PRINCIPES DÉDUITS DE LA CONSIDÉRATION DE POINTS ISOLÉS

7. Points isolés. — On peut imaginer d'abord que le déblai et le remblai soient formés de points matériels ayant tous la même masse ni et se trouvant en nombre égal n dans le déblai et dans le remblai. Les résultats obtenus do cette façon contiennent, comme limites, les propositions relatives au cas où le déblai et le remblai seraient des masses continues IiODiogènes ou hétérogènes, car on pourra toujours les décomposer en parcelles infiniment petites de même masse que l'on traitera comme des points matériels. Nous appellerons D,, Do, . . . , D,j les points constituant le déblai, R,, Ro, . . . , R„ ceux qui forment le remblai ; tous ces points ont même masse m. Le problème consiste à transporter chaque point D, du déblai sur un point lu de façon que la somme imDjR;^ ou iD/Ry^ soit la plus petite possible. La solution de ce problème reste évidemment la même quand on intervertit le déblai et le remblai (n° 6 ). Monge remarque que, dans le meilleur système de routes, deux routes ne peuvent pas se croiser entre leurs extrémités. Le théorème subsiste dans le cas limite où le point de croisement coïnciderait avec l'une des extrémités de D,- ou R^. On peut énoncer ce fait de la façon suivante : si, dans le meilleur système de routes, une route D,R| par exemple rencontre entre D, et R, un autre point Do du déblai ; alors le point Do ne peut être porté que sur un point de la droite DoR| ou de son prolongement dans le sens Do Ri. Les conséquences de ce fait ont été données, pour les milieux continus, au n° 5.

n est évident que si un point du déblai coïncide avec un point du remblai, ce point reste immobile dans le meilleur système de routes : il suffit de faire la figure pour le voir.

<S. Systèmes de routes déduits d'un système donné. — Supposons que le meilleur système de routes soit D, R, , D.JU, . . . , D„R„. Arrêtons chaque point du déblai en un point quelconque de la route qu'il suit, D, quelque part en D, sur le segment D|R|, Do en D., sur Dolio, ... ; le meilleur système de routes pour déblayer ces nouveaux points D|, I).,, ..., D^^ sur le remblai piiinitif R, , l»o, ..., R„ se com-

pose des parties restantes des mêmes routes 1), 11,, D'^Ro, . .., D,jR„. Car s'il n'en était pas ainsi, il existerait un meilleur système de routes dv pour transporter les D sur les K, et le système primitif DjRj ne serait évidemment pas le meilleur car le système de lignes brisées D,D^ suivi de dR serait meilleur.

Si donc, pour un déblai et un remblai donnés^ on connaît le meilleur système de routes, on connaîtra aussi ce système pour une infinité d'autres déblais et remblais, déduits des premiers de la façon cpie nous venons d'indiquer.

0. Principe des routes normales à ime surface. — Inuif^inoas un nombre n do normales OiN,, O2N0, ..., 0„N„ distinctes ou non, à une surface convexe S du côté de la convexité, Oj, Oo, • . ., 0« étant ïiur S et N|, No, . . ., N,; 'du côté de la convexité : supposons que sur <liaque normale O/N/ se trouxent un point D^du déblai et un point r\j du remblai disposés de telle façon queD/R, ont le même sens que OjN, : les segments D,:R/ forment alors le meilleur systéuie de routes. Dans le cas limite où S est un plan, les segments D/R, sf)nt parallèles et de même sens.

10. Loi de symétrie. — ■ Si le déblai est coiuposé de /i points D,, D-.>, . . ., Dp placés d'un côté d'un plan II et de leurs symétriques D', , D,,, . . ., D' par raj)|)ort à ce [)Ian ; si le remblai est de même composé de points Pi,, Ro . . ., R^, placés par rapport au plan FI du même côté que D,, Do, ..., 1)/, et de leurs symétriques R,, R!,, . . ., R|, par rapport à ce plan, le système de routes le plus avantageux se compose du meilleur système de roules pour dél)layer D,, D.,, ..., D^ sur R,, Ro, ..., l\f, et de leurs symétriques. En d'autres termes, dans le meilleur système de routes, aucune route ne peut Iraverser le plan d<^ symétrie.