La composition des vitesses. —■ Mettons tout d'à

bord en évidence le rôle particulier que joue la vitesse de la lumière dans la cinématique de la relativité. On voit immédiatement que les relations (3) n'ont de sens que si ii <i, c'est-à-dire si les deux systèmes de référence ont une vitesse relative v inférieure à la vitesse de la lumière, ce qui revient à dire que deux portions de matière ne peuvent se mouvoir Tune par rapport à Tautre avec une vitesse égale ou supérieure à celle de la lumière. Ceci résulte en effet de la loi de composition des vitesses que donne la formule (4) et qui se réduit à la loi ordinaire (2) quand on y suppose V infini. Cette formule (4), caractéristique du groupe de Lorentz, peut encore s'obtenir en considérant un mobile dont la vitesse par rapport aux observateurs O* a pour composante dans la direction des x

àx' àt

et dont la vitesse par rapport aux observateurs O a pour composante dans cette même direction

dx dt

Il suffit de différencier la première et la dernière des relations (3) et de diviser membre à membre pour retrouver, avec la signification un peu différente qui vient d'être indiquée, la loi nouvelle de composition de vitesses

^ + Ki

Il est facile de vérifier sur cette formule que la

composition (Tun nombre quelconque de vitesses inférieures à V donne toujours une vitesse inférieure à F et par conséquent qu'un mobile, par accroissements successifs à partir du mouvement antérieurement acquis, ne pourra jamais atteindre la vitesse de la lumière.

9. Les rayons [î du radium. — Une première vérification expérimentale de ce résultat va nous être apportée par l'observation des mouvements les plus rapides que nous connaissions : les rayons g du radium sont constitués par des particules cathodiques chargées négativement et dont la vitesse peut être mesurée, ainsi que le quotient de leur charge par leur masse en utilisant la déviation de ces rayons par des champs électrique et magnétique connus.- Les résultats obtenus, par Danysz en particulier, montrent que ces particules ^ présentent toute une série de vitesses et que celles-ci convergent vers la vitesse de la lumière, s 'accumulant au-dessous de celle-ci puisqu'on a pu observer jusqu'à 297.000 km par seconde, mais sans/ l'atteindre et encore moins la dépasser.

10. U entraînement des ondes, — Une confirmation non moins remarquable, et qui attira vivement l'attention des physiciens lorsqu'elle fut signalée par M ■ Einstein dès 1906, résulte de la simplicité extraordinaire avec laquelle la nouvelle loi de composition rend compte de la loi d'entraînement des ondes lumineuses par les milieux réfringents en mouvement sous la forme prévue par Fresnel et vérifiée expérimentalement par Fizeau.

Si n est l'indice de réfraction du milieu matériel transparent pour les ondes considérées, la vitesse f/' de ces ondes par rapport au milieu est donnée par

conformément au résultat des mesures directes de Foucault sur la vitesse de la lumière. Si le milieu est en mouvement avec la vitesse v par rapport à des observateurs, Texpérience de Fizeau montre que la vitesse des ondes par rapport à ceux-ci est

Au point de vue de la cinématique ancienne, il faut, pour avoir C/'* composer avec IJ^ une fraction

seulement i -de la vitesse d'entraînement v. C'est

la loi d'entraînement partiel des ondes, plus singulière

encore quand on l'énonce comme faisait Fresnel en

disant que le milieu réfringent entraîne partiellement

l'éther qu'il renferme, cet entraînement partiel variant

avec la fréquence des ondes propagées puisque l'indice

n dépend de cette fréquence.

Appliquons, au contraire la nouvelle loi (4) de

composition en faisant v' égal à f/', c'est-à-dire en

composant la vitesse relative f/' des ondes avec la

vitesse d'entraînement v ; il vient

en limitant le développement aux termes du premier ordre. La loi d'entraînement n'a qu'une signification purement cinématique, immédiate et simple au possible.

11. Le temps et l espace relatifs. — Dégageons quelques aspects particulièrement remarquables de la cinématique nouvelle.

La relation

montre que, contrairement à ce qui se passe en cinématique ordinaire, Tintervalle de temps entre deux événements (par exemple entre Tévénement origine et Tévénement noté x, y, z, t) n'est pas mesuré de la même manière par les observateurs O et O', puisque t est différent de f (sauf, comme il est facile de s'en assurer, lorsque x' et f sont simultanément nuls, c'est-à-dire lorsqu'il y a coïncidence absolue des deux événements au sens que j'ai indiqué plus haut).

Si, pour les observateurs O', les deux événements coïncident dans le temps, c'est-à-dire sont simultanés {t — o), sans coïncider dans l'espace (x' différent de zéro), t est différent de zéro, c'est-à-dire que les événements ne sont pas simultanés pour les observateurs O.

De même la formule

montre que pour ^'— o on a

c'est-à-dire que deux événements s multanés pour les observateurs O' ont pour ceux-ci une distance dans l'espace (^') plus petite dans le rapport V i — ^* que pour d'autres observateurs O en mouvement de translation par rapport à eux avec la vitesse z;==pV. En particulier, supposons les observateurs O liés à une règle parallèle à la direction du mouvement relatif et

qui pour eux a la longueur x. Pour les observateurs O*, cette règle est mobile par rapport à eux et sa longueur est définie comme la distance x' dans Tespace entre les événements que sont les présences simultanées (pour eux) des deux extrémités de la règle. En vertu de la relation précédente, on aura

Cette relation est d'ailleurs réciproque : si la règle était liée aux observateurs O', sa longueur pour les observateurs O par rapport auxquels elle est mobile serait la distance dans l'espace des deux événements simultanés pour eux (^— o) et Ton aurait

Ceci est la forme sous laquelle la contraction de Lorentz intervient dans la cinématique nouvelle : elle est réciproque puisqu'il résulte de ce qui précède que si deux règles égales glissent l'une contre l'autre avec la vitesse v, des observateurs liés à l'une quelconque des règles voient l'autre plus courte que la leur.

On voit que cette contraction n'a plus le caractère absolu que lui donnait la cinématique ordinaire : elle résulte simplement de la manière différente dont les deux groupes d'observateurs définissent la simultanéité et du fait, sur lequel j'insiste, que la forme d'un corps en mouvement ne peut être définie que comme le lieu des positions simultanées des différents points de ce corps. Si des observateurs en mouvement relatif ne définissent pas de la même manière la simultanéité, il n'est pas surprenant qu'ils ne voient pas la même forme au même corps.

Deux événements simultanés pour les observateurs O' {f=o) et distants pour eux de x' dans l'espace

ont ainsi pour les observateurs O un intervalle dans le temps et une distance dans Tespace donnés par