PITISSANTES DES LION'ES
Il résulte encnre de là que la pcri)en(lieiilinre abaissée de détcruiinera le segment 0/s = a®, ou Tunité, ce (|ui d’ailleurs est évident d’après les données intMiios du tracé. .Si on rabat O B en OAg, qu’on abaisse la j)efi)endieulaire 07I,
mesurera a~' on c’est-à-dire la valeur réeiproqne de Oyl, .
Kn continuant de même, on obtiendra en O Il 3 la valeur de
en OB. celle de -4, etc.
II. En combinant les régies de nuiltiplicati<m I et III, S? 22, on obtient, |)our les pui.ssanees, le tracé suivant. On ])rend encore, fig. .‘56, OF, ^ 1, ()A^ = a, on élève la ]»erpendieulaire EA^ et, en A^, une seconde perj)endiculaire sur OA^. Cette ligne
Fif?. 36.
coupe OE en A^ et l’on a OAj=^uK En menant en A^ la pcrj)endieulaire A^A^, on aura 0/1, = — Une nouvelle per-
j)endiculaire sur 0/1, donnera, en 0A^, la valeur a*, et ainsi de .suite, les lignes mesurées sur OE donnant les puissances paires positives, et celles sur 0/1, les puis.sanees impaires également
positives. En marebant en arrière, à partir de E, on trouve en
0/4, la réciproque de a ou -i, en 0A^ la valeur «te-»
les lignes comptées sur 0/1, ex])rimant les puissances négatives
impaires, et celles snr OE les puissances négatives paires.
Les deux méthodes qui précèdent .supposent que l’on ait O > 1 ; les deux suivantes se rap])ortent, au contraire, au ea.s où l’on a a < 1.
ni. Après avoir pris, fig. .37, 0E= 1, on porte la longueur a en OA, de telle sorte (|ue AE soit perpendiculaire sur 0/4; on trace alors les per])cndiculaires successives E\, 12,
2 3, 3 4, etc., et l’on a: Oï — —, 0‘Z^ 03= V-.-. En répé-
tant les mêmes tracés snr la gauche de E, on olitient les valeurs
PmSSANCES DES UOKES.
O — 2 = rt-, O — 3 = rt*, O — 4 = a* Les puissances posi-
tives de « SC trouvent donc niesurêes sur la gaiielie, et les puissances négatives sur la droite (voir 111, § 22 et la méthode 11 ci - dessus indiquée),
Kiff. 37. 8if;. 38.
Les lijjcnes de tracé, qui vont d’un axe j'i l’autre, en zif^ziq;, croissent également suivant la même loi que les puissances et on peut les utiliser de la manière suivante.
IV. On prend, tig. 38, 07? = 1, OA = a et l’angle OylT? = ou"; on mène OU perj)cndieulaire sur OE et l’on prolonge 7?.4, non seulement juscpi’à son intersection, en B, avec 07?, mais encore dans l’autre sens (voir le tracé pointillé de la fig. 37). On trace ensuite, comme précédemment, dans les deux sens, la sérii! des j)crpendictilaires successives, et on obtient les valeurs suivantes: OA^<t, A2=^ri‘, 2 3 = o*, et ainsi de suite. D’antre
i)art, on a: 07,'=--a", 7? — i=a“'=--, — 1 — 2= — 2 — 3 =
' ’ ’ rt ’ a*’
a, etc.
V. La méthode suivante peut s’a])pliqucr à des valeurs quelcon(iues de a, jdus grandes ou plus petites cine runité. On prend, sur l’axe XOX, fig. 3!>, 07?>=- 1, on élève en O une perpendiculaire i'OF, sur laquelle on ]Hirte OA = « et on trace (ou on 8U])j)osc tracée) la ligne EA. Si alors on mène yl 2 normal sur7?yl, le segment 02, mesuré sur l’axe des À', donne la valeur de «*. Si de meme on trace 2 3 pcrimndiculaire sur A'2, le segment 0 3, sur l'axe des Y, donne en continuant de même, on trouve, sur l’axe des X, la valeur de a* etc.; d’une manière générale, on obtient, sur l’axe des X, les puissances paires et, .sur l’axe des Y, les imissanccs impaires de a. Si on reproduit en arrière ce même tracé, on diminue rexjmsant d’une
rnissANCEs des lignes.
unité, en passant d’un axe à l’autre. Ainsi, en allant de A vers E, on trouve en E() la valeur «“= 1, puis en 0--i la
valeur , de iiiêine pour J,, etc. (voir VI, S 22). Ce
Kig. 31).
procédé est très eommodc, lorsipi’il s’a^nt d’élever à une puissanee quelconque certaines lipies figurées à l’avance sur un dessin.
Pufs-sances des fonctions trieoiiométriqnes.
Les méthodes que nous venons d’exposer, pour le calcul des puissances des ligues, s’appliquent, d’une la(;on aussi élégante que rapide, aux puissances des fonctions trigonométriques.
I. Puissances des cosinus et sinus. — On jirend, fig. 40, OA’ ■= 1, on trace l’angle EGA égal à l’angle <p, dont les lignes trigonométriques doivent être élevées ii certaines imissances et on abaisse EA periieudiculairc sur OA. Si maintenant on trace les perjMMidiculaires successives A -J, 2:{, 3 1, etc., puis E — 1, — 1 — 2, etc., on a: OA‘=ai.<t(p, ()2 — cos^<p, O 3 — ro.s’ (/-,
Oi = cos*<f>, puis O — l=— 0 — 2“^ — V-, etc. Si, d’autre ' ’ ‘ cos(p’ cos^ q’ ’
part, on trace les perjiendiculaires successives AU, II- III,
III- IV..., O /, — I—ll, etc-, on a: AE=^ siiKp, All — nin^q,
Il-III ^ sin^q, III IV ^ sinUp...., 0—1 = , —I — H--
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