CHAPITRE VI

DÉBLAI ET RliMBLAI DES VOI-TMi:?.

20. Masses détachées par un faisceau de normales. — Dans les Mémoires de /' Icadé/tiie pour 1781, Monge s'exprime ainsi :

« 11 suit évidemment de tout ce que nous avons vu dans la première Partie, et principalement de ce principe (les routes de deux molécules quelconques ne doivent pas se couper entre leurs extrémités) que, pour satisfaire au minimum, toutes les molécules qui se trouvent sur la route d'une autre molécule doivent suivre la même route que celte dernière. Par conséquent, si, pour un élément quelconque du déblai, on conçoit que les routes de toutes les molécules qui le composent soient construites el prolongées indéfiniment, celles de ces routes qui sont entières el qui enveloppent les autres dans toutes sortes de sens doivent circonscrire dans le déblai et dans le remblai des espaces élémentaires tels que loules les molé'cules

comprises dans 1 espace élémentaire du remblai doivent être portées dans le^pace élémentaire du remblai, ce qui comporte nécessairement que les deux espaces élémentaires doivent être égaux entre eux.

» De plus, pour satisfaire au minimum demandé, il est indiflerent dans quel ordre les molécules des premiers espaces soient transportées dans le second, puisque, quel que soit cet ordre, puisque la somme des produits des molécules par les espaces parcourus sera toujours la même; la question dont il s'git se réduit donc à trouver, pour chaque molécule du déblai, la direction de la route qu'elle doit suivre pour satisfaire au minimum. »

Monge, dans ce qui précède, suppose que les deux volumes D et R sont homogènes de même densité. Ces propositions sont générales à condition de remplacer partout les volumes par les masses, si les densités p et pi sont quelconques et varient dun point à l'autre.

Les routes, là où elles se succèdent d'une manière continue, sont normales à une surface S. Elles seront donc connues dès que la surface S le sera. Le z d'un point de cette surface, considéré comme fonction de x et y. vérifie une équation différentielle du second ordre linéaire en /•, s, t et rt — s'-. On obtient cette équation en écrivant qu'un faisceau de normales à S détache dans le déblai et le remblai des volumes élémentaires de iitêine masse.

Soient F(X, V, Z)=:o, <I>('X, Y, Z)^o les équations des surfaces limitant D et R.

La route

normale à S coupe le déblai D en des points M et M' dont les cotes Z sont racines de l'équation en Z :

Nous admettrons, pour simplifier, que la normale coupe la surface du déblai en deux points M et M seulement, et nous appellerons Z et Z' les cotes de ces deux points donnés par l'équation (\). La même route coupe la surface du remblai, en des points dont les cotes sont racines de l'équation ( 2) 'l>[x — p(Z — z ). ] — qÇZ — ; i, Z] = o.

nous supposerons ces points au nombre de deux M| et ^L, et nous appellerons Z, et Z', leurs cotes. Soit da la section du pinceau de

MÉMORIAL DK8 9C. MATH. — N» 27. 3

3o PAUL APPELL.

normales par un plan de coté Z, da a été obtenn au n" 17. Si l'on

appelle

p = cp( X. \, Z j et pi = tp, (X, Y, Z),

les densités dans le déblai et dans le remblai, l'équation qui exprime l'égalité des masses des deux filets détachés dans D et R par un pinceau de normales est

/ ? \x — p//. — z), y — qiZ — z), 'L]d^ dZ

= ^ ^,|.r — /,(Z — 2), )• — ^(Z— 3). Z] didl.

27. Équations dififérentielles. — - JNous prendrons du sous la première forme du n° 17, et nous aurons une équation d'A.mpère linéaire en r, 5, ^, rt — &^ . Cette équation est réductible à celles des surfaces niinima si le déblai et le remblai peuvent être assimilés à des aires homogènes de même densité dans des plans parallèles (n" 19) et à celles des surfaces à courbure totale constante si les aires étant homogènes ont des densités diflférenles.

Si l'on prend les routes sous la forme

X = aZ + a, Y = 6Z + P

(n" 17), Z et Z' sont racines de l'équation

* ( (7 Z -(- a, 6 Z H- p, Z ) = o Z| et Z'i de

^{aZ + a. èZ+ p. Z) = o,

et l'équation qui exprime l'égalité des masses des filets détachés dans D et R par un pinceau de normales à S est

/ '^{aZ -^ y., bZ -T- ^/L) drj d7. = 1 cp , ( cr Z -i- a, 6 Z -t- [î, Z ) rf<7 dZ,

équation qui, d'après la deuxième forme de du, est linéaire enR, S, J, RT— S2.

'2(S. Cas où le déblai et le remblai sont des masses de révolution autour du même axe. — Dans ce cas la densité p est la même en tous les points d'un parallèle du volume D, et pi la même en tous les points d'un parallèle de R. Tout plan mené par l'axe est un plan de symétrie

LE PHOBLÈMK GÉOMÉTRIQUE DES DÉBLAIS ET REMBLAIS. 3l

pour D el R. Aucune route ne pourra donc traverser ce plan d'après la loi de symétrie. On en conclut que les routes cherchées sont situées dans les plans menés par l'axe, c'est-à dire dans les plans méridiens [4, p. loo], car si l'une d'elles n'était pas située dans un plan méridien, elle traverserait au moins un plan méridien, ce qui est impossible. 11 ne reste plus qu'à trouver celles de ces roules qui sont dans un plan méridien déterminé II. Pour cela faisons tournei' le" plan n autour de l'axe, d'un angle infiniment petit f/6, de façon à l'amener sur H'; les routes situées dans le plan II serviront à transporter la portion du déblai comprise entre II et H' sur la portion de remblai comprise entre ces mêmes plans. Décomposons ces volumes en cylindres infiniment petits ayant pour base des éléments égaux o^o) du plan n et dont les génératrices sont perpendiculaires à ce plan. Les volumes de ces cylindres sont r dr,) d 9 et leurs masses p/dwdd ou p, t'i d()id9 suivant qu'ils sont dans le déblai ou dans le remblai, r étant la distance de l'élément du à l'axe.

Donc les routes situées dans le plan II formeront le système le plus avantageux pour transporter l'aire plane suivant laquelle II coupe le déblai sur l'aire plane suivant laquelle il coupe le remblai en supposant que la densité en chaque point de ces aires soit pr ou pi/*, c'està-dire la densité réelle au point multipliée par la distance du point à l'axe.

Aires de révolution autour d'un même axe. — Il est évident que le même résultat s'applique au cas limite où les deux volumes de révolution peuvent être assimilés à des aires de révolution autour du même axe.

29. Surface séparatrice. — Jusqu'ici nous avons considéré des routes complètes rencontrant les surfaces du déblai et du remblai en deux points. Mais il peut exister des routes tronquées partant d'un point A situé dans une des masses, le déblai par exemple, rencontrant en un point la surface du déblai tournée vers le remblai et en deux points la surface du remblai. Il peut même arriver que la route ne rencontre également le remblai qu'en un point. Le Heu des points A est une surface i, la sur/ace séparatfice. De chaque point P de cette surface D partent deux routes situées de part et d'autre de li, symétriques l'une de l'autre par i-apport au plan tangent à ^ en P.

32 PALI, APPKLL. — l,K PROBLÈME (iKOiM ETRIQUK DES DÉBLAIS ET REMBLAIS.