I VO^ X
V^ I ^2 F* yj 1 — ^*
d'où
F« Vt ^ X = — 1= — >Vt,
Il résulte de cette inégalité que le caractère relatif de la simultanéité n'est pas en contradiction avec le principe de causalité si nous admettons, ce qui est conforme à notre hypothèse fondamentale sur la mesure du temps, qu'aucun signal ne peut se propager avec une vitesse supérieure à celle de la lumière. Pas plus pour les observateurs O', pour lesquels les deux événements sont simultanés, que pour les observateurs O, pour lesquels leur distance x dans l'espace est supérieure au chemin parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps if, un lien de cause à effet ne pourra être établi entre eux. Il n'y a donc aucune difficulté logique à ce que leur ordre de succession puisse être modifié par un changement du système de référence.
Si, au contraire, les deux événements sont tels que pour un système de référence quelconque on ait x<Vt, c'est-à-dire tels qu'un signal lumineux permette au premier d'influer sur le second, il est facile de voir, d'après les équations (3), que cette inégalité subsiste pour un système quelconque en mouvement par rapport au premier : l'ordre de succession des deux événements a un sens absolu dès qu'un lien causal peut être établi entre eux par l'intermédiaire d'un signal lumineux ou de tout autre procédé moins rapide que la lumière.
Les mêmes conséquences peuvent s'obtenir peut-être plus simplement en remarquant que la transformation (3) laisse invariante l'expression
ou, s'il s'agit d'événements infiniment voisins, l'expression
(6) ds^ = V'dP — dx* — dy« — dz*,
c'est-à-dire qu'on a identiquement d^* = V' dp — dx' — dy' — ds:' =. F' dt'* — dx'^ — dy « — dV*.
Cet invariant joue, dans la théorie de la relativité, un rôle analogue à celui de la distance de deux points en géométrie. Il est caractéristique du groupe de Lorentz, et celui-ci peut s'obtenir, sous sa forme la plus générale, par la condition de consers^er leur forme aux expressions (5) ou (6). De même, en géométrie analytique, les formules qui permettent de passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre peuvent s'obtenir sous leur forme la plus générale par la condition de laisser invariante l'expression de la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées.
De même encore que la géométrie affirme F existence d'un espace indépendant des systèmes particuliers de coordonnées qui servent à cji repérer les points, et permet d'en énoncer les lois sous une forme intrinsèque grâce à Vintroduction d'éléments invariants (distances, angles, surfaces, volumes, etc.), la physique, par l'intermédiaire du principe de relativité affirme l'existence d'un Univers indépendant du système de référence qui sert à repérer les événements.
Le principe de relativité, sous la forme restreinte comme sous la forme plus générale que nous examinerons tout à l'heure, n'est donc, au fond, que l'affirmation de l'existence d'une réalité indépendante des systèmes de référence en mouvement les uns par rapport aux autres à partir desquels nous en observons des perspectives changeantes. Cet univers a des lois auxquelles l'emploi des coordonnées permet de donner une forme analytique indépendante du système de référence bien que les coordonnées individuelles de chaque événement en dépendent, mais qu'il est possible d'exprimer sous forme intrinsèque, comme la géométrie le fait pour l'espace, grâce à l'introduction d'éléments invariants et à la constitution d'un langage approprié. C'est la tâche qui s'impose actuellement aux physiciens : constituer une physique qui soit, à l'expression analytique actuelle des lois de l'Univers conforme au principe de relativité, ce que la géométrie pure est à la géométrie analytique.
L'invariant que nous venons de rencontrer sous les formes (5) ou (6) est le plus fondamental et correspond à la distance en géométrie.
\z, La possibilité d'influence ou d'action. — Il importe, à titre d'exemple, d'insister sur la signification physique de ce premier invariant. Si deux événements sont tels que leur distance dans l'espace (dont les composantes sont X, y, z) est inférieure au chemin Vt parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps, s^ est positif et il en résulte, à cause de l'invariance de /, que la relation qui vient d'être énoncée entre les deux événements a un sens absolu, qu'elle est satisfaite dans tous les systèmes de référence d'où l'on peut observer les deux événements considérés. Quand cette condition est remplie, c'est-à-dire quand s est réel, un signal ou un messager se déplaçant moins
vite que la lumière permet à Tun des événements d'intervenir comme cause dans les conditions qui déterminent le second. Il est facile de voir d'après les formules du groupe de Lorentz que dans ce cas, conformément au principe de causalité, Tordre de succession des deux événements a un sens absolu, aucun changement du système de référence ne permet d'inverser cet ordre ni de voir les deux événements simultanés.
Au contraire, quand r est négatif ou s imaginaire, la distance dans l'espace des deux événements est plus grande que le chemin Vt parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps (cette relation a un sens absolu) et aucun lien causal ne peut exister entre les deux événements dont l'ordre de succession peut, sans contradiction avec le principe de causalité, être renversé par un changement convenable du système de référence et n'a pas de sens absolu.
La quantité ^ est donc réelle ou imaginaire suivant que l'un des événements peut ou non influer sur l'autre ; elle est nulle quand un signal lumineux dont l'émission coïncide dans l'espace et dans le temps avec l'un des événements peut juste coïncider au passage avec l'autre. On peut donc dire que cette quantité mesure la possibilité d'influence ou d'action (au sens cinématique) des deux événements l'un sur l'autre.
12' La loi d'inertie ou d'action stationnait e . — Comme exemple de la possibilité indiquée plus haut d'atteindre, grâce à l'introduction de semblables invariants, des énoncés intrinsèques et simples pour les lois de la physique ou de la mécanique, voyons comment l'invariant fondamental 5 ou d^ permet d'exprimer la loi d'inertie.
Considérons deux événements A et B dont la possibilité d'influence S soit réelle ; puis que leur distance dans l'espace est inférieure au chemin par-
couru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps, il existe une infinité de mouvements possibles pour un mobile qui, partant du premier A (il y en a un qui est le premier dans le temps au sens absolu puisque Tordre de succession est invariable quand s est réel) passe par le second B. En appelant Itgve d* Univers l'ensemble des événements que représentent les diverses positions successives d'un mobile, nous pouvons encore énoncer ceci en disant : lorsque deux événements ont une possibilité d'influence réelle, il y a une infinité de lignes d'univers réelles passant par ces deux événements, exactement comme dans l'espace une infinité de lignes réelles passent par deux points dont la distance est réelle. La quantité qui correspondra ici à la longueur d'une de ces lignes, et qui sera la possibilité d'action le long d'une ligne d'univers passant par les deux événements, aura pour expression
l'intégrale étant étendue à tous les couples d'événements infiniment voisins qui se succèdent le long de cette ligne.
En géométrie, il y a une ligne qui se distingue de toutes les autres passant par les deux mêmes points : c'est la droite, qui jouit de la propriété de longueur minimum, ce minimum étant précisément égal à la distance des deux points.
Un calcul très simple, qui utilise la définition (6) de d^, montre que l'intégrale / est stationnaire et passe par un maximum égal à s pour la ligne d'univers qui correspond à un mouvement rectiligne et uniforme^ c'est-à-dire à un mobile se mouvant entre les deux événements conformément à la loi d'inertie.
Cette loi a donc, pour énoncé intrinsèque et simple,
On remarquera que cet énoncé d'action stationnaire a précisément la forme hamiltonienne et fait jouer, dans TUnivers de la relativité, au mouvement rectiligne et uniforme le rôle que joue la droite en géométrie euclidienne. On peut encore dire, sous une forme plus générale, que le mouvement d'un point matériel libre, que la ligne d'univers de ce point est une géodésique tracée dans la multiplicité à quatre dimensions qu'est l'ensemble des événements ou Univers. On voit déjà que, loin de compliquer les choses, notre principe de relativité, par la symétrie qu'il introduit entre les coordonnées d'espace et de temps contrairement à ce qui se passe en cinématique ordinaire, perm.et d'obtenir des énoncés remarquablement simples quand on a réussi à dégager les invariants nécessaires. Nous verrons d'autres exemples de cette puissance de simplification.
14. Le temps propre. — Nous pouvons encore donner de l'invariant fondamental une autre interprétation dans le cas où il est réel. Imaginons pour cela que des observateurs soient liés au mobile dont la ligne d'univers passe par les deux événements considérés : pour eux les deux événements se passent au même point puisque tous deux coïncident avec leur présence, de sorte que si d^ est la mesure faite par eux de l'intervalle de temps entre les deux événements supposés par exemple infiniment voisins, on a, comme conséquence de la formule (6), en tenant compte du fait que pour les observateurs considérés la distance dans l'espace est nulle.
(9) d^* = V^ dx* OU ds = Vd-.
Nous donnerons à cIt le nom, qui s'impose d'après ce qui précède, de temps propre du mobile entre les deux événements qui se succèdent au même point par rapport à lui. La possibilité d'influence entre deux événements, lorsqu'elle est réelle, est donc proportionnelle, avec le coefficient F, à l'intervalle de temps mesuré entre ces événements par des observateurs en mouvement rectiligne et uniforme tel que les deux événements se passent pour eux au même point.
Si leur ligne d'univers n'est pas celle d'un mouvement libre, on a, le long de cette ligne,
(10) \ ds==V\ dz,
Ja Ja
C'est donc le mouvement rectiligne et uniforme qui donne, d'après la propriété reconnue plus haut, le maximum de temps propre entre deux quelconques des événements par lesquels il passe. On peut encore s'en rendre compte de la manière suivante. Considérons d'autres observateurs O que ceux liés au mobile. Pour eux, celui-ci a une certaine vitesse v à l'instant t, et l'on a, d'après la définition de d^"^,
d^* = V' dt'—v' dt' = V'(î~ ^') dt\
d'où
(11) dT = \ i~^'dt
et
Ja jt.
V I — (3« d/, où ^1 et ^2 sont les instants auxquels se passent les
événements extrêmes A et B pour les observateurs O. La présence du facteur / i — [i^ montre que plus le mouvement entre A et B différera d'un mouvement rectiligne et uniforme, plus par conséquent les vitesses seront grandes puisque la durée totale ti — ^2 ^st fixe, et plus rintégrale entre ces limites fixes sera petite.
La loi d'inertie peut encore s'exprimer comme loi du temps propre maximum, et elle nous apparaît comme liée de façon nécessaire aux conclusions suivantes, dont l'aspect semble plus paradoxal encore que celles relatives à la simultanéité et à la contraction apparente réciproque des corps en mouvement.
Imaginons deux portions de matière dont les lignes d'univers se croisent en deux événements A et B, c'est-à-dire qui se séparent en A pour se retrouver en B, mais dont l'une se meut entre A et B d'un mouvement rectiligne et uniforme, tandis que l'autre a un mouvement varié, subit des accélérations. Il résulte de ce qui précède que l'intervalle de temps, la durée de la séparation, mesuré par la seconde est moindre que pour la première. Et si nous admettons, conformément au principe de relativité, qu'aucune autre mesure du temps n'est possible, il en résulte que la seconde a, dans l'intervalle, moins vieilli que la première. On peut déduire de là des conséquences amusantes qui ne sont en opposition avec aucun fait expérimental. Un peu d'attention montre d'ailleurs que la mise en œuvre de cette possibilité de ralentir le cours du temps grâce à une agitation suffisante obligerait à réaliser des vitesses du même ordre que celle de la lumière ; elle ne présente par conséquent aucun intérêt pratique.
i^. La dynamique de la relativité. — Revenons à des conséquences plus facilement vérifiables par l'expérience.
A la nouvelle cinématique correspond une dyna-
mique nouvelle, entièrement compatible avec les lois de Télectromagnétisme puisque ses équations conserveront leur forme pour les mêmes transformations de coordonnées, celles du groupe de Lorentz.
Étant donné, comme nous allons le voir, que les faits imposent cette nouvelle dynamique, il serait important d'orienter l'enseignement de la mécanique ordinaire dans un sens ménageant la possibilité de passer à la mécanique nouvelle avec le minimum de changements. Or, il est facile de montrer que le principe de relativité, joint au principe de conservation de l'énergie, fournissent, quand on admet la cinématique de Galilée, toutes les fois fondamentales de la mécanique rationnelle, en particulier la conservation de la masse, introduite d'ordinaire comme un postulat indépendant, et celle de la conservation de la quantité de mouvement.
Il suffit de remplacer la cinématique de Galilée par celle du groupe de Lorentz, -c'est-à-dire d'introduire la mesure optique du temps, pour obtenir une nouvelle dynamique qui, chose tout à fait remarquable, est plus simple que celle de la mécanique rationnelle. En effet, elle réunit en un seul l'ensemble des principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Elle affirme pour un système matériel isolé la constance d'un vecteur d'Univers à quatre composantes, dont les trois composafites d'espace sont les quantités de mouvement et dont la composante de temps est V énergie.
De plus, et ceci est l'aspect peut-être le plus remarquable, la notion de masse se confond avec celle d'énergie : la masse d'un système matériel n'est plus qu'une quantité proportionnelle à son énergie interne avec un coefficient de proportionnalité égal au carré de la vitesse de la lumière. Entre la masse m d'une portion de matière définie comme coefficient de proportionnalité
de la quantité de mouvement à la vitesse et son énergie totale E, on a la relation
de sorte que la masse varie avec l'énergie et ne reste constante pour un système fermé que grâce à Tabsence d'échange avec l'extérieur, par voie de rayonnement par exemple.
i6. Variation de la masse avec la vitesse. — L'énergie totale d'un corps augmente avec sa vitesse d'une quantité égale à l'énergie cinétique. Si E est l'énergie interne du corps (mesurée par des observateurs qui lui sont liés) et par conséquent
sa masse au repos, ce que nous appellerons sa masse initiale, la théorie montre que son énergie mesurée par des observateurs qui le voient en mouvement avec une vitesse v=^V â pour valeur
L'énergie cinétique prend la valeur
qui, pour les petites valeurs de g, se confond, comme on le voit immédiatement en développant l'expression
précédente suivant les puissances de ^, avec Ténergie cinétique ordinaire
A la valeur (13) de Ténergie correspond, en vertu de la relation (12), une valeur de la masse m :
L'accroissement de masse avec la vitesse ainsi prévu par la théorie de la relativité est lié au fait que rénergie cinétique existe, que l'énergie totale d'un corps en mouvement est plus grande que celle du même corps au repos et n'est qu'un aspect particulier de la loi fondamentale d'inertie de V énergie exprimée par la formule (12).
17. Vérifications expérimentales. — La variation de masse ainsi prévue ne devient sensible que pour des vitesses du même ordre que celle de la lumière et donne une masse infinie quand v tend vers V. C'est là l'aspect dynamique du résultat cinématique limitant à F la vitesse relative que peuvent prendre deux portions de matière : il faudrait une énergie infinie pour atteindre cette limite.
Pour obtenir une vérification expérimentale, il est nécessaire de s'adresser aux projectiles les plus rapides que nous connaissions, aux rayons cathodiques et aux rayons P des corps radioactifs. En observant la déviation par un champ magnétique connu de rayons cathodiques produits sous une différence de potentiel connue entre la cathode et le lieu d'observation, on peut obtenir deux relations entre la vitesse
des particules cathodiques et le quotient de leur charge par leur masse initiale w^. Comme il est nécessaire d'ailleurs pour conserver leur forme aux équations de Télectromagnétisme, d'admettre que la charge électrique reste invariante quand on passe d'un système de référence à un autre en mouvement par rapport à lui, ces deux relations s'écrivent, dans la dynamique de la relativité,
Ue =m,V^ { , — I
(15) et
