F.-A. Forel. Note sur la formule des seiches

Bull. S. V. S. N., XXVII, XX. 1891.

Arch. Genève, XXV, 599. 1891.

33. P. du Boijn. Sur le mouvement de balancement rythmé de l'eau des

lacs (seiches).

Cptes R. Acad. Se. Paris, GXII, 1202. 1891.

34. — Essai théorique sur les seiches, avec appendice par F.-A. Forel.

Arch. Genève, XXV, 628. 1891.

35. Ed. Sarasui. Remarques sur les seiches binodales, à propos de l'essai

théorique de M. du Boys.

Arch. Genève, XXVI, 81. 1891.

Parmi les traités généraux qui, dans les dernières années, ont étudié les seiches, je citerai :

/. Hann. Allgenieine Erdkunde, p. 178. Prag, 1881,

S. Gûnther. Lelirbuch der Geophysik, 11, 373. Stuttgart, 1885.

0. Kribnmel. Handbuch der Ozeanographie, II, 137. Stuttgart, 1887.

LES VAGUES d'OSC.ILLATIOX FIXE DES BASSINS LIMITÉS.

J'ai publié sur les seiches un grand nombre de mémoires, à mesure que l'observation et la théorie se développaient ; plusieurs physiciens, mes collègues et mes amis, se sont intéressés à ces recherches et ont élucidé la question par leurs études théoriques et e.x'périmentales ; ces travaux se corrigeant et se complétant les uns les autres nous ont tous amenés plus près du but. Ce but est la synthèse dont je vais essayer de tracer ici les grands traits. Il resta encore beaucoup à faire pour que le phénomène soit expliqué dans tous ses détails, et pour que les faits spéciaux observables dans chaque station de chaque lac soient interprétés défmitivement ; mais il semble que la théorie générale rend suffisamment compte de l'ensemble des faits d'expérience, et que l'hypothèse se rapproche heureusement de la vérification que l'on est en droit d'exiger.

Le fait de physique générale que je crois avoir démontré est le sui- A'ant : Le mouvement de balancement de l'eau, que nous observons tous les jours dans nos bassins de petites dimensions, verre à boire, cuvette ou baignoire, se manifeste aussi dans les bassins de dimensions gigantesques des lacs; il se traduit à l'observation par ce que nous appelons les seiches.

Je vais essayer de faire cette démonsti'ation en étudiant le balancement de l'eau dans un bassin quelconque, et en en déterminant les lois; je retrouverai ces mêmes lois dans les seiches des lacs.

On peut mettre en mouvement de balancement le liquide contenu dans un bassin par deux méthodes, ou bien en portant un coup sur le liquide, ou bien en ébranlant le bassin ('). Mais, dans les deux métho-

0) Povu" mes expériences faites dans des auges et bassins, j'ai employé les pi-océdés suivants. Quand je voulais agir directement sur l'eau, je frappais l'eau avec une planche horizontale, de large surface, environ le quart de la superficie du

des, Timpulsion doit se rapprocher par ses allures de la vitesse du balancement de l'eau que l'on veut déterminer ; si le coup est trop brusque, ou s'il est trop lent, s'il est trop éloigné du rythme des vagues de balancement, celles-ci ne se développent pas. Que ce soit l'eau qui soit seule mise en mouvement, que ce soit l'ensemble du bassin et de l'eau qu'il contient qui soit ébranlé, il se produit en premier lieu une dénivellation locale ; l'eau est chassée d'une partie du vase et accumulée dans l'autre, la surface de l'eau s'afïaisse en un point et se relève en un autre. Cette dénivellation cesse aussitôt que l'action pertubatrice est terminée, et l'eau tend à reprendre son niveau primitif. Mais par suite de l'impulsion acquise pendant ce retour à l'horizontalité, elle dépasse le niveau horizontal et il se produit une dénivellation en sens inverse. Celle-ci, elle aussi, n'est que temporaire et, de dénivellation positive en dénivellation négative, d'oscillation dans un sens, puis dans un autre, l'eau balance dans le bassin jusqu'à ce que, par les frottements contre les parois, et par les frottements intestins des molécules du liquide, le mouvement soit annulé, et le niveau horizontal soit repris. Il se produit donc une série d'oscillations pendulaires, d'amplitude décroissante, jusqu'à ce que l'équilibre soit enfin rétabli.

Il s'en suit que les vagues de balancement ne sont jamais isolées ; elles se présentent toujours sous la forme de séries, d'amplitude décroissante jusqu'à la valeur zéro. C'est l'une des caractéristiques essentielles de cet ordre de mouvements.

Le balancement de l'eau dans un bassin fei-mé peut être considéré comme étant un mouvement pendulaire simple ; la masse entière de l'eau se déplace en oscillant alternativement de chaque côté d'un plan vertical qui coupe le bassin en deux moitiés. Sur la ligne médiane l'eau subit simplement un mouvement oscillatoire horizontal; des deux côtés de la ligne médiane le mouvement se complique, et l'eau tantôt amenée en excès, tantôt enlevée par le balancement pendulaire, subit des variations de hauteur, en outre du déplacement horizontal. Il en résulte que dans les deux moitiés du bassin séparées par la ligne médiane, la surface de l'eau présente des dénivellations rythmi-

bassin; on mieux encore, je plongeais dans l'eau, à l'une des extrémités du bassin, une planche horizontale tenue par un manche, et je la soulevais et l'abaissais suivant un rythme convenable. Quand je voulais agir sur le l^assin, je le faisais basciiler sur sa base, puis je le rétalîlissais dans la position primitive.

ques, qui tantôt s'élèvent au-dessus, tantôt s'abaissent au-dessous du niveau moven.

(Fig. 47.) Schéma de l'oscillation uninodale de balancement.

(Fig. 45 et 4i;.) Positions extrêmes de l'eau dans le balancement iminodal.

Soit ah le niveau moyen de l'eau; dans l'oscillation de balancement la surface de l'eau prendra alternativement les positions extrêmes a' h' et a" h", fig. 45 et 46. Dans la lig. 47 j'ai superposé les deux ligures précédentes et je donne ainsi le schéma de l'oscillation complète du balancement uninodal.

Le balancement de l'eau appartient au type des oscillations fixes : tel que nous le considérons actuellement, c'est une oscillation fixe

uninodale. D'après la nomenclature ordinaii-e j'appelle, dans un profil en long de bassin, ligne nodale, X, l'axe médian qui sépare le vase en deux moitiés, la ligne des deux côtés de laquelle la masse de l'eau oscille en mouvement pendulaire. J'appelle ventre d'oscillation, V et V , les deux régions du bassin où l'eau a son maximum de mouvement oscillatoire vertical.

Le mouvement de l'eau, dans le sens horizontal, a son maximum sur la ligne nodale, son minimum, égal à zéro, à l'extrémité terminale des ventres d'oscillation ; dans le sens vertical, le maximum est à l'extrémité des ventres, le minimum, égal à zéro sur le nœud.

Dans les deux ventres d'oscillation, la direction du mouvement vertical est synchrone et opposée, c'est-à-dire que l'eau s'élève dans une des moitiés du bassin en même temps qu'elle s'abaisse dans l'autre, et vice-versa. Quant au mouvement horizontal, il est général, simultané et de même sens dans toute l'étendue de la masse liquide. L'un et l'autre, le mouvement horizontal et le mouvement vertical, sont alternatifs et changent de direction à la fin de chacune des phases de la période d'oscillation.

Dans un bassin de forme quelconque, l'on peut déterminer simultanément plusieurs mouvements de balancement simples qui oscillent en même temps et se superposent. Les principaux de ces mouvements

ont lieu suivant les deux diamètres principaux du bassin, diamètre longitudinal et diamètre transversal.

Je l'ai souvent constaté dans un aquarium rectangulaire : je mettais l'eau en balancement dans le sens d'une de ses faces, puis aussitôt après dans le sens de l'autre face ; les deux vagues de balancement suivaient chacune leur rythme, et ne semblaient pas gênées l'une par l'autre. Si le vase est assez compliqué pour présenter plusieurs bassins distincts, il peut y avoir des mouvements de balancement partiels, totalement indépendants les uns des autres.

De même qu'une corde tendue peut en vibrant donner plusieurs notes hai'moniques, suivant qu'elle vibre dans toute sa longueur en ne formant qu'un ventre d'oscillation ou qu'elle vibre en longueurs partielles en formant deux, trois, quatre ou un plus grand nombre de ventres, de même aussi l'eau, dans son mouvement de balancement, peut présenter des vagues d'oscillation fixe de divers ordres.

Le plus fréquent est celui que nous avons décrit jusqu'à présent et que nous désignons sous le nom de vagues d'oscillation fixe uninodale; vient ensuite en fréquence la vague binodale. Voici les caractères de ce second type.

Si au milieu de la longueur du bassin d'expérience j'imprime à l'eau un mouvement rythmique convenable en y faisant, par exemple, mouvoir verticalement un solide que je soulève et que j'enfonce alternativement, j'obtiens bientôt un mouvement de balancement partiel dans les deux moitiés du bassin, dont les phases sucessives sont

(flg. 48 et 49.) Positions extrêmes de l'eau dans le balancement binodal.

représentées dans les figures 48 et 49 ; « b étant la surface de l'eau à l'état de repos, les lignes a' c' h' et a" c" h" sont la surface de l'eau au moment du maximum de dénivellation. Si je superpose ces deux

dessins dans la figure 50, j'obtiens le schéma de l'oscillation binodale de balancement de l'eau : les points i\' et iS'' représentent les

(Fig. 50.) Schéma de rosciiiation binodale H^^^ nodales OU uœuds au nombre de balancement. ^le deux, placés au premier quart

et au troisième quart de la longueur totale du bassin ; les points F, Y'

et V" représentent les trois nœuds d'oscillation, dont Tun V" est médian, les deux autres V et V sont terminaux.

Ce mouvement binodal peut être considéré comme formé par la juxtaposition de deux mouvements uninodaux. Du moment que le mouvement binodal a été établi, si l'on pouvait placer une cloison verticale dans le plan transversal au milieu du ventre médian, on verrait l'eau continuer à balancer, en mouvement uninodal, dans chacune des deux moitiés du bassin, avec le même rythme et les mêmes allures qu'elle a dans le mouvement binodal.

On peut concevoir la possibilité d'établissement de vagues d'oscillation fixe trinodales à 3 nœuds et 4 ventres, quadrinodales à 4 nœuds et 5 ventres, et en général multinodales avec un nom.bre de nœuds de h et de ventres n -\- i (').Nous en .signalerons l'existence probable dans les seiches des lacs. Dans tous les cas, il y a toujours un ventre d'oscillation à chaque extrémité du bassin, au point où la vague se réfléchit pour retourner en arrière. En effet les vagues d'oscillation fixe peuvent être considérées comme étant des séries de • vagues d'oscillation progressive, arrêtées dans leur marche par une paroi contre laquelle elles se réfféchissent successivement ; elles retournent en arrière, chacune d'elles interférant avec les vagues qui lui succèdent et donnant un ventre aux points où les deux sommets homologues coïncident, un nœud où la couicidence se fait entre deux sommets inverses.

La durée du mouvement du même type de vagues de balancement est toujours la même dans le même bassin et dans la même section verticale du bassin ; c'est là un des caractères essentiels des vagues d'oscillation fixe; on peut l'exprimer autrement en disant que c'est une oscillation pendulaire.

La durée des vagues de balancement est fonction des dimensions du bassin ; les expériences et déductions suivantes nous l'ont appris.

En 1870, j'ai étudié les lois principales de l'oscillation de balancement en expérimentant dans une auge du modèle des frères Weber ('^). Ce bassin monté sur un cadre en bois de chêne, avec des parois latérales en verre, mesure 1.3'" de longueur, 40'"' de hauteur, 3'"' de largeur.

(') En tenant compte du fait que les ventres terminaux ne sont que des demiventres, on pourrait dire aussi que le nombre des ventres est égal à celui des nœuds.

(-) Brûder Weber. Die Wellenlelire auf Expérimente gegriindet, p. lO-j, Atlas f. 12, Leipzig IS-'Ô.

Il est fixé sur un rouleau établi perpendiculairement à la longueur, sur lequel je puis faire balancer l'appareil. Pour déterminer des vagues de balancement, après avoir rempli d'eau l'auge jusqu'à une hauteur convenable, j'imprime à l'appareil une secousse en le faisant basculer sur le rouleau; puis avec deux coins, je cale l'auge, et l'eau reste seule en mouvement de balancement. J'étudie les oscillations de l'eau en observant les poussières en suspension dans le liquide ; je mesure la durée totale d'une série de vagues de balancement, et, en divisant cette valeur par le nombre des oscillations, j'obtiens la durée moyenne d'une vague. ('')

Après avoir étudié la vague de balancement dans le bassin, avec toute sa longueur de 1.3'", j'ai obtenu les mêmes vagues dans des bassins plus courts en partageant l'auge à des distances convenables par un diaphragme vertical (un boyau de bœuf rempli de sable fm, bien tassé).

En faisant varier soit la profondeur de l'eau, soit la longueur utile de l'auge, j'ai obtenu les chiffres suivants qui expriment en secondes de temps la durée d'une.vague entière de balancement de l'eau. J'appelle vague entière la série de mouvements qui ramène l'eau à la position du point de départ.

Protondeur

Durée en secondes de la vague de balancement

d'eau.

pour

diverses

lon,!,meurs du bassin (en millimètres).

395mm

iSOOrnm

5cm

De ces chiffres et de nombreuses expériences accessoires, pour le

(') Le mouvement d'oscillation était encore parfaitement constatable dans mon auge jusqu'à la lO vague, quand la profondeur d'eau n'était que de 5™, jusqu'à la 20« vague et plus quand l'eau dépassait 20"" de profondeur. La durée de la vague ■est donc relativement très exacte. S'il y a des irrégularités dans les courbes que l'on peut établir d'après les cliifîres de mon tableau, elles proviennent de la mesure de la profondeur de l'eau, ou de la longueur du bassin, mesures pour lesquelles j'aurais pu prendre plus de soin. .Je n'en ai pas senti le besoin pour la mise en évidence des lois très simples que j'avais à foi-muler.

détail desquelles je renvoie à ma Première étude sur les seiches (^), j'ai tiré les lois de l'oscillation fixe applicables au phénomène des seiches. Tous les faits et lois que j'expose ici s'appliquent au mouvement de balancement simple ou vague d'oscillation fixe uninodale.

I. Dans les mêmes conditions de longueur et de profondeur, la durée de la vague de balancement est toujours la même, quelle que soit la hauteur de la vague, ou l'amplitude du mouvement.

Cette loi, qui rapproche l'oscillation fixe de l'eau des mouvements pendulaires, résulte de l'ensemble des observations et expériences.

II. Dans les mêmes conditions de profondeur d'eau, la durée de la vague de balancement augmente à mesure que la longueur du bassin augmente.

Pour une profondeur d'eau de S'""" la durée de la vague est : de iM'"^^ si le basssin a 32^^"' de longueur 3.6 — 130 —

III. Dans les mêmes conditions de longueur du bassin, la durée de la vague de balancement augmente à mesure que la profondeur d'eau diminue.

Pour une longueur du bassin de 1.30'", la durée de la vague est : de 3.65*0'- si l'eau a 5'"' de profondeur 1.60 — 35 —

L'influence du manque de profondeur d'eau se fait sentir jusqu'à une certaine limite, au-delà de laquelle elle n'apparaît plus dans mes expériences. C'est ainsi que pour une longueur de bassin de 3'2'">, à partir et au-dessus de 15''" de profondeur d'eau, la durée de la vague reste constante; pour une longueur de bassin de 43'"', c'est à partir de 20'-'" de profondeur; pour une longueur de 94'^'" c'est à partir de 25<"'". Cette limite est par une profondeur d'autant moins grande que la longueur du bassin est plus faible.

Ces lois II et III qui se déduisent des valeurs du tableau de la page 70 se résument dans la phrase : l'oscillation fixe e.st d'autant plus lente que le bassin est plus long et moins profond, ou encore, la durée de l'oscillation fixe est fonction directe de la longueur du bassin, fonction inverse de la profondeui'.