Méthode du cylindre unité
Nous avons d’abord recherché la fonction ®(2) représentant au mieux la répartition du potentiel sur l’axe du système ci-dessous (fig. 47).
Ce système comporte une cathode plane K et deux électrodes planes parallèles à K : un Wehnelt W
Fig. 47.
et une anode A. Les trous de W et A sont supposés égaux (R, = R;). Le rayon R, est pris égal à x, et toutes les distances seront désormais mesurées avec cette unité. L’épaisseur de W est b, non négligeable par rapport au rayon À, du trou. Celle de A est très grande par rapport à R,; K est à une distance «a de la première face de W et une distance c sépare les deux faces en regard de W et A.
L'origine des potentiels étant prise sur la cathode (Vx —o) les potentiels appliqués aux électrodes seront pris arbitrairement
Va — 1. NX — p,
Si l’on considère seulement la répartition de potentiel 4(z, r) dans le demi-cylindre situé à droite de K et de rayon R, — R,, la formule (2) peut être mise sous la forme :
soit
Commenter) = 0 (007) = C'ADouUr 7-0, ON, a BR = O, d’où (4) o(2r) = | Ag sin kzJ(ikr) dk, avec (5) # I Sn PUS
1 (2, r)sin Æz dz.
Il est possible de calculer les coefficients A4 si l’on connaît la répartition @(z, r) sur un cylindre de rayon À. Nous prendrons À — R, — 1 et utiliserons l'hypothèse simplificatrice de Bertram [20], selon laquelle le potentiel varie linéairement entre les électrodes, approximation que nous discuterons plus loin.
Par suite :
re Jo( tKr) 7
= CE, b Fe © — sin Æz dz + f o sin £z dz a [Ù «
2 1e | FA 7 Jo(tÀ) |
[— 0 er) + z a+ b € G x sin Æz dz + | V sin kzdz | Céye b+ce \ finalement :
Ses Se Se LL in(a+b--c)k i PU inc s ce) k—sin(a+b)Æ] 7 Jo(tk) | ak? cle? pre a an
La fonction (2) est alors égale à :
(6) ®D(z) = o(0, 22 ss 4 ? re sin Æz dA Se . “L Le” FR 2) sin Æz dÆ “ A - ins di À
EAP JG) Cpour À —0.et
Jo(tk) —= To(Æ).
Si l’on fait b — o dans cette formule on retrouve la valeur de (2) calculée par Duchesne [21] dans le cas d’un objectif à diaphragmes infiniment minces. Mais cette expression se simplifie [22]. En effet, l'intégrale :
CAC d)= | | (L
est telle que :
sin Æd AUS
sin Æz d#,
Zz + dz — À (0
? sinXz re
Je
Hz) dz
fr F(z)dz 3 —(a&+ à)
1 A0 Ne En 1
Si l’on remplace F(2) par la fonction approchée [23] à moins de 1 % près :
F = =thoz (wo —=1,3184) et si l’on prend V = 1, v — 5, on obtient pour ®(z), après intégration :
cho(z + à) 8 chw(z—«) ogchowlz+(a+8+c)]ch w[z—(a+b) ch w[z—(a+b+c)|cho[z+(a+b)]
A Nr 20) (8)
2WC
Cette expression est calculable facilement à l’aide de tables numériques et donne beaucoup plus rapidement que la formule (6) nécessitant de nombreuses intégrations numériques, une répartition approchée D(z). Pour juger de l’approximation faite en passant de (6) à (S), nous avons calculé avec (8) la répartition sur l’axe de l'objectif à immersion utilisé par Duchesne, et obtenue grâce à (6). Les résultats sont portés sur la figure 48. On voit que la précision est encore très grande, avec un temps de calcul relativement court.
Le champ E, au centre de la cathode K est donné par :
F5—*P (0), soit :
US 5 & À S ; (9) £o= -tho a+ [tho(a+b+c)—tho(a+b)].
Lorsque la polarisation du Wehnelt est nulle (« — o), nous avons :
Chofz+(a+b+c)Jehwf[z— (a+ b)] A cho[z—(a+b+c)]chofz+(a+6)]’
Po—0o(z)—=
Det) — | tho[z+(a+b+c)]—thofz—(a+b+0)] +tho[z—(a+b)]—thofs + (a+ b)].
Si l’on calcule les termes
I chw(z + a) 410$ == 5) 20 à D chw(z— a) Ca) et IS À ; , — [thw(z+a)—tho(z— a) = f (a), > 4 ; j
Lier
on voit que, ayant la répartition ®(z) pour une polarisation nulle, il est facile d'obtenir toutes les répartitions D(z) voulues :
( Poo(z
(3) =(1— 50) Po—o(z) + 5, / (a), l Dozo(z = (
ee 5) Po—o(2) É sf" a).
En chaque point de l’axe, la valeur du potentiel ®(z) est une fonction linéaire du potentiel & appliqué au Wehnelt, conformément à la loi de superposition des potentiels électrostatiques.
(Mari) Lui
— cuve:® vraie © Formule (6)
Fig. 48.
Le potentiel de cut-off os. pour un objectif donné, est calculable par la relation (11) D5=0, = 0.
D'autre part, l'examen de la formule (7) nous
amène à la remarque suivante : la répartition (2) est la somme de trois fonctions indépendantes
D, (2) sl
D -asen de
sla+ b)
HSE:
F(z)dz,
Lois han
F(z2)dz
