Méthodes de calcul des trajectoires

1.1. MÉTHODES CLASSIQUES D’INTÉGRATION NUMÉ- RIQUE. — Les deux trajectoires fondamentales nécessaires à la détermination des éléments cardinaux du système peuvent être considérées comme obéissant à l’équation simplifiée de l'optique gaussienne, tout au moins pour z> Az. Dans l’intervalle o <z<Az la trajectoire d’un électron issu sous un angle Ü — 90° avec une vitesse initiale ®, pourra toujours être assimilée à un arc de parabole.

L’équation du mouvement pour être facilement intégrable doit être mise sous la forme particulière : (21)

par le changement de variable “h R = (D + D, )'.

Plusieurs méthodes sont alors applicables (sauf

au voisinage de X, où la fonction - tend vers

D b+d des valeurs très grandes). Nous en citerons deux seulement :

— La méthode d’Adams-Stürmer [25]; — La méthode de Runge-Kutta [26].

La méthode d’Adams, mise sous une forme plus maniable par Stôrmer a le grand défaut de nécessiter la connaissance de quatre points de la trajectoire au voisinage de l’origine. La connaissance d'un seul point — et de la pente de la trajectoire en ce point — ne permet de calculer les trois points suivants qu'après de laborieux tâtonnements. La méthode est particulièrement bien adaptée au cas des lentilles électroniques, car les rayons incidents sont toujours des droites en dehors de la lentille; par suite, les points initiaux sont parfaitement connus et la poursuite des calculs n’est pas entachée des erreurs dues à des conditions initiales déjà erronées. Elle s’appliquerait également aux objectifs

Lan =

à immersion fonctionnant avec de fortes distances cathode-Wehnelt, car le potentiel varie linéairement sur une grande longueur Az devant la cathode, et l’on peut assimiler les trajectoires à des arcs de parabole sur la longueur nécessaire à l'obtention de quatre points initiaux distants de À, pas du calcul, sans que ce pas soit ridiculement petit. Mais nous avons vu que ce Cas n’a qu'un intérêt restreint en microscopie. Il en aurait, par contre, pour un objectif de grandissement égal ou inférieur à #, utilisé dans des télescopes électroniques.

Méthode de Runge-Kutta. — 11 suffit iei de connaître un point au voisinage de l’origine. Pour les trajectoires perpendiculaires à K, on peut prendre

So — 0, Ty = 0, PT);

les autres trajectoires seront assimilées à des arcs de paraboles dans un intervalle Az et l’on aura pour 7 — A7:

DUNe el Ne Même pour Ü — 900, l’inclinaison du rayon est très faible à partir de ce point et la trajectoire obéit à l'équation (21).

Ces deux méthodes nécessitent la connaissance de la fonction

ut RE ie

et ne donnent r et r' que par l'intermédiaire des

fonctions R —r®*(2) et R’. Elles entraînent donc à d'assez longs calculs auxiliaires. Si la répartition ® (2) est calculée par l’une des méthodes exposées plus haut, les valeurs de ®’(z) sont connues grâce à des expressions entièrement calculables, mais comportant un grand nombre de termes; si ® est obtenue à la cuve rhéographique, la détermination graphique de ®’ doit se faire avec soin, et est également assez longue.

Nous avons utilisé la deuxième méthode dans quelques cas seulement, et pour comparer les résultats avec ceux fournis par la méthode « pas à pas » très simple de Gans que nous allons exposer maintenant, méthode qui n’atteint à la même précision que si l’on prend des intervalles d'intégration petits, mais qui ne nécessite aucun calcul auxiliaire.

1.2. MÉTHODE DE Gans [27]. — Contrairement aux autres méthodes qui consistent à chercher des solutions approchées de l'équation (21) à partir de la répartition ® vraie, la méthode de Gans permet l'intégration exacte de l'équation en r des tra-

jectoires dans chaque intervalle h, où la fonction ® est approchée par une fonction simple de z. On remplace ® par une ligne brisée formée de segments de droites (fig. 59). La répartition vraie est donc

Fig. 59.

approchée par une suite de régions de champ uniforme, le degré d’approximation croissant avec le nombre de pas.

L'intégration de l'équation des trajectoires paraxiales se décompose en deux parties : l’intégration dans un intervalle et l’intégration au voisinage des points anguleux (fig. 60).

Dans chaque intervalle 7 la dérivée ®"; est nulle, et l'équation

devient . D:

Ë ——#;— 0 ] 2%; JA ou 1 D’.

rh D?+ LCri=o j (To 2 P?