente passant par le sommet 5 opposé à O, si enfin, par les deux autres sommets A et C, on mène des parallèles à la diagonale O B, ces lignes déterminent, sur la tangente, un segment A'C, qui n’est autre chose que la base du triangle A' OC, équivalent an quadrilatère AB CO et qui a pour valeur f, c’est-à-dire la surface même du polygone.

Les exemples que ^lous venons de citer suffisent pour indiquer comment, avec l’une ou l’autre de ces méthodes, on pourra résoudre un problème quelconque du même genre.

Surface des polygones quelconques.

Pour mesurer les polygones, on commence par les transformer en triangles équivalents, de la manière suivante:

Par l’un des sommets O du polygone OABCDE, fig. 33, un tire la diagonale O B, allant du point O au sommet le plus Fig. 33. Fig. 34.

rapproché; par le sommet intermédiaire A, on mène la ligne AB', parallèle à OB, on prolonge le troisième côté CB jusqu’à sa rencontre, en lï, avec la ligne AB et on joint OB\ comme les deux triangles OBB, OBA sont équivalents, le polygone OB C DE a la même surface que le polygone primitif, mais avec un côté de moins. Si maintenant on répète les memes constructions pour le sommet C, en traçant OC, puis B C parallèle à OC, et ainsi de suite, on finira par arriver à un dernier triangle, équivalent au polygone donné, et dont on sait mesurer la surface. Les lignes auxiliaires O B etc. n’ont pas besoin d’être tracées. Cette méthode se prête spécialement à la mesure des profils pour remblais de chemins de fer ou de routes.

l'i;iSSAS< KS DEH M(J\ES.

Lok polyjîoiios réfîiiliers, oommc riicxiigone, fij;. 31 , n’ont l)t*soin (l’ôtrc transl'onnés (jiic pour l’iinc tic Icurit moitiés; ils sc mesurent alors comme les parallélo;;rammes.

Puissances.

Klever une };ranilcur a à la n* puissance, c’est chercher une {grandeur x, tpii contienne a” toi.s l’unité de mesure de u. Si le nombre n est entier, qu’il soit d’ailleurs |)ositif ou négatif, la méthode de calcul graphiiiue se ramène immédiatement à la muiti|>lication ou i\ la division graphique, puistpi’il s’agit de multijilier ou de diviser un certain nombre de fois para. Du reste, le tracé peut s’exécuter d’un grand nombre de manières, suivant que l’on adopte l’iin ou l’autre des dift'érents types de tracés indiipiés précédemment.

Kig. 35.

1. (Voir i; 22, 1). On jtrend OE, fig. 35, égal à l’unité, et, sur la pcri)endiculaire en F., on détermine, par un arc de cercle de rayon 0.-1, = a, le point . Sur OE on porte également O l{^ ^ U, sur O on élève en 7/, une periKUidiculaire, qui coujie, en la ligne O Ai prolongée; on a (I, §22) O.lj = a*. En rabattant cette longueur en 07/j et en menant la j)eri)eudiculaire 77, on obtient en OA^ la valeur a’, de même en 0.1, la valeur a*, en OA,, la valeur etc. D’une manière générale, 077„ correspondant ù une imissancc (|ucleon(pie de a, la »r, jiar cxcmi)lc, la i)erpendiculaire élevée en 77„ déterminera, sur O.'l,, le segment OAi,^i, (pii sera la puissance w-j-l de a. Inversement, étant donnée une puissance quclcoiupic de a, eu Oyl„ f ,, la projection OJI„ de cette ligne sur OE représentera la valeur de « ii une puissance moins élevée d'une unité ipie celle correspondant à 0.1„ • , (voir les règles de division I, § 23).

■ Hflulenuc, (Ntuitnirtciir. G