I>E RATIONNEL

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sons en langage moderne) : — est égal â ^ si, quels

que soient deux nombres entiers m et p, arbitrairement choisis,

ma > pb entraine inc > pd,

ma < pb entraîne me < j)c/,

ma = i)b entraîne me = prf.

La définition est trop générale, en ce sens que si ces conditions sont remplies pour certaines séries de valeurs )n, p, elles le sont pour toutes, comme c'est facile à montrer '. Supposons donc, pour simplifier, que nous choisissions pour m les valeurs 10, 100, 1000, etc., et que à une valeur m quelconque nous tassions correspondre la plus grande valeur p

telle que a reste supérieur à — b. Soient p,,/^,,p.j,...

les valeurs de p qui correspondront ainsi à 10, 100, 4000,... pris pour m. a sera supérieur aux nombres

^ b ^ 0, T^v ^,-.- et sera inférieur au contraire 10 ' 400 4000

aux nom.bres

iii±Ai p-^-±lb a+lé

10 ^" 400 ' 4000 '•■■ On peut encore dire que le rapport y- est compris entre les deux suites de nombres :

El Jh Jh^ 40' 400' 4000' ••■

40 ' 400 ' 4000 La djfiiiition de régalito :

\. Cf. Diiliame],/>e5 métltodes dcins les sciences de raisonnement science des noinbres, cliap. vu.

l'KNSKE l'IlU: ET INTllTIOV 179

signifie alors que le rapport -. sera resserré lui

aussi entre /t's deux mêmes suites.

Mais en présentant les choses de la sorte, et pour nous faire mieux: comprendre, nous accentuons le caractère objectif des idées. La notion de la valeur déterminée du rapport qui serait comprise entre deux suites de valeurs ne se trouve pas, à proprement parler, dans la définition d'Euclide. Ce qui reste seulement c'est la répartition de tous les couples de deux nombres entiers que l'on peut former en deux catégories, l'une comprenant des couples tels que (/>,, 10), (po, 100),... l'autre comprenant des couples tels que (p, -h 1, 10 , [p, -h 1, 100).... L'idée de détermination qui seule permet de comprendre que dun côté du signe = se trouve quelque chose qui se retrouve le même de laulre, est transportée, plus encore que nous le montrions, de la valeur objective d'un état de grandeur, à certain mouvement de la pensée. N'ya t-il pas de quoi nous édifier dans cette préoccupation du géomètre grec de faire appel, — pour éclairer le donné, pour rendre intelligible ce qui est posé statiquement, pour ainsi dire, dans l'intuition, — au pouvoir dynamique de l'esprit'? Voilà bien le trait caractéristique de la façon de procéder de nos mathématiciens d'aujourd liui : et il faut avouer alors qu'ils témoignent ainsi d'une tendance aussi vieille, et sans doute aussi durable quj la mathématique elle-même.