Lof/irjue, I. II

dont la dernière résulte nécessairement des deux premières. Or que l'on ait A =^ C, parce que l'on a déjà A = B et B = C. la nécessité n'en éclate vraiment aux yeux qu'en vertu de la définition du signe =. L'idée exprimée par ce signe doit être telle que dès que deux choses A. C, sont égales à une troisième, B, elles sont par cela même égales entre elles. La définition de l'égalité satisfera à cette exigence dans chaque cas particulier oi^i elle sera posée, si bien que, comme on l'a fait remarquer ', énoncée de la façon la plus abstraite, cette définition est fournie par la condition même que A = B et C = B entraînent A = C, jointe à cette autre que si A = B, B = A. Dès lors le véritable raisonnement qui se cache sous une suite de propositions A = B, B := C, A = C, n'est-il pas celui-ci :

Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles;

A et C sont deux quantités égales à une troisième (B) ;

A et C sont égaux entre eux.

Et le syllogisme cette fois ne prend il pas une forme tout à fait semblable à celle qu'eût exigée Gournot lui-même?

En tout cas, tel que le voilà énoncé,.il rentre manifestement dans le type de ceux que nous avons rencontrés tout à l'heure, dans l'analyse de la proposition Vd'Euclide : il ne constituera pas une exception lorsqu'il se présentera dans les autres démonstrations.

Jusqu'ici nous sommes restés, dans cette discussion, sur le terrain même de nos adversaires. Il faut prendre maintenant la question de plus baut. Il est clair qu'à certains points de vue on trouvera sans peine des différences entre les notions maniées dans

1. Poincaré, />er. de Métaplii/s. et de Morale, janvier 1897.

LE RAISONNEMENT GÉOMÉTKlnLE ET LE SYLLOGISME II.)

tels et tels ordres d'idées, et nous pensons bien nousmème, nous le dirons dans la suite, que le syllogisme géométrique se fera remarquer par des caractères intéressants. Mais enfin est-il ou non permis de parler de syllogismes à propos des raisonnements de la géométrie? Voilà le point essentiel. A la rigueur, la réponse qu'on fera à une pareille question dépendra de l'idée que chacun se fait du syllogisme. Mais pourtant ne peut-on indiquer quelque caractère fondamental auquel il se reconnaisse? Nous avons dit incidemment qu'il est avant tout une suite de propositions telles que, les deux premières élant posées, la troisième en résulte nécessairement, et, depuis Aristote, personne n'a contesté cette définition. Le syllogisme nest-il pas en outre es.sentiellement le raisonnement déductif, c'est-à-dire le procédé par lequel l'esprit rattache une affirmation à une autre plus générale qui la comprend? Au fond même, n'estce pas pour retrouver ce caractère du syllogisme qu'on sent le besoin d'y voir des attributs, — éléments de quelque compréhension qui les renferme, — et des espèces, parties de genres qui les contiennent, de façon à saisir clairement la marche déductive de la pensée? Or chacun des raisonnements élémentaires dont se compose une démonstration géométrique présente certainement ce caractère. Soit, par exemple, celui-ci :

Une droite peut être prolongée indéfiniment;

AB est une droite finie;

AB peut être prolongée indéfiniment.

Le sujet de la majeure c'est toute droite finie qu'il pourra nous arriver de rencontrer à propos d'un problème quelconque, dans une construction quelconque; c'est toute droite qu'il nous plaira de tracer ou d'envisager à un moment quelconque. Le sujet de la mineure et, par conséquent, celui de la conclusion, c'est plus particulièrement un des côtés du triangle

isocèle à propos duquel on veut démontrer que les angles à la base sont égaux. Et ce raisonnement a pour fonction essentielle de rattacher à un fait général la propriété particulière affirmée de ce côté AB. Ne reconnaissons-nous pas là le caractère propre do la /| déduction?

Ainsi pour nous les raisonnements géométriques sont bien composés de syllogismes. Et d'ailleui's n'était-ce donc pas déjà l'opinion d'Aristote, dont la manière de voir a son importance dans une question de ce genre V

D'une part, dans les Derniers Analytiques (I, 2), voulant monljer en quoi diffèrent le syllogisme et la démonstration, Aristote explique que celle-ci n'est autre chose que le syllogisme dont les prémisses sont certaines. Or par démonstration il faut entendre la démonstration scientifique, et surtout la démonstration géométrique : la géométrie n'était-elle pas, aux yeux des Grecs, l'I-iTToar, par excellence? — D'autre part, quelques chapitres plus loin, Aristote déclare que c'est le syllogisme de la première figure qui est le plus scientifique. « C'est par celui là, dit-il, que les sciences mathématiques donnent leurs démonstrations, l'arithmétique, la géométrie, l'optique, et on peut dire toutes les sciences qui étudient le pourquoi des choses. » Ainsi, contrairement à une opinion exprimée quelquefois', en affirmant que la démonstration géométrique procède par syllogismes, nous n'avons pas Aristote contre nous : nous nous accordons même avec lui jusque dans cette remarque relative à la figure ordinaire du syllogisme géométrique; car les raisonnements élémentaires tels que nous les avons présentés sont de la première figure.

d. Notamment par Cournol, op. cit.

LE raiso.n.neml;nt géométrique et le syllogisme 117

Et maintenant il est aisé de faire sentir les caractères propres du syllogisme géométrique. Le meilleur moyen pour cela, c'est de montrer qu'il échappe, le plus qu'il est possible, aux critiques de l'Ecole anglaise. On sait en quoi consistent ces critiques. Soit le syllogisme :

Tous les hommes sont mortels;

Socrate est homme;

Socrate est morlel.

Ce raisonnement est un cercle vicieux, car je ne peux affirmer la première proposition que si je suis convaincu de la vérité de la dernière. Socrate non mortel serait en elTet une exception suffisante pour infirmer la certitude de la majeure. — Et aussi, dit en substance Stuart Mill, c'est une étrange fantaisie que de donner h la majeure une généralité absolue en même temps qu'inutile. L'alfirmation que tous les hommes sont mortels est pour nous une façon de tenir compte de ce que Jean, Pierre, Jacques, etc., ont été mortels. De tous ies cas particuliers dont nous avons pu former un registre, nous avons tiré une proposition qui, par son extension, dépasse le registre, puis nous sommes descendus de la proposition générale à un cas particulier. N'est-il pas plus simple et plus sincère de conclure directement des cas particuliers connus à celui dont il sera maintenant question? N'est-ce pas en tout cas la seule manière de faire disparaître le cercle vicieux?

Quelle que soit en elle-même la valeur d'une théorie qui nous demande de conclure du particulier au particulier, n'est-il pas clair qu'elle devient au moins inutile dés qu'il s'agit du syllogisme géométrique, pour la raison bien simple qu'il n'est plus facile d'y voir un cercle vicieux?

Reprenons, pour nous faire comprendre, l'exemple