DU PROBLÈME

Si on voalait exposer les hypothèses sans fin auxquelles ont donné lieu jusqu'à nos jours les tentatives d'explication du passage obscur de Platon, un volume ne suffirait pas. Nous allons simplement donner, par ordre chronologique de publication, une liste d'ouvrages et de mémoires à consulter pour rhii^toire du problème, en indiquant en général un ou deux traits des principales interprétations

Aristote, La Politique, liv. V, ch. x, au commencement. Voyez supra, p. 23.

Plutarque, Sur Isis et Osiris, 56. — Nigomaque de Gérasb, Introduction arithmétique, II, 24, à la fin. — Jamblique, In Nicomachi arithmeticam, p. 116 de l'éd. de Samuel Tennulius, Arnheim, 1668, petit in-4. — BoÈGE, Institution arithmétique, II, 46, à la fin. — Etc.

Ces auteurs désignent le nombre géométrique sous le nom de nombre nuptial. Cette dénomination impropre montre qu'ils avaient surtout en vue, dans le problème énoncé par Platon, rinfluence que pouvait exercer le nombre géométrique sur les mariages et sur les naissances : ils ne connais-

saient certainement pas la valeur numérique attribuée par Platon à la période.

Platonis opéra, latine, interprète Marsilio Ficino, Florence, in-fol. (s. d., réd. a été commencée en i483). Voyez l'argument du VIII* livre de Icl République.

Marsile Ficin, savant Florentin, le plus ancien interprète de Platon parmi les modernes, pense qu'il y a dans le passage plus de dif&culté que de solidité, et que le ton sur lequel Socrate fait parler les Muses, nous autorise à croire qu*ii badine ici avec elles, et qu'il a voulu couvrir sous cette enve* loppe mystérieuse son ignorance des causes qui font dépérir les inst'tutions humaines. Il admet la leçon xpoi^fj^ei §é qu'il traduit par sed oblongiori; il n'indique aucun nombre.

Francisci Barogii, Jacobi filii, patritii veniti, cornmentarivs in locum Platonis obscvris^imvm et kactenus a nemine recte exposilum in principio Dialogi octavi de Rep, ubi sermo habetur de numéro Geomet^nco, de quo prover-^ bium est, quôd numéro Platonis nihil obscurius, Bologne, 1547, in-4.

Le titre indique ce que pense Barozzi de la difficulté du lieu. Parmi les auteurs qui ont cherché à expliquer quelque partie du problème, il cite Jamblique, Thermacides le pythagoricieni, Sébastien Fox dans ses Annoiaiiones in lihrum octa' vum Piatonis de hep , Baphaël Volterranus [MaffeiJ dans son Epilome in Platonem et aux livres XXXV et XXX VI de ses Commenlarii ... sur le livre V des Politiques d'Aristote, Saint- Thomas, Donatus Acciaiolus et Jacques Lefebvre d'Etaples , dans leurs Annotations sur le chap. xii du même livre »V. Il croit que la valeur de la période est 1728, nombre déjà proposé par Lefebvre d'Ëtaples et Volterranus.

Un très grand nombre de commentateurs ont cru voir, dans le fond de Tépitrite, le nombre septénaire 3-|-4. Ce fond

joint an quinaire donne 3-f*^-t~^^^ ^^> "P^^ où^Ostç représenterait une élévation ancnbe : on a i 2^ r= 1728. Barozzi admet la leçon i:pc(i.f|Xei Se, qn'il traduit par sed praelongiori.

Commentarii de praecipuis generibus divinationum, par Gaspar Peucer, Wittemberg, ^553.

Pencer croit qae le nombre 216 réponl à la prédiction arithmétique de Platon. Pour lui et pour un grand nombre de commentateurs, le fond de l'épitrite joint à 5 est le groupe des nombres 3, 4, 5 ; Tpiç au^iOsiç représenterait Félévation au cube de chacun de ces trois nombres. On a

Selectae declamationes, Declamatio de periodis imperiorum, par Philippe Melanchthon, Strasbourg, 1559, t, III, p. 722.

Melanchthon trouve que le passage est beaucoup plus obscur que les oracles de la Sibylle : c Hoc dietum muUo obseurius est SibyUae foliis. •

De proportionibus, par Jérôme Cardan, Basle, 1570; théorème ccxv.

Cardan propose le nombre 8128 égal à 2* (2' — 1). C'est le quatrième des nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs parties aliquotes. Les trois premiers sont 6, 28, 496.

Les six livres de la Répvbliqve, par I. Bodin, Angeuin, Paris, 1577; liv. IV, eh. 11. Voyez aussi l'ouvrage de Bodin : Méthodes ad facilem historiarum cognitionem, Basle, 1576; ch. vi, De statu Iterum publicarum, p. 223.

Apologie de René Herpin povr la Répvblique, de I . Bodin, Paris, 1581; p. 41.

René Herpin est un homme de la ville d'Angers, du nom duquel Bodin se sert pour faire en liberté son apologie luimême. Il s'aJresse à trois auteurs qui ont écrit contre Bodin.

« ... Aristote, aux Politiques, parlant de ces nObres de Platon, est demeuré court, au lieu qu'il a de coustume de reprendre Platon à tous propos. Aussi ne s'est-ii jamais trouué personne qui ait peu entendre ces nôbres. Marsile Ficin, le plus grand platoniciê qui ait escrit, confesse qu*il ny entend rien; et non sans cause, Gicéron disoit qu'il n'y auoit rié plus difficile que les nombres de Platon . Et Theon Smyrnean des plus illustres mathématiciens entre les Académiques, interprétant la République de Platon, n'a aucunement touché ce passage. Procle, académicien, ayant doctement interprété les sept premiers liures de la République de Platon, est demeuré à l'huictiesme, oii il est question de ces nombres. Et quoy que lamblique se soit efforcé d'esclaircir ce passage, si est ce qu'il

a encores plus obscurcy Et d'autant que Platon mesmes

s*adressant aux Muses, les prie de déclarer quel nombre ce peut estre, nous n'espérons pas que personne le puisse deuiner, si ce n*est vous... Voila de point en point la response à voz reprehensions contre Bodin... »

Voici l'interprétation de René Herpin, c est-à-dire de Bodin.

« Pour iuger de la cheutte et ruine des Républiques, il [PlatonJ s'est arresté aux nôbres ; vray est qu'il a bien couuert son ieu, qu'il n'y eut onques personne qui peut deuiner ce qu'il a voulu dire quâd il escrit que les périodes des choses diuines sont limitées en nombres parfaicts. Et quant aux choses humaines, il dit que le nombre de leurs périodes est celuy qui a en ses accroissements actifs et passifs trois distances et quatre limites qui comprennent raisons semblables et différences entre elles, en multipliant et diminuant, qui se peuuêt nommer et représenter, desquels le fonds sesquitierce conioint au nombre de cinq fait deux accords trois fois multipliez, l'vn esgal en tout sens de cent fois cent : l'autre esgal

d'vne part, et plus long de l'autre part, et chacun nombre cOmensarable en diamètres certains^ moins d'une qvinte pour chacun, et deux incommensurables de cent cubes moins d'vn ternaire. Tout ce nObre géométrique contient la force des heureuses et malheureuses origines des choses humaines. Voila de mot à mot en François ce que Platon a escrit en grec que ie meltray, parce qu*il n*y a pas vn interprète qui ne soit fort différent à l'autre. » Ici se trouve le texte grec avec la leçon lupofjiifjxet Se. Bodin ne propose aucun nombre.

Les devins ou Commentaire des principales sortes de devinations, distingue en quinze Hures, esqueh les ruses et impostures de Satan sont descouuertes, solidement refutées et séparées d'auec les sainctes Prophéties et d'aûec les pré* dictions naturelles, Escrit en latin par M. Gaspar Peucer, très docte philosophe, mathématicien et médecin de nostre temps; nouuellement tourné en François par S. G. S. [Simon Goulart Senlisien]. En Anvers, 1584.

On lit au chapitre viii du livre IX :

« Proportions des nombres étendus aux choses politiques... Ils (les premiers maîtres) firent seruir les proportions des nombres aux choses politiques, et commencèrent à philosopher profondément des périodes, establissemens, siècles et changemens des monarchieS; principautez et gouuernemens du monde : montrans quelles proportions redressent, establissent, affermissent les Ëstats : quelles proportions les font florir et durer : quelles les despècent et renversent : brief de quelles périodes sont limitez les temps de leur durée.

« Prédiction arithmétique de Platon. — Il y a dedans Platon au huitiesme liure de la République une prédiction arithmétique touchant ies périodes des gouuernemens publics. « Il y a (dit-il) une période ou circuit aux œuures de Dieu, c'est-à-dire aux causes naturelles créées de Dieu, lequel circuit est embrassé par un nombre parfait. Es afaires humains ou Ion remarque des acroissement (sic) de causes dominantes

et dominées, on void quatre limites de choses semblables et différentes, de croissantes et décroissantes : de l'efûcace diuerse desquels limites toutes choses comprinses en l'enclos de Tvniuers sont composées par un moyen esgal et se rapportent de Tvn à Tautre, en telle sorte toutesfois que chascune chose a sa nature distincte.

< Aristote contraire a Platon. — Aristote au cinquiesme Hure des Poliliques, disputant des périodes, interprète et reiette ce passage de son maistre : Platon maintient (dit-il) que la cause des changemens vient de ce que Nature porte cela que rien ne demeure ferme, ains que toutes choses se changent en certaine reuolution du temps. Elles prenent cOmencement quand le cube sesquiters conioint au nombre quinaire fait deux harmonies et lorsque le nombre de cette description devient solide, nature produisant des hommes meschans et la bonne instruction [produisant] des gens de bien. »

Dans Tédition latine originale, Peucer cite en grec le lieu de Platon et le commentaire d' Aristote, de sorte que les versions précédentes du lieu et du commentaire sont traduites du grec par Goulart.

T7*aùé de ^harmonie umuerselle par le sieur de Sommes [le P. MersenneJ, Paris, 1627; t. II, théorème xiii, p. 430.

Le P. Mersenne croit que < le nombre platonique est 729 > , qu'il obtient en faisant une faute de calcul : « Les cent nombres des diamètres comparables peuvent s'entendre de 3 et 4, qui, estant multipliez par 100 font 700, à qui le cube du ternaire, c'est-à-dire 29 (sic) estant ajousté, fait 729, qui est le nombre qui a servy d'énigme à Platon. »

De numéro quem Plato rebusp. fatalem statuit lib. IIX de Rép., par Bartholomée Bredel, Leipzig, 1668, in-4.

Bredel cite les efforts faits par Philippe Mélancbthon, Ma-

ihias Lauterwald, Marsile Ficin, Peucer, Bodin et Porfstier. Sa conclusion est que le sens da passage est incertain.

La République de Platon^ ou dialogue sur la justice [trad. par Grou], Paris, 1762.

Le P. Grou donne la version suivante : « Pour les générations divines, la révolution est comprise dans un nombre parfait. Quant aux hommes, le nombre qui préside à leurs générations, heureuses ou malheureuses, est un nombre géométrique dont il est inutile de vous expliquer le mystère, parce qu'il est au-dessus de votre portée. » Il renvoie le lecteur à cette note : « Ici est lo fameux nombre de Plalon, que je n'ai point traduit, parce que je ne l'entends pas, je crois même qu'il est inutile de vouloir se rompre la tête à l'expliquer, personne n'ayant pu le faire jusqu'à présent. Il y a grande apparence que Platon n'aurait pas parlé d'une manière si obscure, s'il avait sçu quelque raison physique de cette prétendue amélioration ou détérioration de l'espèce humaine... • Nous devons dire que M. Cousin, qui était si bon juge, trouvait la traduction de la République de Grou fort au-dessus de sa réputation. Il l'a souvent prise pour base de la sienne. (Voyez la trad. de Cousin, t. IX, au début des Notes sur la République,)

Pensées de Platon sur la religion, la morale, la politique, recueillies et traduites par M. Jos.-Vict. Le Clerc, professeur de rhétorique au collège royal de Charlemagne. Paris, i819, in-8; p. 310.

Le savant professeur adopte les variantes rpstç à-ïroxaxaffTàceiç au lieu de t. àTCoaTdcjstç, puis iuapéxv)Tat au lieu de zapé- XÊTat, et à%o Staixéxpwv ^yjtûv 7r£[i.:riStov au lieu de à. 8. p. '7ue[i.icdl§oç. Ces leçons se trouvent aussi dans les éditioAs de Ficin. Voici sa traduction : « La révolution périodique assignée aux créatures divines est un nombre parfait; celle des créatures humaines est renfermée dans un nombre qui a d'abord

des accroissements successifs, puis trois retours nécessaires sur lui-même, où quatre termes sont admis, l'égal ité, la différence, le plus, le moins, et qui peuvent se comparer et se mesurer ensemble. Leur racine cubique, jointe à cinq, et multipliée par trois, produit deux accords, Tun qui égale le nombre lui-même et autant de fois cent; Tautre, d'une figure équilatérale, mais qui, dans toute son étendue, nous fait voir d'abord cent nombres formés de cinq diamètres égaux, à l'unité près, et de deux inégaux ; ensuite^ cent cubes du ternaire. Voilà le nombre géométrique, dont le pouvoir préside au bonheur ou au malhear de la naissance. t> M. Le Clerc n'explique pas sa traduction, n*avertit pas le lecteur de n'y chercher aucun sens et ne propose aucun nombre.

De numéro Platonis Commentationes duae, par Charles - Esnest-ChrisLophore Schneider [philologue allemand], Breslau, i821 ; in-4.

La première dissertation contient une interprétation nouvelle et la seconde contient les opinions de précédents commentateurs : Barozzi, Bouillaud, Jérôme Cardan, Gaspar Peucer, Philippe Mélanchthon, Matthias Lauterwald, Bartho- > lomée Bredel, Bodin, Kleuker, Lefebvre d'Etaples, Léonard Ârétin [Bruni]. Il croit que le nombre qui embrasse la période des générations humaines contient les facteurs 8 et 27, derniers termes des deux progressions 1, 2, 4, 8 et 1, 3, 9, 27, mais que Platon a laissé, à dessein, indéterminée la dernière opération par laquelle le nombre doit être obtenu. Voyez aussi Schneider, Platonis opéra graece [la Répuhlique]^ Leipzig, 1830-33, t. III, Préface.

Plafons Zahl, par Jacques-Frédéric Pries [philologue allemand], Heidelberg. i823.

Pries croit que le nombre est le même que celui dont il est question dans les Lois, c'est-à-dire 5040, qu'il obtient en mul-

tipliant 144, carré de la somme des nombres 3, 4, 5, par 35, somme des ciibes de 2 et de 3.

Platons Werke, par Préd.-Daniel-Ernesl Schleierma- CHER, Beriin, 1817-28. Voyez supra, p. 31.

Œuvres de Platon, traduites par Victor Cotism, Paris, 4822-40, tome X, p. 322. Voyez supra, pp. 6 el at.

Academiae Bemensis recens condtlae lecliones per hoc aesttvum lempus habendas, nominê rectoris et Senalus indicit Dr. Georg. Ferd. Rettig, litlerarum antiquarum professor. fnest de numéro Platom's disputalio. Berne, 18;J3.

On lit, à ia p. 1& : ■ Yerba tiTTapaç èè Bpou; XaSoûffai... videnlur dicta use, de quaiuor virtulibui cardinaiibus, et de gaatuor vitUt primariis, quae tris am'mt faeullates lanquam definivnl et terminant, » et à la p. 16 : « Verba iv iirkpns; in>Q|jii]v significanl ralionein quae intercedit inter quatuor virtulM cardinales vitiaque primaria atque très animi facultalis. r Etc., etc.

Notice sur trois mantucrtis grecs relatifs à la musique, par A.-J.-H. Vincent. Supplément à la note L, sur lenomhre

nto;)(ia/. {Notices el extraits des mss T. XVI,2=puilie,

pp. 184-194.)

M. Vincent remplace dans le texte de Dekker (cité paga 5) àvOpwîcetu îé par civ8. ti, puis Trpaiiïjxîi Ik par xpsp.:f]ï.-f] Si et Éxaîbv Sk )i6È(i»v Tplaîoi; par Sxtou Se xtiSou tp. "Voici son iiiterprétailon :

« Il y a, poar les générations divines, comme poar tes générations humaines, une période qu'embrasse un nombre partait, dans lequel [il faut considérer] en premier lieu certaines puissances saccesslves portées jusqu'au quatrième terme et présentant trois intervalles. La comparaison de ces diverses

puissances entre «lies, soit semblables, &)h dissemblables, croissantes ou décroissantes, met en évidence leurs relations et leurs rapports mutuels. Or, si Ton multiplie ce nombre par le rapport du quaternaire ou ternaire, et que l'on réunisse au moyen du quinaire, on obtiendra trois produits qui, par un double assemblage, donneront deux figures, l'une carrée, l'autre oblongue ; de telle sorte que la première figure aura pour mesure son côté multiplié par lui-même, et la seconde ce même côté multiplié par cent; [ce qui fait d^une autre manière] cent nombres égaux, à une unité près, au diamètre rationne] du quinaire, deux unités en surplus, et six fois le cube dû ternaire. G*est.ce nombre géométrique dont le pouvoir préside aux bonnes et aux mauvaises générations. »

M. Vincent tâche ensuite de justifier sa traduction, et il conclut ainsi : «c En résumé, le mot de l'espèce d*énigme proposée par Platon est le nombre 216, cube de 6, et quatrième terme de la proportion 1:8 = 27:216. » Tl prend d*ailleurs 216, ou 3 fois 72, comme petit côté d'un triangle rectangle dont les deux autres sont 4 fois 72 et 5 fois 72 ; le périmètre 12 fois 72 ou 864 lui paraît satisfaire aux conditions de l'énoncé, pourvu qu'on adopte les corrections qu'il a pro- • posées.

Diagramme de la création du monde de Platon, découvert et expliqué en grec ancien et en français après 2250 ans, par C. MiNOiDE Mynas. Première livraison, Paris, 1848. Br. in.8 de 160 pp.

La seconde livraison étant introuvable dans les bibliothèques publiques, nous croyons quelle n'a pas été publiée. Minoide Mynas est. mort en 1860. Dans l'avertissement, il dit que la solution du théorème de Platon lui est plus précieuse que la découverte de Babrias [qu'il avait faite en 1840 dans un monastère du mont Athos]. Voici cette solution (p. 119 du mémoire) :

« La création du monde, progéniture divine, est comprise dans un nombre parfait; pour celte de l'homme» il en est

autrement : dans le début de son aecroissement elle passe, sous Tinfluence des astres dominants et dominés, par les troi» dimenaions qui, combinées arec les quatre éléments en affinité et en opposition plus ou moins grandes, mettent en proportion et en harmonie toutes les parties de Tétre vivant. En effet, le premier épitrite quaternaire, joint au quinaire et * triplé, présente deux harmonies, Tune, en rapport double parfaitement égale, va jusqu'à cent et tant; l'autre en rapport triple combinée proportionnellement avec la première. Chaque terme de cette harmonie a pour diamètre des chiffres ronds du quinaire, les uns moins grands que les autres d'une unité. Parmi ces termes qui donnent cent cubes trinaires, il y en a deux incommensurables. Tout ce nombre, étant en^ proportion géométrique, indique le rapport des générations lionnes et mauvaises. »

L'explication des termes du passage, que Platon a voulu « obscurcir j» (voyez p. 131), s'arrête aux mots « dominants et dominés » (p . 1 59) qui, d'après le commentateur, se rap<» portent aux planètes.

La solution de Minoide Mynas qui était cependant un éru-> dit, est, comme celle du D' Rettig (voyez supra^ p. 49), un exemple remarquable des étranges divagations auxquelles a donné lieu, même de nos jours, l'interprétation du nombre de Platon.

Histoire de l'arithmétique. Le nombre nuptial et le nombre parfait de Platon, par Th. Henri Martin, doyen de la Faculté des lettres de Rennes, correspondant de l'Institut (extrait ùq\3, Revue archéologique, i3* année). Paris, 1857, in-8.

M. Henri Martin adopte en grande partie l'interprétation de M. Vincent, qui lui < paraît avoir le premier trouvé une solution complète et satisfaisante, du moins dans Tensemble, sinon dans les détails :». Ses corrections consistent dans Taddition de deux virgules et, comme l'a fait M. Vincent, la substitution du caractère ç (six) ou du mot |)^tou au mot èxaTov.

Yoici sa tradttciion littérale sur laquelle il donue ensuite des explications :

« Il y a, pour ce qui est divin et engendré^ une jpériode qu'un nombre parfait embrasse ; mais, pour les génécations humaines, il y a un nombre qui est le premier dans lequel des puissances commandantes et commandées, recevant trois intervalles et quatre termes, de ceux qui rendent semblable et de ceux qui rendent dissemblable^ de ceux qui croissent et de ceux qui décroissent, ne présentent que des choses en proportion et rationnelles les unes par rapport aux autres ; et de cela le rapport épiirite réduit à ses termes les plus simples et joint au quinaire, [le tout] étant élevé à la troisième puissance, donne deux harmonies^ Tune multipliée par elle-même et l'autre multipliée par cent; Tune carrée et égale, suivant une dimension, à Tautre^ qui est allongée, [la somme étant] de cent nombres formés avec les diagonales rationnelles du quinaire, dont chacune manque d'une unité et qui sont irxationnellesi, de deux et d'un sixain de cubes du ternaire. Or ce nombre tout entier est un nombre géométrique, qui a ce pouvoir, de déterminer des générations meilleures ou pires. »

M. H. Martin adopte les nombres 216 et 864 proposés par M. Vincent.

Die Philosophie der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung dargestellt, par le D' Edouard Zeller. Tubingue, 1859, t. II, 1" partie, p. 546, note 1.

Dans ce très remarquable ouvrage, le célèbre philosophe admet que la période cosmique est de 10 000 années, et qu'elle est les | de la période politique, de sorte que celle-ci serait les | de la première et vaudrait par conséquent 7500 ans.

Gymnasium zu Cassel, Programm vom S chulj ahre iSQi- 62. . . Inhalt : De numéro Platonis scripsit Dr. Otto Weber, Casse], 1862, in-4.

Dans cette dissertation inaugurale, le D^ Weber discute les solutions de Schneider, Hermann, Rettig, Vincent, Henri Martin, Susemihl et ËdouarJ Zeller. 11 admet pour harmonies les nombres 10 000 et 7500 avec la leçon xpoii.Y]xv] Bé; mais il ne tire de là aucune conclusion arithmétique. Il finit par cette observation qui nous parait juste : « Hic fere unus exslal hcus, qui ad arlis mathemalicae condiiionem, qualis ante Eucli' dem apud Graecos fuil^ illustrandam aliquantum offert lucis. »

Revue philosophique de la France et de l'étranger. Première année, n** 2, février 1876. Le nombre nuptial dans Platon, par Paul Tannery, pp. 170-188.

M. Tannery, après avoir remplacé, dans le texte de Eekker, éx-aTov [X£v (iptô[jLa)v par l>ta(jT(ov ^, àp., traduit ainsi :

« Comme pour ce qui est divinement engendré, il y a pour la génération humaine une période comprii>e sous le premier nombre parfait, formé en sommant dans trois progressions semblables, suivant la raison double, quatre termes qui se trouveront toujours deux à deux, avec leurs moyens, proportionnels ou non, leur somme ou leur différence, dans des rapports simples et facilement énonçables; si l'on fait cette triple série d'opérations sur le produit des nombres du groupe 3, 4, 5, le résultat pourra recevoir deux dispositions harmoniques, Tune suivant trois facteurs égaux, qui sera répétée cent fois, l'autre dont les facteurs seront des multiples successifs de 5, diminués chacun d'une uniié, et des diagonales successives de 5, diminuées chacune de deux unités. Cent fois le cube de trois Terme ainsi l'ensemble de ce nombre géométrique qui...

« Par conséquent, pour nous, ce nombre égale 2700. ■

M. Tannery ne songe plus à soutenir cette interprétation. (Voyez la Reioue philosophique, 8* année, n® 5, mai 1883, p. 568).

Die Mathematik zu Platons Zeiten, dissertation inaugurale par Benedikt Rothlauf, léna. 1878; in-8, p. 29,

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