IV. Pour la même longueur du bassin la durée de la va

(') (Loc. cit. p. 62, n» 1.)

gue est légèrement ralentie si le plancher, au lieu d'être horizontal, est incliné, si la profondeur d'eau, au lieu d'être la même sur toute la longueur, est différente aux deux extrémités du bassin.

Cela résulte de l'expérience suivante : J'ai mis dans l'auge une certaine quantité d'eau, et après avoir mesuré la durée de la vague lorsque le fond était horizontal, j'ai incliné le bassin en continuant à mesurer la vague de balancement. La différence n'est pas très marquée, mais elle est incontestable ; elle ne se manifeste que lorsque la différence de profondeur est forte.

Profondeur de l'eau aux deux extrémités. Durée de la vague de balancement.

50mni 50mm 3.(3 soc

V. Pour une même impulsion, dans \ine même longueur du bassin, la hauteur de la vague est plus forte lorsque la profondeur d'eau est moindre.

Cette loi résulte de l'expérience suivante : Je fixe mon auge dans une position déterminée, et je l'organise de telle manière que l'impulsion donnée soit de même intensité ; puis je mesure la hauteur de la vague de balancement au-dessus du niveau de l'eau tranquille, en ayant soin de mesurer toujours la même vague de la série (j'ai choisi la 2e vague). J'ai répété cette expérience pour diverses profondeurs d'eau et j'ai trouvé :

Hauteur de la 2^ vague par 5'"' de profondeur d'eau 9mm — — 20 — G

VI. Dans un bassin dont le fond est incliné, la hauteur de la vague est plus forte à l'extrémité la moins profonde moins forte à l'extrémité la plus profonde.

L'expérience suivante m'a indiqué cette loi. Par une profondeur moyenne d'eau de 5'"', j'ai incliné le plancher du bassin de manière à ce qu'il y eût à l'une des extrémités 91mm ^q profondeur d'eau, à l'autre 9mm. J'ai mesuré la hauteur de la première vague à son retour, à 12^1" de la paroi terminale, après avoir donné des impulsions de même intensité. J'ai obtenu :

par 85'"m (\q profondeur 7mm ^le hauteur de vague. — 15— — 11— — —

VIL Dans un bassin de profondeur uniforme, mais dont •'a largeur est inégale, la hauteur de la vague est plus

forte dans la partie la plus étroite que dans la partie la plus large. L'expérience suivante prouve la justesse de cette loi. Dans un aquarium, bassni rectangulaire de 60''" de longueur sur 30'''" de largeur, que j'ai rempli d'eau jusqu'à 10, ou 15, ou 20"" de profondeur, je fixe une lame de verre verticale qui partage à peu près en diagonale ie champ d'eau, de telle manière que les deux bassins ainsi séparés ont une largeur de '24'^ ru côté le plus large, 6'™ à l'autre. La longueur et la profondeur de l'eau étant les mêmes dans les deux bassins, la durée de l'oscillation de balancement y est aussi la même; l'eau oscille simultanément dans les deux bassins partiels si l'aquarium dans son ensemble reçoit une im[)ulsion. Mais la vague se relève notablement plus haut dans la partie étroite que dans la partie large de chaque bassin, ce que l'on voit manifestement à travers la lame de verre.

Vin. Le mouvement d'oscillation de balancement est simultané et de même direction dans toute l'étendue du bassin. Sa direction change simultanément de direction dans toute la masse de l'eau.

Cette loi exprime le caractère essentiel de l'oscillation de balancement de l'eau.

IX. La densité du liquide n'a pas d'influence sur la durée de la vague d e b a 1 a n c e m e n t . Dans le même vase et avec la même profondeur de liquide, j'ai fait successivement balancer du mercure, densité 13.59, et de l'alcool absolu, densité 0.75, et j'ai trouvé exactement la même durée d'oscillation. (')

n ne suffisait pas d'avoir reconnu que la vague uninodale d'oscillation fixe est fonction directe de la longueur du bassin et fonction inverse de la profondeur ; il était nécessaire de déterminer quelles étaient ces fonctions. Les recherches et considérations suivantes nous ont appris la formule applicable aux seiches.

Le D^' Fréd. Guthrie, professeur à l'Ecole des Mines de Londres, a étudié en 1875 le mouvement des vagues d'oscillation fixe dans des bassins d'expérience, et est arrivé à rapporter la durée de ces vagues à celle des oscillations du pendule. Mais il ne s'est occupé que des

(') Cette loi aurait pu être réduite théoriquement. Aussi bien la masse du liquide à mouvoir que son poids, c'est-à-dire la force qui le fait mouvoir, sont l'un et Vautre proportionnels à la densité. Le rapport étant le même, la résultante doit être identique.

cas où le bassin est assez profond pour que les variations de la profondeur n'influencent plus la durée des vagues ('). Il a reconnu, comme moi, que, dans le mouvement de balancement de l'eau, la profondeur a une très grande influence sur la durée de la vague tant que le bassin est peu profond ; à mesure que la profondeur augmente, cette action diminue, et lorsque la profondeur arrive à être une fraction importante de la longueur, cette action est absolument nulle. M. Gutbrie ne s'est attaqué qu'aux cas où l'influence de la profondeur peut être négligée et il a reconnu :

1» Que les oscUlaiions circulaires hinodales dans un hassin circulaire sont isochrones avec celles d'un pendide dont la longueur est égale au rayon du hassin. Ç")

2" Due les oscillatims hinodales dans un hassin rectangulaire sont

o égales en durée à celles d'un pendide dont la hmgueur est —^ de la

longueur du hassin.

3° Que la durée des oscillations uninodales dans un hassin rectangulaire est à celle des oscillations hinodales du niènie hassin comme

D'après ces lois du D^' Gutbrie, la formule des vagues d'oscillation fixe dans un des bassins de profondeur inlinie serait, / étant la durée d'une demi-oscillation de l'eau, et l la longueur du bassin (ou son diamètre dans les bassins circulaires) ; g étant le coefficient de la pesanteur :

Oscillations binodales circulaires dans un bassin circulaire :

Oscillations binodales longitudinales dans un bassin rectangulaire :

(') Frederick Gathrie. On stationary liquid waves, Pruceed. of the p}iys. Society, vol. I, London, 1875.

(-) Dans l'énoncé de ces lois, le D' Guthrie a considéré la durée de l'oscillation de l'eau comme étant une oscillation entière, à savoir le temps nécessaire pour ramener à son niveau l'eau qui s'est abaissée, puis relevée, tandis que pour le pendule il a considéré la demi-oscillation, à savoir le temps pendant lequel le mobile se rend de droite à gauche ou de gauche à droite.

Oscillations uninodales longitudinales dans ini bassin rectangulaire :

C'est cette dernière formule (3) qui serait applicable aux seiches, si les lacs étaient assez profonds pour que les lois de M. Guthrie pussent leur être attribuées. Mais la profondeur des lacs est trop faible proportionnellement à leur longueur pour que son influence puisse être négligée. En efiet, l'action de la profondeur n'est négligeable que dans des bassins dont la profondeur est à la longueur dans un rapport de 1 : 2 ou moins encore, et dans les lacs suisses que j'ai étudiés au point de vue des seiches, ce rapport était de 1 : 360 à 1 : 53. (^)

Ces formules de M. Guthrie qui ne font pas intervenir la profondeur ne sont donc pas utilisables pour le calcul des seiches.

Je dois à l'obligeance du D'' C. Von der Mïihl, alors professeur à Leipzig, aujourd'hui à Bâle, la communication d'un mémoire ('-) de son grand-oncle, J.-Rud. Merian, de Bàle, qui a étudié par l'analyse mathématique les mouvements des liquides dans les bassins. Partant des équatiori^ diiïérentielles de la mécanique analytique de Lagrange, qui expriment d'une part la pression exercée de différents côtés sur un des éléments d'un liquide contenu dans un vase, et d'une autre part la vitesse de cet élément suivant trois axes à angle droit, Merian est arrivé entre autres (page 31) à une équation :

(1) Le lac de Joiix est celui des lacs suisses dans lequel ce rapport est le plus faible ; sa longueur est de y''™, et sa profondeur maximale de 33'", le rapport est 1 : 273. Le lac de Brienz est au contraire, parmi les grands lacs subalpins, le plus profond, 261™, par rapport à sa longueur 13.7'"", le rapport étant 1 : 53. Quant au Léman, sa longueur suivant l'axe courbe étant 72.3'"" et sa profondeur 310'", le rapport est 1 : 233.

C^) J.-R. Merian. Ueber die Bewegung tropfbarer FUissigkeiten in Gefiissen. Abhandlung von D'' J.-Rud. Merian. Basel, 1828. — M. Von der Mûbl a publié, en 188-3, une seconde édition du mémoire de Merian, en lui donnant une forme qui tient compte des progrés faits depuis lors dans l'analyse matbématique. Mathematische Annalen. XXVIl, .575. Leipzig, 1885.

qui exprime la durée ( de l'oscillation simple de l'eau en fonction de la longueur l et de la profondeur /* du bassin.

« Si le bassin, dit Merian, était de profondeur infmie (h zz ^^), on aurait

t - Vil (5)

Autrement dit : La durée d'une oscillation de l'eau serait à celle du l^endule de longueur \ coinme 1 : . / - ('). Si h n'est pas infini,

cette valeur doit être multipliée par le terme entre parenthèse (4). Autrement dit : La durée de l'oscillation est ralentie par le peu de profondeur de l'eau et cela d'auta)d plus que la profondeur est moins forte. »

Si les seiches sont bien, comme je le suppose, des mouvements d'oscillation lixe de l'eau, cette formule doit exprimer leur rythme. C'est ce cjue nous allons vérifier.

Tout d'abord j'ai appliqué cette formule (4) aux expériences que j'avais faites sur le balancement de l'eau dans un bassin rect^igulaire à parois planes et à profondeur régulière.

La longueur du bassin étant de 1.30'", Texpérience m'avait donné :

Pour une profondeur de 35''" une durée d'oscillation simple de 0.80 seconde ;

Pour une profondeur de S''» une durée d'oscillation de 1.82sec. (^2)

La formule de Merian (4) appliquée à ces données arrive à une durée de 0.78se'' pour le premier cas, de 1.86se% pour le deuxième cas. La différence est assez faible pour que je puisse l'attribuer à des erreurs d'expérimentation et je dois admettre que la formule s'applique bien à l'oscillation, soit balancement de l'eau, dans un bassin régulier.

En sera-t-il de même dans un bassin iri'égulier?

Dans mes études expérimentnles, j'ai essayé d'élucider l'influence de l'inclinaison du fond du bassin. Après avoir rempli d'eau l'auge jusqu'à une hauteur donnée, et avoir mesuré le nombre des oscillations lorsque le fond était horizontal, j'ai incliné le bassin de manière à ce que la profondeur de l'eau fût double à l'une des extrémités de

(') C'est la même formule à laquelle est arrivé le D'' Gutlirie, formule (3).

(-) Voir mon tableau de la page 70. Dans ce tableau, la durée des vagues de balancement est celle de la vague entière. Ici je ne fais intervenir que la demi-oscillation. Les valeurs de mon tableau doivent donc être divisées par :2.

ce qu'elle était à l'autre ; j'ai constaté que la durée des oscillations n'était pas modifiée d'une manière appréciable. En poussant l'expérience à l'extrême et en faisant la profondeur dix fois plus forte à l'une des extrémités qu'à l'autre, j'ai reconnu que la durée des oscillations était augmentée il est vrai, mais l'était d'une quantité si faible, ^/2o environ, que je puis dire qu'elle n'est pas notablement modifiée.

J'ai donc pu admettre provisoirement que l'inclinaison du fond ne modifie pas notablement la durée de l'oscillation, que celle-ci est par conséquent fonction de la profondeur moyenne et non des profondeurs extrêmes.

Dans le cas où le fond, au lieu d'être régulier, deviendrait inégal et irrégulier, peut-on admettre que la profondeur moyenne réglerait encore la durée des oscillations de l'eau '? L'analogie permet de le supposer, pour une première recherche.

J'ai donc essayé d'appliquer la formule de Merlan au bassin irrégulier, incliné et inégal des lacs et de cherclier si les valeurs qu'elle donnerait pourraient s'appliquer convenablement aux seiches.

Mais là je me trouvais en présence d'une inconnue : la profondeur moyenne des lacs. Etant donnés les sondages plus ou moins nombreux dont on dispose pour le reUef d'un lac, y a-t-il possibilité d'en déduire la profondeur moyenne de ce lac? J'aurais pu l'essayer; j'ai préféré suivre une autre marche.

J'ai transformé l'équation de Merian, poui" faciliter les calculs, en

puis j'en ai déduit la valeur de h, profondeur moyenne du lac.

V log. e

De cette manière, je puis, ou bien chercher la durée des seiches étant connues la longueur et la profondeur moyenne du lac, ou bien calculer la profondeur moyenne étant connues la longueur du bassin

et la durée des seiches. J'ai exécuté quelques-uns de ces calculs en utilisant les données que je possède et je les ai trouvés parfaitement réalisables. Nous en donnerons plus loin quelques exemples.

Les résultats de ces calculs correspondaient assez suffisamment aux faits connus pour que j'aie pu admettre provisoirement que la formule de Merian s'applique très convenablement aux lacs ; à l'aide de cette formule l'on pourrait donc calculer la durée des seiches des lacs dont le l'elief est connu, apprécier la profondeur moyenne d'un lac par l'étude de la durée des seiches.

Je dois à sir William Thomson, professeur à l'Université de Glasgow, aujourd'hui lord Kelvin, une simplification très importante de la formule de Merian, qui en rend l'application plus facile et plus pratique. Dans une letti-e du 6 octobre 187G, il me dit entre autres :

« Dans le cas où la longueur d'un bassin est très considérable par

rapport à la profondeur, de telle manière que— — soit une très petite fraction, la formule de Merian devient approximativement :

ou

11 est probable que, dans les lacs où vous avez à appliquer la formule, les conditions sont telles que le terme —j-\~ — ) peut être négligé sans inconvénient, de sorte qu'en définitive vous auriez simplement

ce qui peut se traduire ainsi : La demi-période d'une oscillation de seiche est le temps qui serait employé pour traverser la longueur du lac avec la vitesse qu'acquerrait un corps tombant d'une Jiauteur égcde à la moitié de la profondeur moyenne du lac. »

J'ai aussitôt essayé d'appliquer cette formule (8) à quelques calculs de seiches, et, en la comparant avec les valeurs que me donnait la

formule complète de Merian, j'ai reconnu que l'écart entre les résultats des deux formules est insignifiant et en tous les cas très loin de l'importance des erreurs que Ton est exposé à faire en mesurant la durée des seiches.

Cette formule simplifiée est donc parfaitement applicable à l'étude des seiches, dans des lacs relativement peu profonds comme le sont nos lacs suisses, et, comme elle est beaucoup plus simple que celle de Merian, elle devra lui être préférée.

L'on peut de cette formule (8) tirer :

'■^iw '9)

ce qui permet de calculer la profondeur moyenne d'un lac, étant connues la longueur de ce lac et la durée de ses seiches,

ou encore / ^ f . g li (10)

formule qui serait applicable à la résolution de quelques cas spéciaux. (')

L'on peut enfin développer cette même formule (8) en disant : que la durée des seidies est proportionnelle à la longueur des lacs et inversement proportionnelle à la racine carrée de leur profondeur moyenne.

En possession de cette formule, je l'ai appliquée au calcul des seiches d'après les données que j'avais alors, à savoir : la durée des seiches de la plupart des lacs suisses, mesurées par»quelques observations plémyramétriques, la longueur des lacs d'après la carte au 1 : 100000<=, enfin la profondeur des lacs (pour la plupart des lacs suisses nous ne connaissions à cette époque que la profondeur maximale). J'ai constaté que le calcul m'amenait à des résultats assez satisfaisants pour que j'aie pu avancer que la formule de Merian était applicable aux rapports entre la durée des seiches et les dimensions des lacs.

Je ne répète pas ici tous ces calculs, parce que les données étaient entachées de trop grosses erreur-s, et que les résultats étaient purement provisoires. J'en citerai cependant deux qui m'ont amené à des faits intéressants.

(') Dans l'utilisation de ces l'orraiiles, g étant le coeflicient de la pesanteur 9.8(388'", l et h la longueur et la profondeur du bassin, doivent être exprimées en mètres, et (, la durée de la demi-oscillation de balancement, en secondes de temps.

Le premier se rapporte au lac de AValenstadt. A cette époque (1876) la carte hydrographique de ce lac n'était pas encore levée ; les renseignements les plus précis sur la profondeur du lac provenaient des opérations du sauvetage du bateau à vapeur le Dauphin, naufragé en 1851 ; d'après le dire des ingénieurs, le bateau gisait sur le fond sous 414™ d'eau; le fond étant plat autour du bateau, ils admettaient que c'était la profondeur maximale du lac. Pour la longueur da lac, la carte fédérale donnait IS-Si^'n. Quant aux seiches, je les avais mesurées le 18 septembre 1874; elles étaient, ce jour-là, très belles et très régulières ; leur durée moyenne de 871 secondes me paraissait fort bien assurée.

Or en appliquant la formule (7), je tirai de la longueur du lac et de la durée des seiches une valeur de /;, profondeur moyenne, de 125'". Cette valeur était incompatible avec une profondeur maximale de 114^. Ou bien les ingénieurs du DaupJiin avait fait erreur, ou bien ma mesure des seiches était fausse, ou bien encore la formule employée ne s'appliquait pas à ces faits. Il fallait donc vérifier les données. Le 3 octobre 1876, je me suis rendu à Wesen, et, armé de la sonde, j'ai cherché quelle est la profondeur maximale du lac. J'ai trouvé devant Quinten jusqu'à 138™ ; depuis lors, en 1880, M. l'ingénieur Manuel, en faisant le lever de la carte hydrographique, a constaté jusqu'à 151™ de profondeur maximale. Cela étant, la profondeur moyenne pouvait être 125™, et la formule était justifiée.

Le second cas se rapporte à un lac fort éloigné de nous. M. H.-C. Russell, astronome royal à Sydney, fit établir en 1885 un limnographe sur le lac George, lac de montagne, situé dans l'intérieur des terres, derrière le Gourock-Range, dans la province de Murray, Nouvelles Galles du Sud, longit. E. 149o25', lat. S. 35^7', altitude 600™. Les dimensions de ce lac sont : longueur 18 milles anglais (29'*™), largeur 5 milles (8 k™) profondeur 15 à 20 pieds (4.6 à 6.1™). Le limnographe commença à fonctionner le 18 février 1885, et aussitôt le crayon de l'enregistreur dessina des oscillations rythmiques qui intéressèrent au plus haut degré les observateurs. Ils constatèrent bientôt tous les détails d'allui'es que nous avons étudiés sur les seiches du Léman (constance de la durée, variabilité de la hauteur des oscillations, au maximum 13'™, relations avec les orages, distinction entre les seiches uninodales et binodales). Je n'analyse pas ici cette partie du rapport qui répéterait des faits depuis longtemps établis par l'étude de notre lac.

Mais ce que j'y trouve de plus intéressant, c'est ce qui se rapporte à la durée des seiches. De la mesure de ;13 seiches bien régulières, M. Russell conclut à une durée de 131 minutes pour l'oscillation entière des seiches du lac George. Or cette durée est énorme ; elle atteint presque le double de ce que nous avons sur le Léman où la grande seiche uninodale a une durée de 73 minutes, quoique notre lac, avec ses 72'^'" de longueur sur son axe courbe, soit de plus du double de la longueur du lac George qui n'a que 29^™.

La très faible profondeur du lac George suffira-t-elle à expliquer un ralentissement aussi marqué du mouvement des seiches? Appliquons notre formule :

t la durée d'une demi-oscillation de seiche ^3930*'^« donc h ^ 5.536™, soit 18.1 pieds anglais.

M. Russell nous dit que le lac George a actuellement 15 à 20 pieds de profondeur. Le calcul des seiches me donne pour cette profondeur 18 pieds. La vérification est aussi brillante que possible.

Ainsi donc j'étais autorisé par l'expérience à admettre que la formule

■est applicable aussi bien à l'oscillation fixe uninodale d'un bassin d'expérimentation qu'aux mouvements des seiches des lacs.

Il s'agissait toutefois de définir ce que doit représenter /« dans un bassin irrégulier, à fond inégal et compliqué, comme le sont les bassins d'eau dans la nature, h doit être la profondeur moyenne; mais qu'est-ce, en pareil cas, que la profondeur moyenne 1 Est-ce le volume total de la masse d'eau divisé par la superficie ? Est-ce la profondeur moyenne dans le plan vertical passant par l'axe du bassin suivant lequel l'eau balance ?

On peut comprendre avec quel intérêt j'attendais l'achèvement de la carte hydrographique du Léman qui devait permettre de juger cette question. Je connaissais exactement la durée des seiches uninodales du lac; je connaissais la longueur de l'axe du bassin; quant à la profondeur moyenne, je n'ai pu la calculer que lorsque j'ai eu à disposition la carte hydrographique du lac. Ces calculs ont été exécutés en

1890 et ont donné pour la profondeur moyenne générale du Léman ib'-I.l'", pour la profondeur moyenne sur l'axe courbe du lac 167"i. D'une autre part l'application de la formule de Merian m'amenait à une valeur de h == li'i.i'". Il y avait là une discordance grave. (^)

J'ai alors demandé secours aux mathématiciens, et la question ayant été posée à M. Paul du Boys, ingénieur en chef des ponts et chaussées du département de la Haute-Savoie, à Annecy, cet hydraulicien distingué a repris le problème et l'a résolu de la manière la plus satisfaisante. (-')

Tout d'abord M. du Boys a donné une nouvelle démonstration de la formule

dans le cas où le fond du bassin est horizontal, en se fondant sur les lois de l'hydraulique. Cette confirmation nous a été, on le compi'end, précieuse.

Puis il a abordé le cas où la profondeur du bassin est irrégulière. Je donne ici l'analyse de son mémoire, telle que M. du Boys l'a présentée, lui-même, à l'Académie des sciences de Paris. (•')

« Les équations différentielles du mouvement oscillatoire peuvent être posées directement ; mais il ne paraît pas possible d'en tirer parti quand la profondeur varie d'un point à l'autre du profil du bassin.

» Pour tourner cette difficulté, on peut identifie!' le mouvement de balancement avec le mouvement de propagation d'une onde solitaire de longueur double de la longueur du bassin et enfermée dans le dit bassin, de telle sorte que les deux extrémités de l'onde, après réflexion contre les parois extrêmes, se rejoignent et marchent ensemble. Alors deux points de l'onde interfèrent en chaque point du profil du bassin,, l'un des points de l'onde marchant dans un sens, l'autre marchant en sens contraire.

» La demi-période du mouvement de balancement, c'est-à-dii-e le temps t pendant lequel l'eau monte ou descend en un point du bassin, est égal au temps que le sommet de l'onde met à pai'courir la lon-

(') Procès-verbaux, S. V. S. N. 1" avril 189L

(-) Paul du iioi/s. Essai tlièorique sur les seiclies. Archives de Genève. XXV, 628, (■■') G. R. Acacl. de Paris, CXIT, 1-20:2, 1891.

gueur l du bassin. Or la vitesse <o de propagation de l'ondeest, pour une intumescence'de très faible hauteur, en unpointoù la prolbndeurest /*,

» Dès lors, si s est l'abscisse de ce point à partir de l'origine du Ixissin, on peut écrire :

h étant une fonction de 8.

» Cette formule pourra être appliquée à un bassin à fond irrégulier, en décomposant le profil en sections de longueur s ,• correspondant à des profondeurs extrêmes hi et Ji i f- i, entre lesquelles le profil du fond sera assimilé à une ligne droite ; la valeur de t prendra alors la forme : ,. s

» En appliquant cette méthode à un profil que l'on obtient en rectifiant la ligne du thalweg du Léman, on trouve des résultats qui s'écartent très peu de ceux de l'observation, sans qu'il y ait lieu de tenir compte des variations de profondeur dans les sections transversales du lac. »

Par conséquent, pour calculer pratiquement la durée i dans un bassin quelconque, il faudra décomposer le profil en long suivant l'axe de ce bassin en une série d'éléments, tels que chacun d'eux puisse être considéré comme ayant un fond rectiligne et faire la somme des temps employés pour le parcours de chacun de ces éléments. Pour chaque élément, le temps employé s'obtiendra en divisant la longueur de l'élément par la moyenne arithmétique des racines carrées des profondeurs aux deux extrémités de l'élément, cette moyenne arithméli-

<]ue étant multipliée par /~ V ■^'

La formule de M. P. du Boys, représentant la durée de la demi-oscillation uninodale de balancement dans un bassin de fond irrégulier, est donc :

^ U ^^ iV h + \/ h \ *^^*^

n étant le nombre des éléments.

M. du Boys s'est ensuite occupé de la position des nœuds de balancement. Je reprends son résumé :

« Pour que le mouvement donne lieu à un nœud, c'est-à-dire à un niveau invariable en un point fixe, il faudra que le profil de l'onde génératrice du mouvement, supposée se propageant dans un canal à fond horizontal, soit symétrique par rapport à la verticale passant par son sommet, et que les deux demi-ondes, en avant et en arrière du sommet, soient elles-mêmes symétriques par rapport à leur milieu.

» Dans ce cas, deux points de l'onde, distants d'une longueur telle que cet espace soit parcouru dans un temps égal à t, auront des ordonnées dont la somme sera constante. Deux points ainsi définis interféreront toujours en un point du bassin tel que, pour arriver de ce

point à l'une des extrémités du bassin, il faille un temps — .

Ai

» Ce point sera un nœud ; car si l'onde se déforme en passant sur des profondeurs variables, en un point donné du bassin la hauteur de l'intumescence reste toujours proportionnelle à la somme des intumescences des deux points correspondants de l'onde génératrice ; elle est donc constante pour ce point, qui réalise ainsi la condition caractéristique du nœud. »

Nous reviendrons sur le procédé pratique indiqué par M. du Boys pour trouver la position des nœuds, quand nous aurons à l'appliquer à nos seiches du Léman.

Pour ce qui regarde les vagues binodales d'oscillation de balancement /t'y, M. du Boys les considère comme ayant une durée de la moitié des vagues uninodales (/).

M. le professeur Ch. Soret, de Genève, dans une communication inédite Ç), est arrivé a un résultat un peu différent.

« La durée de l'oscillation des vagues uninodales étant donnée par la formule de Merian, pour l'oscillation des vagues binodales, il faut

remplacer l par —, et si la profondeur est infinie :

on a t zz: V —

(1) Ch. Soref, in litt : 27 juillet 1880.

« Au contraire pour une profondeur tendant vers zéro, t et l' tendent vers l'infini, mais leur rapport tend vers une limite fixe dont il se rapproche d'autant plus que la profondeur est plus faible.

e -+■ e pour /( = 0

« La durée des vagues binodales tendra donc à être la moitié de celle des vagues uninodales quand la profondeur du bassin diminuera vers 0. »

La durée de l'oscillation binodale serait donc, d'après cette interprétation de la formule de Merlan par M. Soret, intermédiaire à la

durée de l'oscillation uninodale divisée par y 2 soit par 1.414, cas atteint pour une profondeur infinie, et à la moitié de ces uninodales, cas atteint pour une profondeur d'eau nulle. Elle serait donc intermédiaire entre 0.5 et 0.7 de la durée des uninodales, se rapprochant d'autant plus de la première valeur que la profondeur d'eau sera moindre.

— Voyons maintenant ce que nous dit l'expérience. Dans mon auge de 1.30"^, j'ai successivement déterminé, pour la même profondeur d'eau, le rapport t : t' de la durée des uninodales et des binodales. Voici le résumé de plusieurs expériences, toutes concordantes : Profondeur d'eau. Rapport t : t'

Quand la profondeur d'eau est faible, le rapport est supérieur à 2,.

quand la profondeur est plus grande que 45 ou 20^m, le rapport devient inférieur à '2.

L'expérience et la théorie ne sont donc pas d'accord sur ce point. Nous verrons plus tard ce que nous donneront les seiches.

Résumons ce paragraphe sur les vagues de halancement.

Ces vagues ne sont jamais isolées ; elles se présentent en séries de hauteur décroissante; la durée de la vague est toujours la même pour le même type, quelle que soit la hauteur de la dénivellation.

Les vagues oscillent dans le sens des diamètres principaux du bassin. Il y a donc des vagues longitudinales et des vagues transversales. Il peut y avoir développement simultané de ces deux systèmes de vagues.

Les vagues se présentent sous la forme de vagues uninodales, de vagues binodales : ce sont les types principaux ; accidentellement il peut se développer des vagues plurinodales.

Il y a toujours un ventre à chaque extrémité du plan d'oscillation.

Dans l'uninodale, il y a deux ventres terminaux et un nœud médian.

Dans la binodale, il y a deux ventres terminaux et un ventre médian ; les deux nœuds sont aux quarts terminaux du plan d'oscillation

Il peut y avoir interférence de ces deux types.

La hauteur de la vague est à son maximum dans les ventres ; elle e.st nulle dans les nœuds.

Si le bassin est de profondeur inégale à ses extrémités, la hauteur de la vague est la plus forte dans le ventre terminal où l'eau est la moins profonde.

Les dénivellations positives et négatives devant se faire équilibre, il résulte de cette différence de hauteur des vagues, quand le fond est incliné, que les noeuds sont plus rapprochés de l'extrémité du bassin où l'eau est la moins profonde.

Si le bassin est de largeur inégale, la hauteur de la vague est la plus forte dans le ventre terminal où la largeur est la plus faible.

Le déplacement horizontal est maximal dans les nœuds ; il est nul dans les ventres.

Le mouvement vertical est synchrone et opposé dans deux ventres voisins ; c'est ainsi qu'il est opposé dans les deux ventres du type uninodal, opposé dans le ventre médian et chacun des ventres termi-

naux du type binodal, synchrone et de même sens dans les deux ventres terminaux de ce même type binodal.

Le mouvement horizontal est simultané et de même direction des deux côtés d'un nœud ; il est simultané et de direction opposée des deux côtés d'un ventre.

Enfin, dans un bassin régulier, la durée de l'oscillation est exprimée par la formule :

V'' <l h Dans un bassin irrégulier cette formule prend la forme que lui a donnée M. P. du Boys, (13) ou (14).

MÉTHODES d'observation DES SEICHES

Après avoir ainsi étudié les caractères généraux de l'oscillation de balancement, telle qu'on l'observe dans les bassins d'expérimentation, nous allons rechercher ces caractères dans le phénomène naturel des seiches.

Les seiches se traduisent à notre observation par des dénivellations de l'eau du lac ; l'eau s'élève et s'abaisse altei-nativement au-dessus et au-dessous du niveau moyen. Ces mouvements étant relativement lents, ils échappent à la vue, et n'apparaissent pas à l'œil comme les oscillations rapides des vagues du vent. Nous n'avons pas encore trouvé le moyen d'observer les déplacements horizontaux, qui doivent se traduire par des courants extrêmement lents.

Pour étudier les seiches, nous avons mis en jeu diverses méthodes.

1° La plus simple, consiste à suivre sur une règle graduée (échelle limnimétrique) la hauteur de l'eau, à la noter de minute en minute, et à en figurer les variations sur un tableau graphique. Quand les seiches sont assez fortes, et que le lac n'est pas trop agité, cette méthode donne des résultats excellents.

Je puis citer les anciennes observations de Vaucher, celles de Yersin, et mes observations de janvier 1877, dans lesquelles j'ai démontré, par ce moyen, le synchronisme des seiches longitudinales uninodales dans diverses stations du Léman, et leur opposition de mouvement

dans les deux moitiés du lac, à Morges et Vevey d'une part, à Genève d'autre part. (*)

Nous pouvons, dans certaines circonstances favorables, étudier le& dénivellations rapides du lac, en notant la direction des courants à l'entrée d'un étang, lagune ou port en relation avec le lac. Ayons un bassin en communication avec le lac par un canal étroit, lorsque l'eau s'élèvera accidentellement dans le lac, il se produira un courant d'entrée dans le bassin accessoire, jusqu'à ce que l'équilibre soit rétabli entre les deux nappes d'eau ; lorsque l'eau du lac baissera, il se produira un courant de sortie hors du bassin accessoire.

Ces courants d'entrée et de sortie sont très sensibles dans le poil de Morges, qui, outre sa large entrée, ouverte aux bateaux et barques, offre à son angle nord, près du quai, un goulet de 1.5'" de large, destiné à l'assainissement des parties les plus reculées du port ; ce goulet, placé dans un point fort commode pour l'observation, montre en temps de seiches des courants alternatifs d'entrée et de sortie, parfois très violents; j'ai vu souvent l'eau s'y précipiter avec une vitesse d'un mètre par seconde. C^)

Ces mêmes courants alternatifs peuvent s'observer dans des circonstances favorables aux petits goulets, soit go 1er on s, du port de Genève: quand le barrage mobile de la machine est fermé, et que le courant du Rhône est très faible, on voit, si les seiches sont fortes, pendant la seiche basse, l'eau sortir hors du port de Genève, en cheminant à contre sens, en remontant du port dans le lac. J'ai, dans deux occasions, été témoin de ce phénomène.

Des observations analogues ont été faites à Neuchâtel, le 10 février 1879, sur un canal servant de communication entre le lac et un arrière-port, ou quai en construction. (3)

3° Pour observer les seiches quand les dénivellations sont très faibles, et que le lac agité par des vagues ne permet pas la lecture de la hauteur de l'eau au moyen de règles limnimétriques, j'ai utilisé, avec succès, un petit appareil que j'ai appelé plémyramètre (*) ; il est très simple et très facile à installer.

(') Voir Essai monograpliique sur les seiches du Léman (loc. cit. p. 63, n° 8), p. ()3. (-) Voir ma !'•« étude sur les seiches (loc. cit. p. 82, n" 1), 221 ; voir aussi p. 53 de ce volume.

(3) Lettre de Ph. de Rougemont. Union libérale, 1879, n" 35. (■5) De xXr,nopa, marée.

Je prends

i un bassin de zinc, de bois ou de terre, (fig. 51. A) de

(Fig. 51) Le plémyramètre Forel.

quelque 6 ou 8 décimètres carrés de surface, et de 10 à 15"- de profondeur Je l'enterre dans la grève jusqu'à ce que son fond soit un peu au-dessous du niveau de l'eau (NJ. Je le mets en communication avec le lac par un tube de caoutcbouc a. «, a, de 1'- environ de diamètre, passant par-dessus le bord du bassin et agissant comme un siphon ; l'équilibre s'établit par ce tube, et si le niveau du lac subit des dénivellations rvthmiques, l'équilibre se rétablit par des courants a direction alternative, suivant que l'eau est plus élevée dans le lac A, ou dans le bassin iV. Pour mettre en évidence la direction de ces courants, je place sur le trajet du siphon un tube de verre de 30-- de long, dans lequel je puis voir circuler les poussières en suspension dans l'eau; pour faciliter l'observation, je place dans ce tube une petite sphère de cire, alourdie par du sable jusqu'à la densité de l'eau; flottant entre deux eaux, elle suit tous les mouvements des courants ; deux petits arrêts en spire de laiton (S), placés aux extrémités du tube de verre, empêchent la sphère de cire de s'aller perdre dans les tubes de caoutchouc Suivant la direction des courants, l'index va s'appliquer contre l'arrêt L, du côté du lac, quand l'eau est en baisse, ou contre l'arrêt B, du côté du bassin, quand l'eau monte. (')

La'sensibilité de cet appareil est extrême. Des dénivellations d'un millimètre, d'un dixième de millimètre, sont mises en évidence par les courants de l'eau. Son usage est très pratique. Il n'est pas encombrant, car l'instrument à porter en voyage se réduit à un tube de verre et un tube de caoutchouc, à supposer que l'on puisse se procurer un bassin étanche. Je ne puis assez le recommander aux voyageurs qui veulent s'occuper de l'étude des lacs.

(!) Pour les détails de construction, du jeu de l'appareil, et de l'interprétation des observations, voir ma IP étude sur les seiches (loc. cit. p. (52, n» 2), p. 5U sq.

4" Enfin la méthode la plus parfaite est celle du limnographe ou limnimètre enregistreur. Nous en avons établi cinq appareils, de types divers, sur le lac Léman, à savoir : les limnographes fixes de Morges (F. -A. Forel, 1876), de Sécheron, près Genève (M. Ph. Plantamour, 1877), de Thonon (Ponts et Chaussées français, 1880), les limnographes portatifs de F.-A. Forel, 1878, et de M. Ed. Sarasin, 1879.

Tous sont bâtis sur le principe du marégraphe, modifié pour l'enregistrement de dénivellations du lac de 5 à 80 minutes de durée. Leurs traits généraux sont les suivants :

Un puits de dimensions suffisantes est mis en communication avec le lac par un tuyau d'alimentation assez large pour que l'eau du puits suive les dénivellations à longue période du lac, assez étroit pour que l'action des vagues et vibrations n'y soit pas trop sensible. Dans ce puits flotte un bassin ouvert par en haut ('), qui porte un mât vertical aiTivant jusqu'à la hauteur de la table d'enregistrement. Au mât est fixé, par un ajustage convenable, un style, ou crayon, ou plume, qui dessine les dénivellations du lac sur un papier enregistreur, mu par un artifice d'horlogerie. Les dimensions du flotteur doivent être assez fortes pour que la pression de l'eau, même lorsque la dénivellation est très faible, surmonte facilement tous les frottements de l'appareil enregistreui-.

Voici, comme exemple, les dimensions principales du limnographe de Morges qui présentait une sensibilité exquise, en même temps qu'une stabilité suffisante. Il était parfaitement approprié à l'étude des seiches de cette station.

Superficie du puits 'i'"'-

Tuyau d'alimentation, longueur 8.4'"

» diamètre 6''"

Flotteur circulaire, diamètre SO'"'

L'appareil de transmission donnait les dénivellations de l'eau de grandeur naturelle, sans amplitication, sans réduction.

La marche de l'horloge était primitivement calculée pour donner une vitesse d'enregistrement de 1"'™ par minute, soit O*""' par heure. Plus tard, quand j'eus étudié suffisamment les types des seiches de Morges, je l'ai réduite à 3'"'" par heure.

(') Les tlolteurs sphériques ou cylindriijues fermés doivent être évités. Les variations de température déterminent des variations de pression, et l'eau finit par les remplir par quelque fissure invisiJjle du métal.

Mon liinnograplie de Morges (fig. 52) avait pour appaceil de transmission un double parallélogramme articulé, abcd^ et aefg, qui transformait les mouvements verticaux du flotteur p, et de son mât t, en un mouvement horizontal de la tringle d'enregistrement u ; celle-ci portait, maintenue verticale par deux trous, un crayon v, qui pressait de son poids sur le papier à écoulement continu, et y dessinait les courbes des seiches ; des contrepoids convenables, q et r, mettaient

(Fig. 52.) Le liinnimètre enregistreur de Morges. F.-A. Forel.

l'ensemble de l'jippareil dans un état d'équilibre indifférent {'). Les axes des parallélogrammes pivotaient aussi librement que possible, et ne prêtaient à aucun battement ; il n'y avait de perte de mouvement que par le jeu de la douille du crayon dans les trous qui le guidaient,

(') Voir pour plus de détails; i-'.-.-l. Fo/Y'^, le limnimélre enregistreur de Morges. (Loc. cit. p. (>\ n» 4).

c'est-à-ilire une très petite fraction de millimètre. C'est ce qui explique la sensibilité parfaite de l'appareil, (]ui réagissait sous les plus faibles dénivellations de l'eau.

Le limnogi'aphe que M. Ph. Plantamour a fait établir en 1877 par la Société de construction d'appareils de physique de Plainpalais, et a fait installer dans sa villa de Sécheron, à 800'" amont de la jetée des Pâquis du port de Genève, sur la rive droite du lac, est bâti sur le même système que mon limnographe. Il en diffère toutefois : 1" En ce que la transformation du mouvement vertical du flotteur en mouvement horizontal s'opère par des rubans de cuivre qui s'enroulent sur des poulies à gorges ; 2" en ce qu'à côté du crayon qui trace les dénivellations de l'eau en grandeur naturelle, un second crayon les reproduit avec une réduction au cinquième (cela'pour obtenir l'inscription des grandes seiches qui sont parfois énormes à Genève); 3" en ce que l'appareil enregistre automatiquement les heures par une coche tracée sur la ligne de marche par un troisième crayon. (')

Quel que soit le mécanisme de l'enregistrement, — chaque observateur peut le construire à son gré — on reconnaîtra que l'appareil est convenable, si les tracés répondent aux trois conditions que voici :

a Les oscillations du lac doivent se dessiner en courbes continues ; s'il y a dans le tracé des secousses ou escaliers, c'est une preuve que les frottements de l'appareil enregistreur sont ti'op forts ; on corrigera ce défaut en augmentant la superficie du flotteur.

h Les oscillations de l'eau doivent se dessiner en courbes à sommets arrondis. Si les sommets des courbes des seiches sont aigus, c'est une preuve que le débit du tuyau d'alimentation est trop faible pour faire suivre à l'eau du puits les dénivellations du lac. On y obviera en raccourcissant le tuyau d'alimentation, ou en lui adjoignant un second tuyau.

c Les tracés des seiches doivent être simples ; s'ils présentent des hachures qui en élargissent le trait et le rendent confus, c'est une preuve que les vagues et vibrations, oscillations à type rapide, se font sentir avec trop d'intensité. On corrigera cet inconvénient en allongeant le tuyau d'alimentation, ou en rétrécissant son calibre.

5" Les limnimètres enregistreurs, ou limnographes fixes, permettent

(') Voir pour les détails de la construction de ce magnilique appareil : P/i. Vlantaniour, Le limnographe de Sécheron (loc. cit. p. 63, n° 14).

l'étude très complète des variations de hauteur du lac et des dénivellations dans la station où ils sont établis. J'ai éprouvé le besoin d'avoir un appareil analogue, mais portatif, qui me donnât la facilité de faire la même étude en un point quelconque du lac. J'ai fait construire en 1878, par M. J. Gauderay, à Lausanne, mon limno graphe portatif. Cet appareil consiste en : a un puits volant, formé d'une feuille de zinc, enroulée en cylindre (A fig. 5:3) de 50'™ de diamètre et de 40fm de hauteur, que j'établis dans un creux de la grève ; le fond B du

(Fig. 58.) Limnographe portatif, Forel.

puits, est fermé par le sable; comme canal d'alimentation, j'ai un tuyau de gutta-percha (C) de 2'" de long, et de 15'»™ de diamètre interne.

h Le flotteur est un bassin de zinc (D), de 40"» de diamètre ; le mât en fer (E), se soude par un bouchon de Uège à un tube de laiton (F), qui traverse l'appareil enregistreur.

c Sur le tube de laiton (F), s'adapte un petit ajustage (G), qui porte un crayon horizontal ; un poids, à re.Ktrémité d'un levier excentrique, le fait presser contre le papier de l'enregistreur.

d Le cylindre enregistreur {H) est vertical ; il est en bois, recouvert d'une feuille de papier que je change quand il est nécessaire. Il est

mis en rotation par un mouvement d'horlogerie (masqué par le cylindre dans la tig. 53), avec une vitesse de 3''ni par heure.

Mon limnographe portatif fonctionne parfaitement et m'a donné des tracés excellents. Il peut être installé partout où il y a une plage, avec grève exondée. U demande cependant à être surveillé ; exposé qu'il est à être dérangé par un passant trop curieux, il ne peut être abandonné sans un gardien, et il ne saurait être utilisé commodément pour une longue série d'observations, durant des semaines ou des mois.

C'est à ces inconvénients que M. le D^ Ed. Sarasin a paré fort ingénieusement quand il a fait étabhr par la Société genevoise de construction d'instruments de physique son limnimètre enregistreur transportable (/). C'est un limnographe stable qui fonctionne parfaitement pendant des semaines et des mois, comme ceux de Morges et de Sécheron mais il peut à volonté être transporté d'une station à l'autre.

Le puits est un cylindre de zinc de 35''" de diamètre et de 1,5'" de hauteur; on le plonge dans le lac à mi-hauteur et on l'assujettit à un pilotis. Le (lotteur est une lentille biconvexe, portant une tige à laquelle se fixe un ruban de cuivre qui passe sur une poulie, en mettant celle-ci en mouvement. L'axe mobile de la poulie, par une transmission convenable, fait glisser latéralement une ti-ingle horizontale qui porte le crayon, et dessine les oscillations de l'eau sur un papier sans fin mis en marche par un artihce d'horlogerie. L'appareil enregistreur est logé dans une caissette bien fermée qui peut être posée sur le mur d'un quai ou dans la chambre d'une maison de bains.

Le limnographe Sarasin enregistre les dénivellations du lac de grandeur naturelle : il est réglé à la vitesse de i""" à la minute et de ()'"• à l'heure. L'instrument a fonctionné à parfaite satisfaction dans de nombreuses stations du Léman et des lacs de Zurich, de Constance et d(3 Neuchàtel.