Le nombre géométrique [in the Republic] de Platon

§ 1. Exposition du sujet. — Textes grecs de Platon et d'ARiSTOTE. — Principaux commentateurs. — Unanimité sur Tobscurité du lieu. — Nombres proposés. — Traductions de MM. Victor Le Clerc, Vincent, Théodore-Henri Martin et Paul Tannery.

Le VHP livre de la République de Platon contient, vers le commencement, un passage célèbre par son obscurité, devenue proverbiale depuis dix-huit siècles.

Il y est question d'un nombre satisfaisant à certaines conditions géométriques. La tradition sur ce passage étant perdue, un problème intéressant à résoudre consiste à retrouver le nombre et à interpréter les conditions mathématiques auxquelles il satisfait.

Voici l'exposé du sujet.

Les personnages du dialogue sont Socrate et Glaucon, frère de Platon.

Socrate expliqué à Glaucon la meilleure forme de gouvernement. « Veux-tu, lui dit-il, qu'à l'imitation d'Homère, nous conjurions les Muses de nous expliquer l'origine de la querelle [division de ceux qui gouvernent]

et que nous les fassions parler sur un ton tragique et sublime, moitié en badinant et en se jouant avec nous comme avec des enfants, et moitié sérieusement ?

— Comment?

— A peu près ainsi : « Il est difficile qu'unEtat constitué « comme le vôtre s'altère : mais, comme tout ce qui naît « dépérit, la constitution de votre Etat ne sera pas à jamais « inébranlable : un jour, elle doit se dissoudre, et voici « comment. Il y a des retours de fécondité et de stérilité « pour les plantes qui naissent dans le sein de la terre, « comme pour l'âme et le corps des animaux qui vivent a sur sa surface ; et ces retours ont lieu quand Tordre a éternel ramène sur elle-même, pour chaque espèce, sa <( révolution circulaire, laquelle s'achève dans un espace « ou plus court ou plus long, suivant que la vie de ces « espèces est plus courte ou plus longue. Les hommes « que vous avez élevés pour être les chefs de l'État, malce gré leur habileté, pourront bien, dans leur calcul, joint « à l'observation sensible, ne pas saisir juste l'instant « favorable ou contraire à la propagation de leur espèce ; a cet instant leur échappera, et ils donneront des enfants « à l'Etat à des époques défavorables

[Ici se trouve le passage obscur).

« Il y a un nombre géométrique dont le pouvoir préce side aux bonnes et aux mauvaises générations. Ignorant « le mystère de ce nombre , vos magistrats uniront les « époux à contre-temps, et de ces" mariages naîtront des « enfants qui ne seront favorisés ni de la nature ni de la « fortune. Leurs pères choisiront, il est vrai, les meil- <c leurs d'entre eux pour les remplacer, mais, comme « ceux-ci ne seront pas dignes de leur succéder, à peine tt parvenus aux dignités de leurs pères, ils commence- « ront par nous négliger dans leur office de gardiens de « l'État, n'estimant pas comme il convient la musique

« d'abord , puis la gymnastique. Ainsi, la génération « nouvelle deviendra grossière, étrangère aux Muses. De <« là sortiront des magistrats qui, comme gardiens, man- « queront absolument d'aptitude pour discerner les races « d'or et d'argent, d'airain et de fer, dont parle Hé- « siode (i), et qui se trouvent chez vous. Le fer venant « donc à se mêler avec l'argent, et l'airain avec l'or, il w résultera de ce mélange un défaut de ressemblance et « d'harmonie : défaut qui, partout où il se trouve, engen- « dre toujours l'inimitié et la guerre. Telle est l'origine « qu'il faut assigner à la sédition quelque, part qu'elle se « déclare. »

— Et nous dirons que les Muses répondent à merveille ?

— Nécessairement, puisqu'elles sont les Muses. » (2)

Nous avons omis le passage célèbre sur les conditions du nombre géométrique , passage dont M. Cousin ne donne pas la traduction, faute d'y pouvoir trouver un sens qui le satisfasse. En voici, d'après Bekker, le texte, qui nous paraît avoir été bien inutilement tourmenté par plusieurs commentateurs. (3)

"kdTi âà ôeift) |X£v yevvriTÛ wepio^o; viv âpiOp; TCepi>.a(j(.êavei TeXeioç, âvOpcoTceift) âà év ^ TCpwTû) aùÇrlaeiç Juvajxevai Te xai Juva<yTeuo(X8vai Tpeiç aTCoardcaeiç , T^Trapaç Se opouç ^aêoCdai 6(xoiouvT(ov Te >tai dvojJioioùvTwv xal aùÇovTtov xal f OivovTCdV^ iravTa TCpo<r/ÎYopa xal ^viTa icpàç aXkfika, aTreçYivav m iTCiTpiToç TCuOp,v TcefiLTraJi cu^uyei; Suo àp(JLoviaç Trap^/eTai Tplç aùÇviôeiç, Triv (xev ïdYiv waxiç, éîtaTov TocauTaxiç, tyiv 8i i(yo(jL-rfxYi |xèv, t^ 7:po(JLYixei Se, éxaTov (xev âpiO(j(.wv iiçh Siajy.eTpa)v ^titôv Trefi-raSoç, Seo|xeva)v évoç éxà(jT(ov, appvÎTWv Se Sueîv, IxaTov Se xiîêwv TpiaSoç. EujXTcaç

(1) HÉSIODE, Les Travaux et les jours f chant I, vers 108 et suiv.

(2) Œuvres de Platon traduites par

(3) Bekker, Platonis scripla graeca omnia^ Londres, 4826.

On trouve aussi ce texte dans la tra-

Victor Cousin, Paris, 1822-40, tome X, I duction de Cousin, tome X, notes, pag. 129 et suiv. ) ))ag. 822.

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