AIRES

16. Considérations générales. — 11 |)eut se faire que le déblai soit une aire située sur une surface S^ et le reml)lai une aire sur une surface S^; les coordonnées d'un point!) du déblai sont alors fonction de deux paramètres À et [j.\ celles d'un point du remblai de deux par;îmètres /| et \x^. Les densités superficielles p et pi sont fonctions de /, \i. ou Ài, fj.,. Si les deux surfaces ne sont pas dans un même plan, le meilleur système de routes DK sera normal à une surface S dont l'équation différentielle s'obtient en écrivant qu'un pinceau infiniment délié de normales, S découpe sur Sp et Sj. des éléments di et f/o-, de même masse.

On peut en effet reg.irder v\\\q aire comme un volume d'épaisse ui

infiniment petite

p (h = pi ,'/<7, .

17. Expression de la section d'un pinceau de normalespar un plan. — Les routes devant être normales à une surface, nous résoudrons d'abord des proljlème.s fondamentaux relatifs à des pinceaux infiniment déliés de normales. Soient fix^ y^ z) l'équation d'une surface, /?, q, ''t s, t les dérivées partielles premières et secondes de j par l'apport à X et )'. Les équations d'une normale étant

X = .r -t-yi Z — ; ), V=r-r-^(Z — ::i;

considérons un pinceau infiniment délié de ces normales; l'aire d'j de la section faite dans ce pinceau par un plan parallèle au plan XO^

de cote Z est

fo\ dX ,)\ .)\\ \ ôx ôv iJy ()x j

c'est-à-dlre

■±rf^= ] {rt - sn (Z - :.y-

— \ (i -i-p-)t — (i + q-^)r — 2pqs] { Z — z ) -\- i -h p- -h q- idx dy.

On voit, comme il est évidenl a priori^ que du est une fonction du second degré de Z qui s'annule aux deux centres de courbure principaux de la surface S, f{x^ y, z) = o, situés sur la normale au point j",j, ::.

En appelant Ç, et Ço les deux valeurs de / répondant à ces deux centres de courbure, on peut écrire

±f/7 = (,7 — s^mZ — ri)(Z — ;:,),

où le signe doit être clioisi de telle façon que de: soit positil. Ce signe doit changer lorscjue Z passe par une des racines t, ou Çoj mais cela n'arrivera pas dans les applications (pie nous ferons aux déblais et remblais.

Autre forme. — Soient

les équations d'une droite appartenant à un faisceau, a et h étant des fonctions des deux variables indépendantes a et [3. Cherchons l'aire da de la section faite dans un pinceau infiniment délié de ces droites, par un plan de cote Z. Nous aurons

+ ,/.= ('^ 'H. '^J^ '1.) ,/,,/. ^ ^„z.+ KZH-,J./a4^

avec

Les racines du trinôme sont les cotes des points réels ou imaginaires où la droite (a, (3) touche les arêtes de rebroussement des deux surfaces développables formées par les droites du faisceau. Si les droites considérées sont normales à une surface, on sait que si l'on pose

LE PROBLEME (iEOMETRIQl'E DES DEULMS ET REMBLAIS. n

P et Q sont les dérivées partielles dune certaine fonction t de y. et 3,

Les coordonnées ar, y, :; d'un point de la surface à laquelle les droites sont alors normales sobliennent, en fonction de a et [3, en

prenant

On a alors

Mais

D(r/, ^M D(r/, b) D( P, Q) RT - S^ ~ D(>, [j) ~ D(P, Q) D(a, ,'3 1 "" W^

comme on le voit facilement [i, p. c)C)], R, S, T désignant les dérivées

, d^n cnt <p-z j .

secondes -r-f? -; — i^y -rni' on a de même

(I — P2)T^n-Q2iR + .2PQS

d'où la nouvelle forme de do-

.. (HT — S2)Z2+ [(i - P2)T + ( I -Q2,H^2PQS]NZ+Ni , ,^ ± ch = '- ^ — ^^ ^-L dcc d^,

N désignant la quantité \/i — 1*-— ()-.

Le passage de l'une des formes de do à l'autre se fait par les formules

qui se ramènent à des formules de translormation données par Bonnet ( Comptes re/idifs, i856, t. ii2, p. 4'^'')- En effet, en faisant

on a

P=/^iV^— I, Q = </,v/— I, N = V '+/''t + '/i.

et les formules ci-dessus de\ iennent

x = Xi^piZi, y =)^-^ (J^Zl, r =— j, /— I V I -!-/>l 4- Ni-

elles sont alors celles (pie Bonnet a données.

18. Section par un plan quelconque. — Si l'on appelle h l'angle aigu d'un plan AX -}- B Y + CZ H- D avec le plan XOY on a, en désignant par r/o) la section du pinceau par ce plan

la normale étant prise sous la forme

La cpiantité cos 9 est égale à

Section par une surface courbe. — La normale autour de laquelle on ]:»rend le pinceau coupe la surface en un point M. La section du pinceau inlinimenl délié ])ar la surface s'obtient en remplaçant celle-ci par son plan tangent en M.

It). Application à des aires homogènes situées dans des plans parallèles. — Le plan XOY étant parallèle aux deux |)lans II et II, contenant les aires, nous appellerons p et p, les densités constantes, (h et r/c7| les aires correspondantes

p d:: = pi (hi-

D'après la première forme de du on a

±(h = ( /t — .v2) ( Z — r, ) ( Z — ^i), zh ^/cT] = (/•/ — i--j ( Zi — ^, )(Zi— Ço),

les signes devant être les mêmes car, entre r/cr et f/o-,, ne peut se trouver aucun des centres de courbure de la surface S à laquelle les loutes sont normales.

Cas où 0 = 0,. — On a alors

Comme Z, et Z, sont constants, on voit que le milieu des deux centres de courbure est dans un plan fixe IIq, parallèle aux deux plans donnés <t à égale distance de ces plans. La recherche de ces surtaces |a été

LK PROBLÈME GKOMKrUIQUE DES DÉlîLUS ET REMBLAIS.. ' 2j

ramenée par O. Bonnet à celle des surfaces minima clans deux Notes Sur les surfaces pour lesquelles la somme des deux rayons de courbure principaux est égale au double de la normale {Comptes rendus, i856, t. it2, p. i lo et 485), la longueur de la normale étant ici comptée jusqu'au plan !!„. On trouvera des exemples de déblais et de remblais de cette nature dans le ^lémoire n'^ i.

Cas où les densités sont différentes p^p|. — L'écpiation

G (Il = S 1 (J-îx

devient alors

p Z2— p, z| — ( r, -^ ?., ) ( oz — pi z, ) ^ r, r^f p — pi ) = o.

On peut choisir le i)lan \0\ de façon que

pZ — piZi = o; alors

Dans ce cas le produit Ç, ^o est une constante positive. Mais Bonnet a mo\MYÎt<yComptes rendus, i856. t. ii2, p. 487 ), que si Ç désigne la cote d'un centre de courbure d'une surface, et p le raj^on de courbure principal correspondant de la surface qu'il en déduit à l'aide de sa transformation {voir cet opuscule p. 21 ), on a

Si donc pi et p., sont les deux rajons de courbure [)rincipaux de la transformée, on a

pl = ^lV'— '• ?2=^2V'--'' pip2 = — ZZi,

ce qui montre que la surface transformée est à courbure constante négative [i|. Dans ce cas, ou peut donc ramener l'intégration à celle de l'équalion difTérentielle des surfaces à courbure totale constante.

:20. Cas où les aires sont de même den^iité et appartiennent à une même sphère. — On démcjntre facilement fi] que les routes sont alors normales à une surface possédant cette propriété que la projection du centre de la sphère sur la normale se trouve au milieu des deux centres de courbure principaux. I-^a détermination de ces surfaces a fait l'objet de nombreuses recherches.

2 1 . Cas OÙ le déblai et le remblai sont des aires homogènes situées dans des plans rectangulaires. — Les deux plans étant pris pour plans ZOX et ZOY, l'équation difFérentielle du second ordre de la surface S à laquelle les routes sont normales est

{rt — 52)

£^ Pi V' />3 q^

-, , ox Pi V

Cette équation se transforme en elle-même par la transformation de Bonnet {Comptes rendus, i<S56, t. i2, p. 485; cf. Dauboux, Surfaces, t. I, p. 254).

!2l2. Application du principe de symétrie. — Supposons que le déblai soit une aire D de densité variable p située dans un plan H, et le remblai une aire de forme quelconque matériellement symétrique par rapport au même plan H.

Le meilleur système de routes se compose alors des routes servant à déblayer l'aire D de densité - sur la partie de R située d'un côté de n et des routes syuiétriques.

23. Cas où les deux aires sont dans un même plan. — Supposons Sq et S| dans un même plan et pour nous placer dans le cas de Monge et de Dupin, supposons p et p, égaux et constants. On peut alors les prendre égaux à un; le prix de transport d'une parcelle sera mesuré par le produit de son aire par le chemin qu'on lui fait parcourir. Nous supposerons babituellement que le déblai et le remblai soient deux aires convexes et à contours simples. Gomuie nous l'avons indiqué (p. y et i8), nous appelons route entière ou complète, celle qui, dans sa partie utile, traverse complèlement le déblai et le remblai, é(|uisécante une droite traversant complètement les deux aires en les coupant en parties équivalentes d'un même côté de la droite; route tronquée une route qui, dans sa partie utile, s'arrête dans l'intérieur du déblai ou du remblai.

Monge commence par aflirmer qu'une équisécante quelconque A ne doit être traversée par aucune parcelle pendant son transport, d'où il résulterait qu'elle est une dos routes du nieilleur système; en effet,

M' PKOBLÉME GÉOMI-: I RIQUE DES DÉBLAIS ET KEMBLAIS. 25

<lit-il, si une parcelle, située au-dessus de A dans le déblai, passe audessous dans le remblai, il faudra que réciproquement une parcelle équivalente traverse A dans le sens opposé, ce qui ne peut se faire sans que les parties utiles des deux routes se coupent. 11 est bien facile de faire la (ioure de manière que les chemins suivis par les deux parcelles dont parle JVJonge ne se croisent pas. D'ailleurs, si la loi proposée était générale, elle impliquerait souvent contradiction; il peut se faire que deux équisécantes A et A' se coupent dans le déblai ; dans le rendjlai Tune d'elles, A, sera au-dessus de Taulre ; mais alors il y aura dans le déblai une infinité de parcelles situées audessus de A et au-dessous de A'; elles devraient encore être placées de cette manière dans le remblai, ce qui est évidemment absurde.

Pour voir exactement comment il faut choisir les routes, menons les tangentes communes extérieures DR, ES au déblai et au remblai; les points de contact partageront les contours de chacune des aires en deux parties; l'une extérieure, l'autre intérieure. Deux points M, P, infiniment voisins sur le bord extérieur du déblai suivront, en général, deux routes infiniment peu inclinées l'une sur l'autre; elles entraîneront avec elles tous les éléments situés sur les cordes MN, PQ suivant lesquelles elles traversent le remblai; toutes les parcelles de la bande MPNQ iront recouvrir: une bande équivalente M'N'P'Q'de remblai comprise entre les prolongements des droites MN et PQ; cette seconde bande est toujours limitée du côté du déblai par un ;irc M'P' appartenant au bord intérieur du remblai. Supposons que les roules .MN, PQ se coupent en un point C (le lecteur est prié de faire la figure) : on peut évaluer les aires MNPQ, M'N'P'Q' en les regardant comme des différences de secteurs circulaires, et l'on trouve aux infiniment petits du second ordre près

Ta" '— (3m ' =. CN ' ' — c>r''.

Soient £, X,, Xo, X',, X', les abscisses par rapport à un axe quelconque, des points C, M, N, M', N'; cette égalité nous donne

ou encore

Si la route AIN est entière, le point X' sera sur le bord extérieur du

remblai, et son abscisse X., sera déterminée, aussi l>ienque X, , X2 etX', ^ en fonction des deux paramètres, a et r, pour fixer les idées, qui déOnissent la position de la droite MN; £, al)scisse du point où celte

droite touche- son enveloppe, sera fonction de u^ v et de-r-; par

exemple, si MN est représentée par l'équation y = ux + t'^ "c. sera

égal à -j- ' L'équation ( 1) constituera une équation différentielle du

premier ordre entre ?^ et t^ ; la constante d'intégration se déterminera au moyen d'un système de valeurs simultanées de u et r; si la série des routes entières telles que MN s'étend jns([u'à une tangente commune extérieure, on exprimera que cette tangente satisfait à l'équation intégrale obtenue.

Si l'angle des routes MN, F*Q est a, le j)rix de transport de la bande MNPQ sera dans tous les cas

1 ( CN''— cÂr' — gn"' + cm' ) X.

Supposons maintenant que les routes MN, PQ soient tronquées; elles appartiendront à une série de routes desservant une région comprise entre deux routes entières, telles que FGF'G et HlvH'K , ou entre une route entière et les limite,s, d un certain côté, du déblai et du remblai. Quand la région est limitée par deux routes entières, on voit aisément que les points G', K' où ces routes sortent du déidai doivent coïncider; dans tous les cas, les parties du déblai et du remblai qui sont desservies par un système de routes tronquées sont équivalentes. D'abord, la considération de l'ensemlde des routes du meilleur système conduit à cette conclusion que toutes les routes entières doivent être équisécantes; la réciproque, affirmée par Monge, n'est pas vraie.

Si maintenant on considère toutes les écpiisécantes relatives au déblai et au remblai donnés, on trouve (qu'elles forment une série unique dont les termes extrêmes sont les tangentes communes extérieures. Leur enveloppe se détermine sans peine en s'aidant de l'équation (i)qui convient à toutes les équisécantes. Quand cette enveloppe ne pénètre ni dans le remblai ni dans le déblai, les routes doivent être tout entières et confondues avec les équisécantes; mais, même dans ce cas, les é((uisécantes ne donnent pas nécessairement les roules les meilleures; on en trouvera un exemple dans le n" i, quand,

LE PROBLEME GEOMETlllQLE DKS DEBLAIS ET REMBLAIS. 'l']

au conlraire, renveloppe pénètre dans le dél)lai, par exemple, pour en sortir après un rebroussemeut, il faut em|)loyer une série de routes tronquées comprises dans un angle qui a son sommet sur le bord extérieur du déblai; la position de ce sommet se déterminera en admettant qu'on saclie calculer le prix de transport d'une région <pii doit être déblayée à l'aide de routes tronquées; il y a alors nécessairement une infinité d'é([uisécantes qui ne sont pas des routes.

2i. Courbe séparatrice. — Comme les rôles du dél)lai et du remblai peuvent être intervertis, on peut toujours supposer qu'une route tronquée qui se termine dans l'une des aires se termine dans l'intérieur du déblai. Les extrémités de ces routes forment une coui'be que iJupin appelle séparatrice, et il énonce ce théorème : cl' un point de la courbe j)arlenl deux roules qui font des angles égaux avec elle. La démonstratio'i de Dupinest peu satisfaisante, et de Saint-Germain la discute en détail [3, p. SaJ ; mais le théorème est exact; on peut le démontrer en toute rigueur [4, p. ^S-Sgj ; on peut démontrer que la même propriété est vraie pour la surface séparatrice analogue (jui peut se présenter quand le déblai et le remblai sont des volumes. Les deux routes partant dun point P de la surface séparatrice sont alors |4-, p. 09] symétriques par rapport au plan tangent en P. \ oici comment de Saint-Germain forme 1 équation différentielle de la courbe séparatrice :

Soient y. et o les angles que la tangente au point x, y fait avec l'axe des x et avec chacune des routes qui en partent : l'équation de la route supérieure sera

Y — 1 — (X — .r I la n g ( y. -1- ç ; = o :

on en déduira, en fonction de x, y, y. et o, les abscisses X2, Xj , \;^ des points où la route coupe le déblai et le remblai, l'abscisse du point où commence sa partie utile étant x\ l'abscisse £ du point où la route touche soij enveloppe est donnée par l'équation

dy z — X / d'j. d'- \

■■ - ■ ' tan«^( a -r- 55 ) = o

<lx cus^) a -^ o ) V dx d.i

ou, comme -r- ^= tanea,

' dx ^ '

V/a (lz\ siii œ cos( a -t- '^) ' nx dx j cos a

Pour la deuxième on aura les nième> résultais, sauf le chanaement de 9 en — o, et l'on sera conduit à deux équations simultanées, du premier ordre par rapport à 9, du second par rapport à r; lélimin;'.tion de 9 donnera une équation du troisième ordi^e entre x et y pour représenter la courbe.

On voit que celte équation dépend uniquement de la ligne limite intérieure du déblai. Quand celle limite est une droite et que le rem.blai est limité par deux droites qui lui sont parallèles, l'équation s'intègre par des quadratures elliptiques [4, p. ~l\ et suiv.].

25. Problème de Monge. — Les deux aires étant équivalentes dans un même plan, Monge suppose donnés le déblai et le l)ord intérieur du remljlai et demande de déleruiiner le l)ord extérieur du remblai de manière que son aire étant équivalente à celle du remblai, le prix du transport soit minimum. Monge annonce que le bord cherché doit être orthogonal aux routes; la démonstration rigoureuse du théorème est donnée par de Sainl-Germain [3, p. 82 et suiv.].