RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

on (lÉpasse la limite (rélasticitÉ , la formule (1) peut encore, à la rigueur, être appliquée à ce dernier cas et donner, jiar suite, la force nécessaire pour rompre ou écraser un corjis. 11 suHit d’y introduire le module de rupture correspondant.

Exemple: jmir rompre la iiye déjà calculée plus haut, il faut exercer un effort de traction P <= K X. q on, d'après la table du paraijraphe i,

P — 40 x 30^ y — 78040. — Pottr écraser une ]Klite longueur de cetti tige,

il faudrait décelopper une force P, == K,q — ^2 x j0“ j = 43107 Ix'.

Solides d'égale résistance à la traction et à la compression.

On obtient des formes de solides d’égale résistance, en choisissant des sections successives telles que, dans tontes, la tension maximum © conserve la même valeur, ce qui pennet un emploi relativement avantageux de la matière. Il est rare que ces formes se déterminent avec une exactitude rigoureuse; habitnellemeut on SC contente d’une approximation; souvent même ce sont de simples types d’architecture, destinés à donner à certaines parties d'une construction l’apparence de pièces d’égale résistance, sans que cette propriété existe réellement. Toutefois, les formes exactes d’égale résistance ont un intérêt réel jjour le constructeur. Une fois qu’il est bien familiarisé avec elles, il dessine sans peine les profils convenables pour les parties chargées d'un édifice, en faisant intervenir le sentiment artistique pour corriger le type, souvent (leu agréable à l’œil, que fournit le calcul mathématique.

Les formes indiquées ci -après se rapportent aux pièces travaillant, soit jiar traction, soit par compression. Comme exemples de leur utilité tcchniiiue, nous citerons les \is à bois, les boulons, les colonnes, etc. Les conditions spéciales aux colonnes se retrouvent d’ailleurs dans les cheminées en maçonnerie, dont le fût est légèrement incliné , les piles de ponts et de viaducs, etc.

fiOUDKS u'ÉfîALK KÉSISTANCE (TRACTION OU COMPRESSION). 7

Forme.

KqiiatioD.

Observations.

Charge J‘ uniformément répartie sur toute la longueur de la pièce.

Ix;b sections de la pièce sont circulaires. Profil parabolique. — Forme approchée: tronc de cône ayant pour diamètre à

l'extrémité '

('barge P répartie de façon à décroitre uniformément à partir dn haut Section circulaire. Forme du corps: cône droit

! e = 2,718 . . . Base des î logarithmes naturels.

log. 2 = log. g

En dehors de P la pièce a à supporter son poids propre, qu'on suppose de Y par unité de volume. Les sections vont en croissant vers la section d'encastrement, suivant la même loi que les abscisses d'une logarithmique.

KÉSlSTASt:K uns MAIKIUALX.

R(<Kl8tance transversale de glissement ou de elsalllement.

Un cor])8 est soumis, dans une de scs sections, i\ un effort transversal de glissement ou de eisaillement, lorsque la force extérieure P est dirigée dans le plan de cette section.

Si q est encore la surface de cette section et S la tension développée, on a pour la charge, comme dans le cas d'une compression on d’un allongement,

La limite d’élasticité est atteinte, lorsque 0 est égal aux */j“ de la plus petite des deux charges limites <lc traction et de compression; ainsi, pour le fer forgé, où U, = 1.5, la limite a lieu pour 6 = 12; avec la fonte , où T < U, et est égal à 7,5, elle correspond à 6 = G. La tension maximum ne se jiroduit pas, en effet, ici dans le plan de la section, mais elle est oblique sur ce plan et a pour valeur les de 6.

Daus le cas d’un effort de glissement, le déplacement relatif qu’éprouvent deux sections inlinimeut voisines est extrêmement faible, tant qu’on reste au-dessous de la limite d’élasticité, mais il devient sensible, lorsqu’un grand nombre de sections consécutives éprouvent chacune cet effet de glissement, dmis le cas, par e.xcm])le, d’une tige travaillant par torsion.

!Si l’on admet que l’éqnation (3) soit encore ap]>lieablc dans les cas où on atteint l’effort capable de ])rodnire la séparation, dans les cas, par conséquent, où le corps est buriné, cisaillé ou percé, cette équation permettra de calculer la 'tension correspondant à la nqdurc par cis:dlleinent. (’ette valeur de 6 est un peu différente du coefticient de rupture jiar traction K, ce qui s’explitiue par ce fait que, dans le cisaillement, K et Jï, sont en jeu simultanément (l). Pour le calcul des machines travaillant dans ces conditions, on prend, en général, pour valeur du Coefficient de rupture 1,1 K.

(1) Voir Reicho: Percement des plaques métalliques. Civ. Ing. 1864.

KKSI8TANCK A I.A FLEXION.

Késistance à la flexion.

Lignes élastiques.

Une pièce travaille par flexion, lorsqu’elle e.st soumise à des forces extérieures dirigées perpendiculairement à son axe. Tant qu’on UC dépasse pas la limite d’élasticité, il se produit, dans chaqne section nonnale de la tige, un équilibre entre le moinent des forces extérieures et celui des forces moléculaires développées dans la section, ces moments étant pris par rajiport i\ l’axe neutre de la section, t’et axe passe par le centre de gravité de la section et est perpendiculaire au plan de flexion; il divise la section en deux jmrties: dans l’iine, chacune des libres, parallèles il l’axe de la tige, est soumise à un effort de traction, dont l’intensité est proportionnelle il la distance de la fibre à l’axe neutre; dans l’autre, au contraire, les fibres travaillent par compression et l’intensité de l’effort est encore proportionnelle à leur distance de l’axe neutre. Il suit de là que des fibres, situées de part et d’autre et à la même distance de l’axe neutre, subissent des déformations égales, mais de sens contraire. Comme on le voit, la résistance à la flexion se compose de deux résistances combinées, l’nnc à la traction, l’autre à la compression, ces deUx résistances se trouvant compliquées d’ailleurs par une déformation de la ligne d’axe.

.Si maintenant on nomme

M le moment statiipie de la résultante des forces qui agissent par flexion dans la surface, ce moment étant rapjmrté à raxe neutre de la section,

J le moment d’inertie de la surface par rapport à son axe neutre, a la distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre, soit sur le côté qui travaille par compression, soit sur l’autre, © l’effort moléculaire développé dans cette fibre, on a:

RÉ8ISTANCK DKS MATÉIUAI'X.

Le produit ^ s’appelle le moment fléeliissant de la section

considérée. tSi la tige fléchie est prismati(|uc et si l'on désipie par P la résultante des forces qui <létermincnt la flexion, par x son bras de levier pour une section quelconque, l’expression M = Px peut avoir des valeurs différentes pour les diverses sections. Celle pour laipielle Px prend sa plus jurande valeur porte le nom de section dangereuse, et la force P, qui détermine, dans cette section, la tension positive ou négative o, a pour expression :

représentant la valeur spéciale de x pour laquelle Px devient maximum.

Ivorsquc la ligne des centres de gravité des sections est située dans le même plan que la résultante des forces extérieures, cette ligne n’éprouve, par retfet de la flexion, qu’un allongement nul , ou tout au moins négligeable ; elle est simplement courbée et le rayon de courbure correspontlant q est donné par la formule

La courbe eorresjmndante s’ap])clle ligne élastique, et son équation rentre dans l’expression générale <Py M dx^ JE

Dans la table qui suit, on a réuni, pour une tige prismati(|ue soumise i’i une force fléchissante, agissant dans diverses conditions, les valeurs ci -après:

1°, le moment M <le la f(>rce pour le point x;

2", la charge de flexion P, calculée suivant la formule (5);

3°, les coordonnées x et y de la ligne élastique;

4°, la valeur f de l’abscisse y au point d’application de la force, dans les exemples I à VI;

5”, enfin, la flèche maximum f, dans les exemples VII à XIII.

Dans tous les cas examinés, on a négligé le poids propre de la pièce, ce qui, dans nombre d’applications, notamment dans la construction des machines, est parfaitement permis; (il n’en serait plus de même pour les ponts ou les grandes constructions). Les exemples VII à X indiquent d’ailleurs comment on devrait

RÉ8IHTAN(;E a ea fi.exiun.

procéder pour tenir compte de ce poids. — Les N“ XI et XII montrent qu’une répartition inégale de la charge peut, dans certaines conditions, augmenter notablement la charge de flexion d’une poutre, qui, dans ces deux cas, se trouve être une Ibis et demie celle des N“* VII et VIII. En même temps, la répartition de charge admise pour XI et XII donne lieu à des flèches

plus faibles que dans les cas des X“* VII et VIII. Ces considérations sont très - importantes pour rétablissement des projets de magasins. — Iæ mode de répartition du N" XIII est, par contre, désavantageux au point de vue de la charge de flexion, qui se

trouve réduite aux ^|^ de celle du N° VIII; en outre la flèche

est plus grande.

II convient de remarquer que la flèche f croit comme les cubes des longueurs et que, suivant la manière dont est supportée la pièce, cette flèche \arie dans des limites très -étendues.

RÉSISTAXfK A I.A PLF:LX10N.

Equation «Je la li^ne élastique.

Flwho f.

ObscrvationB.