Généralités sur la résistance de l'air

Lois admises pour le déplacement orthogonal. — On emploie généralement la formule R = KdSV^ pour calculer la résistance R au déplacement orthogonal d'une surface plane S dans un air de densité d avec une vitessse V.

La proportionnalité de la résistance au carré de la vitesse, indiquée par Newton, fut longtemps regardée comme rigoureusement vraie : on croyait, en effet, à la simplicité des lois naturelles , et Ton ne pouvait suspecter un résultat aussi peu compliqué . Cependant, la loi de Newton n'est qu'approchée ; elle est même tout à fait inexacte pour certaines vitesses, et se trouve, par exemple, en désaccord complet avec les résultats obtenus par les Commissions de tir. La loi véritable est beaucoup plus complexe, et si l'on cherche à exprimer les résistances mesurées par une fonction de la forme Y^f (V), on trouve que la fonction y = f{Y) n'est pas représentée par une droite parallèle à l'axe des vitesses, mais par une courbe analogue à celle de la figure 20, avec un maximum dans le voisinage de la vitesse de propagation des mouvements ondulatoires dans l'air, ce qui semble confirmer l'idée originale de Robins et Hutton d'après laquelle le point V = 340 m serait une sorte de point critique. L'examen de la courbe y = f(\) montre qu'on peut admettre la loi du carré de la vitesse en deçà de 100 m et au delà de 600 m, mais en choisissant pour K des valeurs différentes.

C'est Du chemin qui, le premier, introduisit le coefficient /*(V); mais ses calculs, basés sur des considérations d'élasticité, l'ont conduit à une expression du premier degré qui ne saurait repré-

et sartout rechercher un m(](yen pratique de réduire la résistance des nombreuses piècee qui surmontent le pont; il y aura heu peut-être de les rassembler dans un réduit fermé par une enveloppe lisse à forme très effilée.

Enfin, on a imaginé oour les vélocipèdes une proue légère, formée de deux ailes à 50* qui couvrent le cycliste ifig. 49), Si Ton considère que, d'une part, la résistance de roulement du vélocipède est faible; que, d'autre part, l'action de Tair sur un homme penché en avant, c'est-à-dire {)résentant une surface concave dont la partie inférieure, es cuisses, est sans cesse en mouvement, on conçoit que cette innovation puisse être avantageuse. Dans une série d'essais sur route avec léger vent debout, on trouva qu'un même vélocipédistc se laissant descendre sur une pente sans toucher les pédales avait une vitesse moyenne de 20,45 km à l'heure sans l'appareil et de 25,45 km avec l'ap-

FiG. 19

au moins dix fois plus forte que la résistance de roulement; dans'ces conditions, la différence entre les vitesses obtenues xwec ou sans coupe-vent deviendrait notablement plus grande.

pareil. Par un fort vent debout et avec les jB;randes vitesses qu'on peut obtenir sur une piste, la pression de l'air est

senter les résultats des expériences . On a récemment émis Thypothèse que f (V) était le coefficient qui exprime la variation de la densité produite par le passage du mobile. Cette hypothèse ne

FiG. 20.

veut pas dire grand'chose, puisque la masse d'air ne se comprime pas uniformément, que même elle se dilate, comme nous le verrons, sur la face antérieure du mobile ; en tous cas, cette explication n'apporte aucun renseignement sur la valeur de f (V).

La proportionnalité de R à S n'est pas même justifiée. Il est bien évident, en effet, que la loi de déviation des filets d'air, et par suite la valeur de la résistance, ne sont plus les mêmes pour les grandes et les petites surfaces. Hutton, et plus tard d'Aubuisson, Hervé-Mangon, etc., admirent la proportionnalité de R à S^'*- La forme même de la surface a son influence particulière, comme

cela résulte clairement d'expériences faites par M. Marey, de l'Institut. Le savant physiologiste exécuta sur un disque entraîné par un manège (jig, 24) des mesures analogues à celles qu'avait faites Dubuat pour évaluer avec le tube de Pitot la pression aux difië- P,g 21. ^^^^^ points de la carène des

navires. Marey plaçait devant un point quelconque du disque un tube qui communiquait par l'intérieur de Taxe du manège avec un manomètre différentiel de

Jiretz 4'uae Irëe gpaoiie s^adibilité. Quand Ib Uiim explorait la fà4^ wsiérieiifa du disque, le manomètre marquait aon^tammani zéro ; c'est qu'en efiFet d'une part la force cejitrifuge, en chassant l'air du tube, y produit une aspiration, et que d'autre part la même force, en comprimant l'air devant le disque, transmet cette compression à l'intérieur du tube : or l'aspiration et la compression, dues à la même cause, se compensent exactement. Par contre, si l'on plaçait le tube à l'arrière du disque, il s'y produisait une double aspiration due à la raréfaction que la rotatioa amène sur la face postérieure, et à l'aspiration produite par la force cejQtrifuge dans le tube lui-mêmB. Or, nous avons vu que cette aspiration est égale à la pression sur la face antérieure ; par mUSf Ib tube manométrique indiquait la somme des valeurs absohjifis de la pression sur la face antérieure et de l'aspiration sur k bce postérieure, c'est-à-dire la pression réellement supportée par le diisqu^ au point exploré. Marey constata par ce procédé que la pression a une valeur sensiblement constante en tous les points du disque, sauf vers les bords, où l'on trouve une sorte de perte marginale qui est évidepament plus sensible pour les plans de petite étendue; à égalité de surface, cette perte a sa valeur minimum pour le cercle.

Ainsi la loi R = KdSV^ n'est pas exacte, et l'introduction d'un coefficient /"(V), l'élévation de S à la puissance 1, 1, ne rendent qu'imparfaitement compte des résultats d'expériences. C'est qu'en réalité le phénomène est très complexe et qu'il ne suffit pas, pour l'exprimer par une loi même approchée, de s'en tenir à des abstractions mathématiques, comme faisait Poncelet (1) par exemple quand il admettait qu'une surface S, en efiFectuant dans l'air un parcours e à la vitesse V, imprimait cette vitesse aux molécules d'air du cylindre Se, ce qui donne :

d'où

11 est vrai que l'illustre géomètre se proposait seulement, comme le prouve le titre même de son ouvrage, de donner une formule qui suffît aux besoins ordinaires de la Mécanique industrielle.

(1) PoDOOlet. — întroêudum à la Mécanique imdmUieiU.

Ctmditiom physiques. — Il faut donc, pour entrevoir les lois vraies du phénomène, se préoccuper des conditions physiques dans lesquelles il s'efiFectue.

Dans sa Théorie mécanique de la chaleur, Athanase Dupré a développé quelques considérations qui éclairent ce côté de la question. En cherchant une erreur dans un travail de Coriolis sur le rendement des moulins à vent, l'éminent professeur fut conduit à admettre qu'une surface plane frappée par un courant reçoit une pression moindre au repos que lorsqu'elle se déplace dans son propre plan.

A première vue ce résultat semble étrange, et, de fait, quelque formule qu'on applique, R conserve la même valeur quand la surface se meut dans son plan, puisque d, S et V ne changent pas. Il n'en est plus de même si l'on cherche à se rendre compte du mode d'écoulement de l'air sur la surface. Supposons en efifet un disque AB au repos {fig. 22), et considérons deux molécules

oucant

FiG. 22.

voisines destinées à passer l'une à droite, l'autre à gauche du disque ; elles doivent forcément se séparer en un point G. Il y a donc une masse d'air emprisonnée à l'avant entre les filets tels que GA, GB ; cette masse, dans laquelle il se fait certainement des remous, transmet sa compression à la face antérieure. Les molécules écartées viennent se rejoindre à l'arrière en un point D, mais leur passage plus ou moins rapide i)roduit une succion, un appel d'air, d'où une aspiration sur la face postérieure qui augmente la pression supportée par le disque.

Gelui-ci vient-il à se déplacer dans son propre plan ? Par suite de ce mouvement de tiroir, la masse gazeuse emprisonnée à l'avant s'échappe, déterminant un appel direct et, par suite, une

succion plus forte que précédemment ; l'aspiration sur la face postérieure augmente donc, et il en est de même de la pression sur la face antérieure, qui reçoit le choc direct des molécules, puisqu'il n'y a plus de matelas d'air interposé. Pour ces deux raisons, le déplacement transversal augmente la pression.

Valeurs de Kd. — De ce qui précède résulte clairement que la résistance dépend de la forme de la surface, et même, pour une surface donnée, du rapport entre cette surface et la vitesse. C'est ce qui avait conduit M. Goupil à imaginer la formule :

R = KdSVy/V^ + S.

Il est à prévoir que la formule exacte est beaucoup plus compliquée. On s'explique donc qu'en adoptant la loi R = KdSV^, les difiFérents expérimentateurs aient obtenu pour Kd les valeurs les plus diverses, comme le montrent les lignes suivantes, où l'on a pris d = 1,293:

Poncelet (formule théorique) 0,067

Piobert et Morin 0,084

Goupil. 0,130

Marey .... 0,130

Commandant Renard 0,085

Langley . . 0,08475

Cailletet et CoUardeau 0,071

Dans l'enseignement de Chalais on admit d'abord Kd= ^ = 0,125 ;

mais, à la suite de quelques travaux faits par le commandant Renard, on prit Kd = 0,086, valeur qui concorde bien avec les expériences de Piobert et de Morin, ainsi qu'avec les mesures très habiles exécutées en Amérique par M. Langley. Marey ne tint pas compte des pertes marginales et supposa que la pression aux différents points du disque était la même que la pression mesurée au centre ; il n'est donc pas étonnant qu'il ait obtenu un coefficient plus fort que ceux des autres expérimentateurs. Quanta MM. Cailletet et CoUardeau, ils font remarquer que les coefTicients obtenus avant eux résultent d'expériences dans lesquelles la surface est entraînée par un manège ; l'air étant chassé par la force centrifuge, le fluide que traverse la surface est à chaque instant animé d'un mouvement transversal par rapport à celle-ci ; or les théories de Dupré, vérifiées par l'expérience, montrent que la résistance est plus grande que si l'air était au repos. MM. Cailletet et

Gollardeau ayant opéré en ligne droite, en s'inâtallant sur la tour Eiffel, estiment que leur coefficient doit être seul appliqué au dépUcement orthogonal.

Réaction de Vair sur un plan qui fait un angle a avec sa trajectoire. — La confusion est encore bien plus grande quand le plan, au lieu de se mouvoir orthogonalement, fait un angle a avec sa trajectoire. On admet généralement que la réaction N de l'air est normale au plan et égale à 1-a résistance au déplacement orthogonal R multipliée par le carré du sinus de l'angle d'obliquité. Quelques expérimentateurs, Borda et Penaud en particulier, ont peusé queN était proportionnel au nombre des molécules qui frappent la surface, soit à sin a. Mais les résultats d'expériences sont en désaccord aussi bien avec la formule du sinus simple qu'avec celle du sinus carré. Duchemin et Bossut ont employé la suivante :

1 4" sin^ a

qui cadre mieux avec les mesures expérimeatales. KnfîA, la discussion approfondie des travaux de Vince, Hutton et Thibaut conduisit le commandant Renard à prendre

N = R[a sin a — (a -^ 1) sin^ a] ,

a étant un coefficient plus grand que J, et probablement égala 2.

Le choix entre la formule du sinus carré d'une part, et les autres formules d'autre part, a une importaxice capitale en Aviation, ainsi que je vais l'indiquer en quelques mots.

En 1830, Narier, admettant que la sustentation de l'oiseau est produite par les battements orthogonaux des ailes, évalua k i ch ie travail de 13 hirondelles. Sïi en était ainsi, nous aurions depuis longtemps remplacé par des volatiles les chevaux de nos fiacres, au grand contentement des gens pressés. Les calculs de Navier sont donc la condamnation de la théorie dite orthogonale qui, cependant, conserve encore quelques adeptes, malgré les autres objections qu'on peut lui opposer (1).

(1) En parUculier, cette théorie ne rend pas compte de la nécessité qu'éprouvent tous les oiseaux à acquérir, par le saut ou la course, une vitesse sans laquelle il leur est impossible de voler. Cest sur ce fait bien connu q«e sont basées la capture du condor dans rÂmérique du Sud et la chasse à l'outarde en Kussie : pour la première, on met un appât dans Mie enceinte formée par une sorte de haie ; pour la aecôude, on pourrait l'oiseau par les temps de verglas. Dans nos campagnes, on emprisonne souvent des geais dan^ une cage sans couvercle, composée parfois dfune douzaine de piquets pUntés en terre.

De ^u&i, {d'apès la théorie orthogonale, Toiseau n^éprouveiw aucune difiiculté & v<4jer à recmons, et il serait étrange, s'il en était ainsi, qu'on n*eùt jamais observé ce genre de vol.

Dans ses belles expériences sur le vol des oiseaux, Penaud, et après lui M. Drzewiecki, le commandant Renard, etc., ont été amenés à considérer les ailes comme des surfaces traînées dans Tair sous un angle a très petit; les battements n'ont pour but que d'entretenir la vitesse horizontale, grâce surtout à La pointe de l'aile qui constitue un excellent propulseur ; celui-ci agit à la fagon de la corde des cerfs- volants et produit la sustentation par la réaction du courant d'air relatif sur le dessous des ailes. Or, quand on applique le calcul au vol ainsi considéré, on trouve que la loi du sinus carré donne pour le travail une expression indépendante de l'angle a qui est précisément celle de Navier. Le résultat ne laisse iwis d'être compromettant pour cette loi, puisqu'elle ne tend à rien moins qu'à empêcher les oiseaux de voler.

Avec les trois autres lois, on trouve au contraire que le travail de sustentation est- fonction de l'angle et tend vers zéro en même temps que lui. Il faut bien qu*il en soit ainsi pour que certains oiseaux traversent les mers sans se reposer ; il n'est pas douteux que le travail musculaire, qui peut être momentanément très considérable, à l'essor par exemple, est excessivement faible en cours de route.

Ce qui précède infirme la loi du sinus carré, mais ne confirme nullement aucune des autres lois. Il est même certain que ces lois rie représentent pas fidèlement la réalité et que le facteur en a dépend aussi de la forme de la surface; ainsi, pour un ruban allongé dans le sens des ailes. d'un oiseau (fifi. 25J, ce facteur se rapproche

FiG. i3

du sinus simple; il est à peu près égal au sinus carré pour un ruban longitudinal (1). Aucune des formules données ne rend compte de ces particularités

(1) Commandant Renard.— Communication à la Société française de physique, janvier in9.

TenUUive pour séparer la pression à C avant et C aspiration à F arrière. — Le premier, Athanase Dupré a tenté de rechercher quelle part revient à la compression sur la face avant et à Taspiration sur la face arrière dans la pression totale supportée par un plan. Voici à peu près le raisonnement qu'il fit :

Supposons une masse d'air à la pression po dans laquelle se

^ déplace orthogonalement une surface S avec '*' 'la vitesse V. Dupré considérait qu'à partir du moment où le régime d'écoulement est établi, il y avait équilibre entre le gaz acb emprisonné sur la face antérieure (fig. 24 ), qui prenait par conséquent la vitesse V, et la partie de l'air demeurée immobile. Or Navier a établi que deux molécules d'une même masse gazeuse ont des vitesses u^ et u^, qui s'expriment en fonction de leurs pressions respectives p, et pj par la formule

Fig. 24

ti2 Uî =

Pi

gl'g^lognépg,

en supposant toutefois que la résistance du plan ne modifie pas la température de la masse fluide. Les hypothèses de Dupré et de Navier combinées donnent pour la pression p' du gaz sur la face antérieure

P = Po^

bV«

avec

Par suite la pression sur la face antérieure, qui est poS au repos, devient

Pour voir l'efiFet de cette pression à l'avant, supposons que tout reste à l'état en l'arrière, c'est-à-dire que l'air y garde partout la pression po. L'avant subit une pression PoSc**^*; l'arrière, une pression moindre poS : il y a donc du côté de la face antérieure une compression poS(e^^* — 1) qui résiste à l'avancement*

On verrait de même que la face arrière supporte une pression poS6"*^\ En supposant encore, pour voir l'efifet de cette pression, que tout reste en l'état à Tavant, il en résulte, puisque

« -*^< 1, qu'il y a du côté arrière une aspiration jE?oS(i —e-^"^) qui concourt à augmenter la résistance à l'avancement. La résistance totale est donc :

Compreision à l'avant. Aspiration à rarrière.

D'après cela, la résistance ab' (fig, 25) due à l'aspiration serait inférieure à la résistance a6 due à la e^ compression, mais en différerait peu aux faibles valeurs de 5V*, qui intéressent précisément la f----

direction des bal- - — ^^^

Ions en son état ac- '

tuel. Aux très gran- Fig. 25

des vitesses, au contraire, l'aspiration serait négligeable devant la compression. Malheureusement cette théorie prête beaucoup à la critique. Il est bien évident que la pression de l'air ne peut passer brusquement de la valeur po à la valeur p en franchissant la ligne acb : elle varie au contraire graduellement d'une molécule à l'autre, de sorte qu'il faudrait avoir des données moins sommaires sur la constitution moléculaire des fluides pour édifier la théorie mathématique des phénomènes considérés. De plus, la déduction d'après laquelle l'aspiration à l'arrière serait toujours plus petite que la compression à l'avant est en désaccord avec les idées d'esprits éminents, comme d'Alembert et peut-être comme Athanase Dupré lui-même, qui n'avait pas vu cette conséquence de son raisonnement.

On voit du reste combien les hypothèses précédentes sont incomplètes, dès qu'on veut appliquer le même procédé d'analyse au cas d'une surface faisant l'angle a avec la direction du mouvement. Le commandant Vallier, membre correspondant de l'Académie des sciences, s'est contenté de remplacer dans la formule de Dupré la vitesse V par la composante V sin a normale au plan. Cette manière de procéder n'est nullement justifiée ; si môme on suit le raisonnement de Dupré, on trouve que les molécules em-

S^3^j£^i-JA

prisonnées devant le plan oblique, et par suite entraînées avec la vitesse V, exercent à l'avant une pression jo^Se^^* normale au plan : il s'ensuit que la résistance à l'avancement serait p^Se''^* sin a. De même la résistance à l'arrière serait po8e~^^'* sin a ; de sorte que la résistance au déplacement oblique égalerait la résistance au déplacement orthogonal multipliée par sin a : c'est la loi du sinus simple donnée par Borda.

En résumé, on est peu fixé sur la loi du déplacement orthogonal, mais cependant on peut admettre la formule R = KdSV* pour les vitesses qui intéressent TAéronautique. Quant à loi du déplacement oblique, on l'ignore complètement ; il convient donc de considérer les dififérentes lois énoncées comme de simples formules empiriques.