I- 1 uu y... eût peu à peu conduit au nombre

Mais Kant ne se borne pas à sa première remarque. Il déclare que l'intuition intervient dans la démonstration. Qu'entend-il par là? Serait-ce simplement qu'elle soutient la pensée en plaçant sous les unités abstraites de l'arithmétique des choses concrètes, telles que doigts, cailloux, points...? Serait-ce que l'intuition contribuerait seulement à faciliter le mouvement de la pensée ? Cette interprétation serait assez naturelle étant donné que, pour mieux convaincre son lecteur, Kant cite l'exemple de nombres plus grands; et il est clair que l'aide apportée par l'intuition dans le raisonnement arithmétique, tel que nous venons de le présenter, est d'autant plus appréciable que les nombres dont il s'agit sont plus grands. Mais si l'intuition, aux yeux de Kant, ne jouait que ce rôle auxiliaire, l'importance de ce rôle dépendrait de la puissance d'abstraction du mathématicien, et pourrait devenir nulle en certains cas , au moins quand il s'agirait de nombres assez simples. Kant a certainement en vue une intervention plus effective de l'intuition. « On est obligé, dit-il, d'appeler à son aide l'intuition, ses cinq doigts, par exemple..., et ainsi, on ajoute une à une les unités des cinq choses données dans l'intuition au concept des sept autres. » Ainsi il n'y a pas de puissance d'abstraction qui tienne : la pensée ne pourrait yas effectuer l'addition de cinq unités aux sept autres, sans un substratum intuitif. Mais qu'est-ce qui fait donc la difficulté? N'est-il pas possible de dire : 7 et 1 font 8, 8 et 1 font 9, etc.? Kant nous eût sans doute répondu que la pensée, livrée à ses propres ressources, ne saura pas saisir l'instant où les unités ajoutées successivement seront au nombre de cinq. Un arithméticien d'aujourd'hui n'aurait pourtant pas de peine à expliquer qu'il sait se former une suite de signes 1, 2, 3, -4..., qu'il est capable de répéter de mémoire. A mesure qu'il formera les nombres 7-1-1 ou 8,

LE RAISONXEMF.NÏ fi ÉO.MÉTRIO LE ET LE SYLLOGISME 123

8 -4- 1 ou 9, il lui suffira de nommer successivement chacun de ces signes à partir du premier jusqu'à 5, pour parvenir sûrement à la somme 7 + 5. Mais Kant eût alors demandé de quel droit ces signes répondent aux nombres, comment chacun d'eux représente une collection contenant une unité de plus que le précédent, et pourquoi enfin le résultat auquel conduit cette façon de procéder est bien véritablement la somme de 7 et de 5. Il faudrait bien avouer cette fois qu'on n'a échappé à l'intuition qu'en formant des définitions destinées à reproduire le contenu des postulats fondamentaux qu'elle nous révélait. Enfin l'idée de Kant apparaît avec d'autant plus de clarté que nous essayions d'en contester la légitimité : l'intuition est nécessaire au raisonnement par lequel se trouve établie l'égalité 7 + 5 = 12, tout simplement parce qu'elle nous a fourni le postulat sur lequel se fonde l'addition arithmétique. S'il fallait insister pour montrer que nous tenons bien là la vraie pensée de Kant, nous citerions le deuxième exemple qu'il donne de proposition synthétique : « La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre », ce qui pour lui était manifestement un postulat premier; et enfin nous nous reporterions à cette opinion formulée dans les Prolégomènes que la nature synthétique des jugements mathématiques ne s'oppose pas à la possibilité d'une démonstration analytique, mais suppose seulement des propositions synthétiques dont elle peut découler '.

Et maintenant que nous comprenons bien pourquoi les démonstrations géométriques ne sont pas, aux yeux de Kant, réductibles à l'analyse, il nous est permis de nous demander si nous trouvons dans ses idées une réponse suffisante à la question que nous avons soulevée. Faut-il dire que si, sous sa forme