Prolér/omenes, avant-propOï'', p. 27 (trad. nouvelle

syllogistique, le raisonnement géométrique marche et progresse, c'est à cause des postulats que fournit l'intuition?

L'exemple arithmétique de Kant, qu'on a souvent une tendance à lui reprocher, était merveilleusement choisi au contraire, tel que nous l'avons interprété, pour rendre cette conclusion vraisemblable. Mais n'était-il pas justement trop bien choisi? Si on suppose que l'on n'ait pas pris soin d'inscrire, au début de l'arithmétique, comme on le fait d'ordinaire au commencement de la géométrie, les postulais fondamentaux relatifs aux nombres, on les rencontrera nécessairement à propos des problèmes les plus simples; et, soit qu'on les énonce franchement, soit qu'on les dissimule derrière des définitions habilement construites, il faudra bien compter avec eux et leur attribuer une bonne part du succès de la démonstration. Mais c'est là la part qu'il faut faire aux données irréductibles dont personne ne songe à contester la nécessité. Qu'on les énonce d'abord sous la forme qu'on voudra; qu'on les appelle, comme Euclide, notions communes, ou demandes, ou définitions, soit! mais si, après avoir dressé une liste plus ou moins longue, mais relativement restreinte en tout cas, de vérités premières, on énonce et on démontre, toujours comme Euclide, des propositions qui ne figuraient pas dans cette liste; si on construit un édifice gigantesque qui peut bien être considéré comme admettant cette base, mais qui la dépasse manifestement d'une hauteur prodigieuse, — la vraie question est d'expliquer comment cela est possible. Et on n'y a pas répondu parce qu'on a rappelé que l'intuition donne la base de l'édifice.

La nécessité du recours à l'intuition ne fournirait une réponse valable que si cette nécessité se poursuivait au cours de toutes les démonstrations, et s'il était vrai que pour chacune d'elles quelques nouveaux

LE RAISONNEMENT GÉOMÉTRIQUE ET LE SYLLOGISME 12:i

appels à cette intuition en justifient seuls la légitimité. Mais vraiment peut-on dire qu'il en soit ainsi? Que les géomètres ne parviennent pas aisément à dresser la liste de tous les postulats qu'ils utilisent; que parfois telle démonstration, où l'un n'a d'abord rien vu qui ne dépendit de propositions explicitement énoncées, recèle quelque emprunt inconscient à l'intuition, cela est possible. Mais les mathématiciens se sont habitués à montrer à cet égard une telle exigence, et ont certainement acquis à ce point de vue un flair si affiné, que tout le monde admettra comme très restreint le nombre des cas possibles où un traité de géométrie ou d'analyse utiliserait, sans le dire, quelque postulat non expressément indiqué. Pour la géométrie en particulier, on peut déjà sans crainte appliquer cette remarque aux Éléments d'Euclide. Mais quand on n'oserait pas aller aussi loin, qui voudrait contester que dans l'ensemble des démonstrations d'Euclide, il en est quelques-unes qui ne font à l'intuition aucun emprunt nouveau? Or si, pour un seul raisonnement géométrique, la conclusion ne figure pas dans l'ensemble de toutes les propositions antérieurement admises ou démontrées, et si cependant le géomètre y parvient sans s'appuyer sur autre chose que sur cet ensemble de propositions, sans nouveau recours à lintuilion, il faut bien avouer que celle-ci n'explique pas comment se réalise le progrès de la pensée.

Ainsi donc ce n'est pas de ce cùlé qu'il faut chercher.

Dans un intéressant article ayant pour titre ce Sur la nature du raisonnement mathématique », M. Poincaré donnait, il y a quelque temps *, une solution originale à la question que nous nous sommes posée. La clé du my.stère est, à ses yeux, dans un mode de