INTRODUCTION

1. Historique. — Le Recueil des Mémoires de l'Académie des Sciences, pour 17S1, renferme un des écrits les plus remarquables de Monge [1], où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons rectilignes appelés aujourd'hui congruenees de droites. Le grand géomètre y propose le problème suivant : Deux volumes équivalents étant donnés^ les décomposer en particules infiniment petites se correspondant deux à deux^ de telle façon que la somme des produits des chemins parcourus en transportant chaque parcelle sur celle qui lui correspond^ par le volume de la parcelle transportée^ soit un minimum.

Pour simpliher le langage, Monge donne les noms de déblai et de rembhii aux volumes qu'il considère, sans prétendre traiter une question relative à l'art de l'ingénieur; celui-ci doit en effet transporter ses matériaux .suivant des routes généralement curvilignes, tracées sur un sol dont il faut considérer le relief et la pente ; Monge suppose que toutes les parcelles qu'il considère sont transportées sur des lignes droites dont la longueur seule lui importe ; il résout un problème de géométrie pure, qui le conduit à une de ses plus belles découvertes,

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celle des propriétés fondamentales des congruences de droites et des normales aux surfaces ; d'ailleurs, ces propriétés, qui constituent les résultats de beaucoup les plus importants du Mémoire, j sont données sous forme de lemmes, presque de hors-d'œuvre. Quant au problème même que Monge s'est posé, sa solution laisse beaucoup à désirei", moins parce qu'elle est très loin d'être explicite, que parce qu'elle s'appuie sur des propositions si mal établies qu'on peut douter de leur exactitude, quand on ne les trouve pas manifestement en défaut.

Le raisonnement de Monge revient au fond à ceci : après avoir établi que les routes forment une congruence, il montre que les droites d'une congruence se décomposent en deux systèmes de surfaces développables. Il dit ensuite que le maximum du volume enveloppé par les droites a lieu quand les surfaces développables sont orthogonales, c'est-à-dire quand les routes sont normales à une surface.

En 1818, Ch. Dupin [2] reprend la question des déblais et des remblais à un nouveau point de vue : « Le seul moyen, dit-il, d'ajouter quelque chose aux recherches d'un illustre devancier est de considérer le cas où les routes ne sauraient être toutes rectilignes, mais dépendent de la forme et de la pente du terrain sur lequel elles doivent être tracées. » Dupin se préoccupe du tracé qu'il faut adopter pour les routes, et de la loi suivant laquelle on fera varier les surfaces du déblai et du remblai pendant le terrassement; il a toutefois l'occasion de discuter et de rectifier quelques-unes des assertions de Monge, mais il est loin de lever tcnis les doutes et il n'est pas toujours à l'abri de l'erreur.

Depuis Monge et Dupin, les géomètres ne paraissent pas être revenus sur la question des déblais et des remblais jusqu'en 1884. A cette époque, l'Académie des Sciences proposa, comme sujet de concours pour le prix Bordin, de reprendre le problème de Monge, d'établir les principes qui peuvent conduire à la solution, et de poursuivi e jusqu'au bout la solution de cas particuliers.

2. Généralisation du problème de Mong-e; cas ov\ la densité est variable. — Par rapport à des axes rectangulaires quelconques appelons a?, y, z les coordonnées d'un point du déblai, 0 = \oÇ'r,y^ z) \ la densit('' du déblai en ce point, .r,, >'|, 3| les coordonnées du point

correspondant du remblai et p,==— — -, la densité en

LE PROBLEME. GEOMETRIQUE DES DEBLAIS ET REMBLAIS. i

ce point, où u signifie ?;«/<?«/■ absolue de u., o{x^y, ^) et J^l^r,, y■^, Zi) pouvant^être négatifs, x,, j,, 5, étant des ionctlons inconnues de x^ y, z. La masse d'un élément <Yr entourant les points j", j', :; Qsl d m ^=^ 0 ch \ celle de Télément correspondant rf-:, entourant le points,, j',, Zi est p, ^/t,. Ces deux masses étant égales, on a

Les masses totales du déblai et du remblai sont évideuiment égales. Le problème est alors un problème de géométrie des masses ; il peut s'énoncer ainsi :

D'niser le déblai et le remblai en éléments correspondants de même masse de telle façon que la somme des produits obtenus en muitipliant la masse d\in élément du' déblai par sa distance à l'élément correspojidanl du remblai soit un minimum.

Ces droites seront les routes suivies ; le prix du transport d'un élément sera le produit de sa masse par le chemin, toujours rectiligne, qu'on lui lait parcourir ; la somme des prix de transport de toutes les parcelles du déblai sera le p/ix total du transport ; l'ensemble des routes qu'il faudra adopter pour rendre ce prix total minimum sera le meilleur système de routes.

Considérons un déblai et un remblai de masses équivalentes ; il est clair que si l'on effectue le transport de toutes les parcelles suivant des routes rectilignes, le prix total de ce transport sera toujours susceptible <ruu minimum. La méthode que nous suivrons, après Monge et Dupin, consiste à déteiminer les conditions auxquelles doit nécessairement satisfaire le meilleur système de routes, et à étudier les conséquences qui en résultent dans les principaux cas qui peuvent se présenter ; lorsqu'un seul système de routes satisfait aux conditions requises, c'est nécessairement le système cherché. Si plusieurs systèmes y satisfont, on calculera le prix total du transport correspondant à chacun d'eux, et l'on aura les éléments nécessaires pour décider lequel est le plus avantageux : on n'aura qu'à comparer quelques quantités connues, si le nombre des systèmes entre lesquels il faut choisir est limité ; sinon, <ui devra recourir aux dérivées et parfois même au calcul des variations ; mais, même dans ce dernier cas, on aura' un problême théoriquement bien plus simple que si l'on eût cherché direclementle minimum parla méthode des variations, parce que le nombre des systèmes

de routes entre lesquels il faut choisir est infiniment moins grand qu'il ne l'était a priori. Mais, si l'on veut déterminer complètement le système de routes qui convient à un cas donné, on se heurte en général à des obstacles paraissant insurmontables ; on s'en fera une idée par les difficultés relatives que nous rencontrerons pour obtenir une solution explicite clans quelques cas particuliers excessivement simples.

3. Diverses questions à traiter. — Nous établirons d'abord quelques règles générales en nous élevant de la considération de systèmes de points isolés au cas de masses continues.

INous considérerons ensuite le cas où le déblai et le remblai peuvent être traités comme de simples lignes, et nous prêterons une attention particulière au cas où elles sont situées dans un même plan ; quand les deux lignes sont fermées et convexes dans un même plan, les routes du meilleur système sont dirigées suivant des équisécante> droites détachant des masses égales, sauf certaines réserves que nous indiquerons. Il faut compléter les indications données par Dupin pour les cas où les deux lignes supposées dans un même cas ne sont plus fermées, et signaler une erreur commise par l'éminent géomètre quand il croit démontrer que la tangente à une extrémité du déblai appartient au meilleur système de routes si elle coupe le remblai.

Vient ensuite le cas où le déblai et le remblai peuvent être traités comme deux aires ; un cas parliculier très important est le cas où les deux aires sont situées dans un même plan ; d'un raisonnement forcément inexact, Monge conclut alors que les routes du meilleur système doivent toujours être des équisécantes ; il remarque pourtant que cette règle conduirait, dans certains cas, à des contradictions et il indique sommairement un moyen inexact de subdiviser le déblai et le remblai en parties qui se correspondent, sans donner lieu à la difficulté qu'on a rencontrée. Dupin montre qu'il suffit de subdiviser l'une des deux aires et donne une propriété caractéristique de la ligne séparatrice; mais son analyse est 1res incomplète. Il convient de la compléter; on peut alors obtenir une équation de la ligne séparatrice. 11 présente ensuite un problème posé par Monge qui a pour objet > connaissant le déblai et le bord interne du remblai, de déterminer son bord externe, de manière à diminuer autant cpie possible le prix total du transport des parcelles du déblai donné ; on obtient le résultat à l'aide d'un calcul simple dont quelques délails semblent intéressants.

Arrive enfin le cas le plus difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes quelconques. Monge débute par ce théorème fondamental, que les routes du meilleur système doivent êlre normales à une même surface ; mais la raison qu'il invoque est si évidemment sans valeur qu'on peut absolument douter que le théorème soit vrai : il l'est pourtant; de Saint-Gçruiain [3] en donne, pour le cas même de Monge, une démonstration géométrique ; on trouvera plus loin une démonstration analytique, basée sur le calcul des variations, pour le cas général où la densité est variable [4]. On forme ensuite l'équation aux dérivées partielles du second ordre de la surface orthogonale, et l'on obtient [3] l'intégrale qui exprime le prix total du transport. Quant à l'intégration de l'équation ditlerentielle de la surface, il ne semble pas possible qu'on puisse la faire, sous une forme maniable, dans le cas général : cette équation peut se ramener en efl'et à celle des surfaces minima si le déblai et le remblai peuvent être assimilés à des aires do densités constantes, égales dans des plans parallèles, età celle des surfaces à courbure totale constante si le déblai et le remblai peuvent être assimilés à des aires de densités constantes et inégales dans des plans parallèles.

A. Détermination des fonctions arbitraires. — Monge remarque, avec raison, que cette intégrale renferme deux fonctions arbitraires ; mais il se trompe en pensant qu'il suffit, pour les déterminer, d'exprimer que les routes tangentes au déblai le sont également au remblai. Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. A ce sujet, Darboux s'exprime comme il suit [TiJ : « Si l'on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d'aire minimum aurait, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivées partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie, à passer par la courbe, ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. 11 existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe ; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes à la condition, supj)osée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant

des considérations tout à fait indépendantes du calcul des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée remplie au moment où commence Tapplication de cette méthode. .. . La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui entrent dans les équations du sjslème des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu permettant de transporter dans l'ensemble des remblais la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente a priori, que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai, ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. »

5. Théorèmes généraux. — En tête des conditions auxquelles doivent nécessairement satisfaire les routes du meilleur système, il faut placer la régie fondamentale posée par Monge : pour que le prix total du transport soit minimum, les portions de droites parcourues par deux parcelles quelconques ne doivent jamais se rencontrer. Une ligure bien simple montre que si les droites parcourues par deux parcelles, dont on peut supposer les masses égales, se rencontrent, il suffit d'échanger les points de destination de ces parcelles pour diminuer la somme de leurs prix de transport.

Un des premiers corollaires de la règle de Monge a une importance considérable : toutes les parcelles dont la position initiale ou finale se trouve sur la droite parcourue par une autre parcelle doivent suivre le même cliemin; donc sur chaque route du meilleur système, il cheminera en général une infinité de parcelles formant dans le déblai et le remblai deux filets infiniment minces équivalents en masses. Dans tous les cas que nous considérerons, les diverses parcelles qui sont transportées sur une route quelconque la parcourront dans le même sens ; nous dirons que c'est le sens dans lequel la route elle-même est dirigée.

Nous désignerons par le mot de route une droite indéfinie sur laquelle cheminent un nombre plus ou moins grand de parcelles : la partie de la droite réellement parcourue sera la portion utile de la roule; elle comprendra toujours le point où la route sort du déblai,

Li: PROBLEME GEOMETBIQUE DES DEBLAIS ET REMBLAIS. 7

celui OÙ elle entre dans leremlîlai ; si elle s'étend à la t'ois jusqu'aux faces externes du déblai et du remblai, je dirai que la route est entière^ sinon, ce sera une route tronquée.

La loi de correspondance entre les parcelles des deux lilels desservis par une même roule est indifterente ; le prix du transport est toujours égal au produit de la masse des deux filets par la distance qui sé[)are leurs centres de gravité.

Soient X, X\ les abscisses, comptées suivant la route considérée, de deux parcelles de masse ^'///i qu'on fait correspondre ; le prix du transport de toutes les parcelles du lilet donné s'exprime par une intégrale de la forme

/ {x^ — x) dm z= j xi dm — j x dm ;

d'après une propriété bien connue du centre de gravité, cette formule démontre immédiatement le théorème énoncé. Pour avoir le prix total du transport, on fera la somme des prix de transport des filets dans lesquels on aura décomposé le délilai.

Quand le rapport entre les dimensions, tant du déblai que du remblai, et la distance qui sépare ces deux volumes, est inférieure à une petite quantité £, le prix total du transport est égal, en négligeant les termes de l'ordre de £-, au produit de la masse M des deux volumes donnés par la distance A de leurs centres de gravité. Soient en effet H, Y,, ^; 'i' , r/, ^' les coordonnées rectangulaires des deux centres de gravité ; -h jc, -/"i -hj', ^ + -3 et i' -^- x\ 7/4-.)' , ^ H- -î' celles de deux parcelles correspondantes de masse dm. Le prix de transport total sera

P = / \ ( 'z' -+- x' — l ^ xY -^ . . . dm

Mais les termes /./• <://«, / x dm., ... sont nuls en vertu d'une jiropriété élémentaire du centre de gravité; si donc on néglige dans l'intégrale les termes de l'ordre de î-, il reste

V = / Idm == MA.

6. Échange du déblai et du remblai. — 11 est évident que si l'on intervertit les rôles du déblai et du remblai, le meilleur système de routes reste le même.

b . PAUL APPELL.