partie de la quantité ^J g qui concerne ces lames est donc aussi
invariable.
On a, par conséquent.
Calculons maintenant
- 2 eg = 0.
Chaque élément de volume de la lame isolante polarisée portant des charges égales d'électricité positive et d'électricité négative, on peut, dans le calcul de W, faire abstraction des charges réparties au sein de cette lame, et ne tenir compte que des charges réparties sur les deux armatures.
Le potentiel W a pour valeur, d'après l'égalité (104) (p. 198),
dqeidq' étant deux charges réparties sur les armatures, et le signe
JV s'étendant à toutes les combinaisons distinctes que Ton peut former
en prenant ces charges deux à deux.
Dans la modification considérée, les charges dq et dq' ne changent pas de grandeur, mais leur distance augmente de dr == 8.r. Il en résulte que le potentiel électrostatique augmente de
D'ailleurs
dl' =35.r, âW 1 W
âi' "" r 3
La condition d'équilibre devient
p. Dneni. — Potentiel 15
Supposons que Ton ramène le condensateur à l'état neutre, sans changer la constitution ni le volume de la lame isolante. Il n'y aura plus équilibre entre la pression extérieure et la force élastique de la lame. Pour rétablir cet équilibre, il faudra donner à la pression extérieure une valeur P' . D'ailleurs la constitution et le volume de b .aine n'ayant pas changé, fF gardera la même valeur que dans le cas
d3i précédent, et il en sera de môme de - -~ • Mais W étant maintenant
égal à 0, la nouvelle condition d'équilibre sera
Des deux égalités précédentes, on déduit la relation
Celte dernière égalité peut se transformer. Soit 2 le volume que prendrait la lame isolante, à l'état neutre, soumise à la pression no^ maie et imiforme P; soit jx le coefficient de compressibilité de la lame à l'état neutre; par définition de [jl, on a
L'égalité précédente devient alors
Cette égalité exprime le théorème de M. Moutier qui se trouve ainsi démontré indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la chaleur.
Supposons que la lame isolante ait une épaisseur très faible par rapport à la surface de chacune des armatures. Les surfaces des armatures auront alors sensiblement la même valeur û. Supposons que Tune de ces armatures soit maintenue au niveau potentiel V et l'autre au niveau potentiel V. En vertu de son état de polarisation, la lame isolante possède un pouvoir inducteur spécifique C. Supposons enfin que l'armature extérieure soit une surface de niveau de l'arma-
PHÉMOMÈNES ÉLECTRIQUES. 215
ture intérieure. Il résulte alors de la théorie du condensateur que \V a la valeur suivante :
e étant une valeur moyenne de Tépaisseur.
Si l'on reporte cette valeur de W dans Tégalité (108), on trouve
Le condensateur au{?mente donc de volume à la suite de l'électrisation ; cette augmentation de volume est proportionnelle au carré de la difTérence de niveau potentiel des deux armatures, et en raison inverse de Tépaisseur de la lame. On retrouve ainsi les résultats que M. Duter avait obtenus par Texpérience.
Le pouvoir inducteur spécifique dépend de l'état de polarisation de la lame, et cet état varie avec le temps; G est donc une fonction du temps; il en est par conséquent de môme de la dilatation électrique. Ge résultat est conforme aux expériences de M. G. Quincke.
Les expériences de M. Ilighi diffèrent de celles de M. Duter en ce que la pression n'est pas uniforme en tous les points de la lame isolante. M. Righi opère en eflet sur une bouteille de Leyde en forme de tube cylindrique. Ge cylindre est soumis, parallèlement aux génératrices, à une traction de P kilogrammes par unité de surface de la section annulaire déterminée dans la lame par la base du cylindre. Les parois intérieures et extérieures de la bouteille sont soumises à une pression normale et uniforme de p kilogrammes par unité de surface.
Soient R' le rayon intérieur de la bouteille éleclrisée, e' son épaisseur supposée très petite par rapport à R', V sa longueur.
Supposons que la bouteille subisse un allongement dV =\l\ et qu'en même temps ses dimensions transversales augmentent dans le rapport de 1 à 1 + 6. La traction exercera un travail égal à
2zR'e'PX/.
La pression exercée sur un élément d a de la surface interne de la bouteille a pour valeur pd^. Elle effectuera un travail égal à
pd^dK =pOR'd!(7.
La somme des travaux effectués par toutes les pressions analogues
sera
Mais ^ (2(7 est la surface interne de la bouteille qui a pour valeur 2tc.R' V . Le travail en question a donc pour valeur
De même, le travail effectué par les pressions exercées sur la surface externe de la bouteille a pour valeur
Si l'on remarque que e' est assez petit pour que Ton puisse néf^liger e'* devant e', le travail des pressions latérales se réduira à
— 47:R'e'rpÔ.
Les forces extérieures effectueront donc un travail égal à
2T.R'Ve' (XP-2ep).
Cette quantité doit remplacer, dans la condition d'écpii libre, le terme — Pdi' qui y figurait dans le cas de Texpérience de M. Duter. On peut donc, en remarquant, comme dans le cas précédent, que
d^eq = 0,
écrire la condition d'équilibre suivante :
d W + dg? — 27;R' l' e' (XP — 2^p) = 0.
Si le corps était à l'état neutre, avec la même constitution, la mémti longueur, la même épaisseur, pour le maintenir en équilibre, il faudrait lui appliquer une traction P' et une pression latérale p\ On aurait alors
d^ — 27:R' V e' (XF — 26^') =0.
On en déduit
2% R' V e' [X (F — P) — 26 (p' — p)] = — dW.
Calculons maintenant la quantité d W.
La variation du potentiel électrostatique W dans la modification considérée est la somme de deux variations ; l'une, duc à l'allongement de la bouteille, Tautre due à sa dilatation transversale.
La première se calcule bien aisément en partant de Tégalité connue
W = iQVdg,
V désignant la valeur de la fonction potentielle au point où se trouve la charge dq, et ^ désignant une sommation qui s'étend à toutes les
charges du système.
.Cette égalité nous montre, en premier lieu, que, pour calculer W, nous pouvons faire abstraction des charges réparties sûr la lame isolante, car tout élément de volume renferme des quantités égales et de signe contraire des deux électricités. Si donc nous désignons par q et q' les charges que portent les deux armatures, par V et V leurs niveaux potentieli?, nous aurons
W = |(qV + î'V).
Lorsque la bouteille s'allonge, les charges q et q* demeurent invariables; les niveîmx potentiels V et V varient seuls; on a donc
d\W = l{qd\ -+- q'd\').
Remarquons maintenant que si nous avons un tube cylindrique indéfini, si nous distribuons sur ses deux faces, dans une première expérience, des charges m, m', m', ..., et, dans une seconde expérience, des charges a m, 9.yn! ^ a m', ..., la valeur de la fonction potentielle en un point, qui était V dans la première expérience, devient aV dans la seconde.
Supposons V assez grand par rapport à R' pour que, pratiquement, on puisse regarder la bouteille comme un tube cylindrique indéfini. Par suite de l'allongement de la bouteille, sa surface, qui était S, est devenue S (1 -i- a) ; la charge totale étant restée la même, la charge en chaque point a été divisée par (1 -i- a), ou, ce qui revient au même, multipliée par (1 — X). Les niveaux potentiels V et V ont
218 LE POTENTIEL THEIIMODYNAMIQUE.
aussi été multipliés par (1 — a), ce qui nous donne
dW = — ^(gV + g'V)
eu
OU bien
dW = — XW.
Pour calculer la variation que W éprouve par suite de raccroissement de largeur de la bouteille, nous supposerons tout d'abord que toutes les dimensions du système augmentent dans le rapport de 1 -h à 1, puis que la longueur de la bouteille diminue de i' . D'après le calcul fait à propos de l'expérience de M. Duter, dans la première phase, W augmentera de — 30 W; dans la seconde phase, d'après le calcul que nous venons de faire, W augmentera de OW. On aura donc pour la modification totale
d!W== — 2eW,
et, pour l'ensemble des deux modifications que nous venons de considérer, ^
dW = — (X H-20)W.
La condition d'équilibre trouvée précédemment deviendra donc
(X + 26) W = 2xR' V e' [X (P' — P) — 26 (p' — p)].
Les quantités X et 6 sont arbitraires; cette égalité doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de X et de 6. On a donc
/.,.x ^ 2zR'i'e'
^ ,'- =--'^- , ^' ^ 27:R're''
Si lo système, à l'état neutre, était soumis à la pression p et à la traction P, la longueur de la bouteille aurait une valeur Z, son rayon une valeur R, son épaisseur une valeur e. Cherchons les relations qui existent entre /, R, e et T, R', e'.
Ces relations peuvent se déduire de la théorie de l'élasticité (*).
(1) Voir: Barré (le Saint-Ven.inl. Méittofre sur la torsion des prismes y lu à l'Arademio des sciences le 13 juin 1853 {Mémoires des Savants étrangers, I. XIV, année 1856, p. 193;.
Considérons un cylindre droit, formé d'une substance isotrope. Soient B^, 5^, 5, les dilatations par unité de lonj^^ueur qu'éprouve ce cylindre, dont les génératrices sont supposées parallèles à Taxe des 2, lorsque, étant primitiveiiient à Tétat naturel, il est soumis à la traction P par unité de surface de lu base et aux pressions latérales /> par unité de surface. Soient E et E' deux constantes. On a
Soient S^, 9i, 6?, les valeurs de l, R, c, lorsque la bouteille n'est soumise à aucune pression et ne porte aucune charge électrique. Les formules précédentes nous donnent
En remplaçant dans ces égalités P par P' et p par p', nous aurons les
V R' e' expressions de - ? -^ j — • De ces expressions, nous déduisons
V — l __ (E -h E') (P' — P) -4- F/ (; / ~;>) X "" ^2F(2ÏrT'3Ë' ) *
ÎV— R c' - c E (F - P) -h (2E + E') (// ~ p) ' ~Jl "" ^ "" 2E(2E -i- 3E';
Si, dans ces égalités, nous remplaçons (P' — P) et (p' — p) par leurs valeurs déduites des égalités (110) (p. 218), nous trouvons
gi
2Ehe' — É
-Ai'l'e E + 1
:ÏVl'
On peut, aux seconds membres, remplacer R', T, e' par £?l, Xy 6,
et écrire
