Livre I, prop. XI

et d'cUiise aux sections correspondantes. Au fond, c'est la di>1inclion des trois courbes faite d'après l'équation Y- — Ip.r ^ qj:\ où q est nul, positif ou né;^atif.

II. Limite et nombre incommensurable. — Dans le travail d'épuration auquel se sont livrés les géomètres modernes, chassant le plus possible tout postulat intuitif de l'analyse, un des points qui ont le plus frappé est certainement la méthode nouvelle par laquelle se traitent les questions de limite, et, en particulier, la définition des incommensurables. Pour faire comprendre cela aux lecteurs les moins préparés, il suffira de citer un exemple, la définition de 1/2". L'arithmétique apprend à trouver deux nombres entiers consécutils, deux nombres consécutifs de dixièmes, deux nombres consécutifs de centièmes, etc. , dont les carrés comprennent 2. Ainsi 2 est compris

entre le carré de 1 et le carré de 2,

entre le carré de 1,4 et le carré de 1,5.

entre le carré de 1,41 et le carré de 1,42, etc.

De là la formation de deux suites de nombres :

tels que les carrés des premiers restent inférieurs à 2, les carrés des seconds restent supérieurs à % et tels aussi que la différence entre un nombre de la première suite et le nombre correspondant de l'autre tombe au-dessous de toute valeur, car elle est successivement 1, — 0,1, — 0,01,... Les nombres de ces deux suitessont ce qu'on appelle les valeurs approchées de 1/2, par défaut ou par excè?, à une unité près, à 0,1 près, à 0,01 près, etc. Mais qu'est-ce donc que la racine carrée de 2 elle-même? Il n'existe, on le sait, aucun nombre entier ou fractionnaire dont le carré soit 2. Il n'y a donc pas de racine exacte? Le géomètre n'hésite pas cependant à employer le symbole l/2 et

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à lui donner une signification. Comment procède-t-il pour cela *?

Il n'y a pas longtemps encore, quelle que t'ùt la façon de présenter les choses dans ce cas, ou dans des cas analogues, on s'appuyait au fond sur une image intuitive. Soient sur une droite, portées dans le même sens à partir d'un point fixe 0, des longueurs OA,, OA^, ... 0A„ mesurées par les nombres de la première suite, et des longueurs 0B„ OB,, ... 0B„, mesurées par les nombres de la deuxième :

Les points Aj A.^, ...An s'éloignent de 0 dans le sens de la flèche (1); les points B,, B,, ... B„ vont au contraire dans la direction de la tlèche "il ; la distance A^ Bq tombe d'ailleurs au-dessous de toute

valeur assignable. On voit alors manifestement les deux séries de points tendre vers un point limite qui sépare sur la droite les A et les B.

Aujourd'hui, sous la variété des procédés spéciaux à l'aide desquels on définit 1% se trouve cette idée qu'il nest pas nécessaire de placer sous ce symbole quelque substrat plus ou moins saisissable en lui-même, quelque état d'une grandeur. Il suffit d'y faire correspondre une opération de l'esprit qui consiste purement et simplement à former les deux séries de nombres. Plus généralement, sans s'astreindre à la loi particulière qui nous a permis

1. Le lecteur est prie de faire abslraclion de ce que v^2 correspond à la diagonale d'un carré dont le côté est l'unité : il n'aurait plus celle ressource si au lieu de v'^ it s'agissait, par

exemple, de {/■>.

d'écrire dans un certain ordre les valeurs approchées de \/ï, on fait correspondre ce symbole à un mode de répartition des nombres en deux catégories, ceux, dont le carré est inférieur à 2 et ceux dont le carré est supérieur à 2; sauf, bien entendu, à étendre à des symboles ainsi définis le sens des opérations fondamentales ordinaires. La méthode du géomètre consiste ainsi au fond à se rapprocher de ce qu'il peut comprendre, de ce qui est son domaine propre, celui de la quantité pure, et à substituer à un état objectif des choses un processus subjectif de l'esprit. Eh bien, en dépit des difîérences que nous trouvons nécessairement à cet égard quand nous passons des géomètres modernes aux géomètres grecs, ceux-ci manifestaient déjà clairement, sur ces questions mêmes de limite, le besoin instinctif de présenter les choses comme les mathématiciens d'aujourd'hui, c'est-à-dire de tenir compte, dans leurs démonstrations, bien moins de la chose déterminée qui est la limite, que du mouvement de l'esprit qui la cherche.

Deux exemples éclairciront notre pensée.

A. — Euclide démontre, au livre XII, que deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres, et voici, en substance, quelle est sa démonstration. — Soient 0 et 0' deux cercles, D et

D' leurs diamètres. Supposons que le rapport -y-rj-

soit égal non pas a --,, mais a ;^ , 1 étant une aire

différente de 0', — je dis qu'on sera conduit à une absurdité. Si, par exemple, s est inférieur à 0', je pourrai inscrire dans le cercle 0' un polygone régulier P' d'un assez grand nombre de côtés pour que la différence entre l'aire de ce polygone et celle du cercle 0' tombe au-dessous de la différence entrer et 0'; dès lors l'aire P' surpassera x. Or si, en même temps, nous considérons le polygone régulier P,

PENSÉE PUin: ET INTLITIOX i77

semblable à P', inscrit dans le cercle 0, nous aurons

yt; =^ -Tjr-,. et, d'après notre hypothèse,

., () ï oeniin __ =:^ p-,

égalité absurde, car P est inférieur à 0, tandis que P' est supérieur à ï.

Le point fondamental de cette démonstration est en -omme qu'on peut inscrire dans un cercle un polyi^one d'un assez grand nombre de côtés pour que la ditlerence entre l'aire de ce polygone et celle du cercle tombe au-dessous de toute valeur assignable. Or comment Euclide le prouve-t-ilV Sa méthode revient à considérer, en même temps que le polygone inscrit, le polygone circonscrit formé par les tangentes menées aux sommets du premier. Visant non pas la différence entre le cercle lui-même et le polygone inscrit, mais la différence entre ces deux polygones, c'est d'elle qu'il prouve qu'elle devient aussi petite qu'on veut. L'aire du cercle n'intervient que comme quelque chose de compris toujours entre deux séries de grandeurs et servant à les séparer, plus grand que les polygones inscrits, plus petit que les polygones circonscrits, — L'exemple serait plus saisissant s'il s'agissait de la circonférence du cercle plutôt que de son aire, parce que celle-ci se pose comme quelque chose de déterminé dans l'intuition. Mais ce qu'il y a d'essentiel dans la manière de raisonner d'Euclide subsiste même si l'on écarte cette intuition, et si l'on y substitue la considération des deux suites de polygones.

13. — Un rapport, pour Euclide, c'est une manière d'être de deux grandeurs de même espèce, l'une à l'égard de l'autre, relativement à la quantité. Et l'égalité des deux rapports se définit ainsi (nous tradui-