Cours de phil. positive , leçon XXXIII

Qui ne sent que c'est bien là une conséquence de la doctrine elle-même, et non point une vue qui se justifie par l'état des sciences au temps d'Auguste Comte? Supposez qu'il eût écrit son livre deux cents ans plus tôt, si les tendances mathématiques de son esprit l'eussent empêché d'atteindre à l'étroitesse de vue d'un Bacon, il eût du moins déclaré impossibles ou purement fictives et vaines, quantité de notions qu'il présente comme ayant tout naturellement droit de cité dans la science positive : en mathématiques, les nombres négatifs et surtout les nombres imaginaires, — puis tout algorithme maniant à quelque degré la chimère de l'infmi. En astronomie, il eût énergiquement sans doute refusé au savant, comme il le fait pour les phénomènes de lumière, le droit d'étudier les mouvements des astres autrement que par la géométrie. Avec quelle vivacité surtout en eiit-il exclu cette incompréhensible chose qu'on nomme une force ! et ainsi de suite.

Et de fait, comment les iJées d'abord envisagées en elles-mème.s sorties pour ainsi dire de fintelligence toute pure du théoricien, finissent cependant tôt ou tard, — si fréquemment au moins, — par se prêter à quelque progrès elTeclif de la science, c'est ce que la doctrine positiviste de la connaissance scientifique aurait quelque peine à expliquer. C'est l'aveu de cette difficulté qui se trouve au fond dans les déclarations d'impuissance ou d'inutilité de loute conception qui, par elle-même, semble dépourvue de conditions suffisantes de positivité. En présence de la loi qui subordonne le progrès de la connaissance au pur désintéressement de la spéculation théorique, la seule attitude logique permise à toute philosophie positiviste est celle-ci : Plus nombreuses seront les conceptions formulées et essayées, plus nombreuses aussi seront les chances que quelqu'une remplisse les conditions de positivité nécessairement requises

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pour une application féconde. Mais n'est-ce pas faire une trop grande part au hasard? N'est-ce pas laisser subsister comme un mystère, qui seul expliquerait comment si fréquemment les rencontres heureuses avec les conditions du monde réel sont réservées aux conceptions nées de la spéculation théorique?

Peut-être aussi finirons-nous, — pour expliquer le lien qui rattache la pensée pure au réel, — par ne plus nous croire nécessairement condamnés à l'une ou à l'autre de ces deux solutions :

Ou bien revêtir la pensée d'un caractère tel que, par essence, consciemment ou non, elle ne puisse se dégager des conditions d'objectivité des phénomènes;

Ou bien accepter que seule puisse être elTicace et scientifique une idée qui, par ses conditions particulières objectives ou subjectives, se trouve être véritablement une vue sur le réel.

Ces deux solutions n'ont-elles pas le toit de supposer un lien trop directement nécessaire entre les créations de la pensée et le réel?

D'une part pouvons-nous contester la multiplicité des voies par lesquelles l'intelligence atteint tel ou tel groupe de faits? Et ce ne sont pas seulement les sciences physiques qui nous fournissent de nombreux exemples d'explications diverses pour une même catégorie de phénomènes : les mathématiques elles aussi, dans leurs ramifications multiples, nous donnent fréquemment cette surprise d'aboutir à quelque point fondamental par des chemins infiniment variés.

D'autre part, comment nier que la science lire le plus grand profit de notions fictives, invérifiables, échappant, par leur nature, aux conditions de détermination ordinaire des choses, dépourvues, semblet-il, le plus qu'il est possible, de tout caractère de

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positivité, comme, par exemple, l'élher et les atomes, en physique, — comme, en mathématique, chaque symbole nouveau introduit par généralisation précisément dans les cas où, en vertu des conditions premières, il cessait de rien représenter. Et ce ne sont pas seulement les notions fictives qui peuvent réussir, ce sont parfois des vues manifestement absurdes; essayez, par exemple, de supposer les longueurs composées d'un nombre fini de points, les surtaces d'un nombre déterminé de lignes, vous n'aurez pas de peine à démontrer certains théorèmes connus, et dont l'intérêt heureusement ne dépend pas de cette conception, — si manifestement contradictoire avec fensemble de nos vues géométriques ordinaires.

De ces deux caractères de la science, de se prêter à la multiplicité des théories, et d'utiliser des notions manifestement étrangères aux conditions des choses, — on ne rendra raison que si l'on devient moins exigeant pour la nature du lien qui resserre la spéculation pure et la réalité; si l'on ne demande plus que la première pénètre directement la seconde; si l'on se contente enfin de poser entre elles un simple parallélisme. Pour que les conceptions de l'esprit s'utilisent ne suffît-il pas qu'une interprétation soit trouvée, un mode de correspondance entre elles et les phénomènes réels? pour cela enfin, si elles doivent satisfaire encore à un minimum de conditions objectives, du moins on comprend qu'elles devront surtout s'accorder avec celles dont l'ensemble forme déjà un langage adopté, qu'elles devront s'assimiler à cet ensemble; et ce résultat s'obtiendra peut-être tout naturellement, si la pensée spéculant sur la langue théorique qu'il possède déjà en recule les limites avec continuité. L'interprétation se substituant à Li pénétration directe, il n'y a plus de difficulté à admettre la multiphcité des théories. Il n\

en a pas non plus à comprendre le rôle efficace des fictions les plus chimériques à l'égard de la réalité objective : ne suflit-il pas qu'elles contribuent à perfectionner une langue? et, pour cela, est il nécessaire qu'elles soient en rapport direct avec autre chose que l'ensemble des symboles, dont dles doivent être un prolongement? L'imaginaire l/-l n'a pas besoin d un substratum elTectif pour être utile, il suffit que ce signe facilite les transformations algébriques et perfectionne l'instrument que manie la pensée, en le rendant plus souple et plus malléable.

Et alors l'esprit peut se donner libre carrière, son activité peut s'exercer sans limite : nous ne serons plus aussi surpris de voir aboutir ses spéculations à l'interprétation des faits naturels, donc à leur prévision, donc à leur transformation; et nous comprendrons mieux enfin la possibilité de cette loi du progrès scientifique, qui le fait dépendre moins des solhcitations extérieures que de la facilité avec laquelle la pensée sait s'en écarter pour s'abandonner aux séductions de la théorie pure.

Euclide commence par énoncer, sous forme de définitions, de demandes et de notions communes, un certain nombre d'affirmations qu'il pose purement et simplement. Chacune des propositions dont la suite forme une démonstration quelconque s'appuie sur ces vérités premières, — à moins que ce ne soit sur une conclusion qu*elles ont déjà servi à établir. — A propos de chacune des idées successives présentées par le géomètre dans un raisonnement, demandez : pourquoi cela est-il ainsi? et la réponse à voire question, tantôt explicitement fournie par Euclide, tantôt sous-entendue, sera toujours : Cela est ainsi en vertu de telle définition, de telle demande, de telle notion commune, — ou enfin de telle proposition déjà démonfrée.

Prenons pour exemple la proposition Vdui'^'livre, et tenons-nous-en à peu près au texte d'Euclide, en rétablissant les raisons sous-entendues des affirmations successives. La traduction Peyrard peut nous aider d'ailleurs, car les numéros des propositions auxquelles le lecteur doit se reporter sont indiqués entre parenthèses. *

Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux ».

4. Je supprime, pour simplifier, le reste de l'énoucé, ce qui amené dans la suite des changements insiguiliants.

Soit le triangle isocèle ABr ayant le côté AB égal au côté Ar. Je dis que l'angle ABr est égal à l'angle AlB. ^

Menons les droites BA, TE, dans les directions de- AB, AT. — Nous le pouvons en vertu de la demande^: Prolonger indéfiniment suivant sa direction une droite finie.

Soit Z un point de BA ; de la droite AE plus grande que AZ retranchons une droite AH égale à AZ. — Cela est possible en vertu de la proposition III : Deux droites inégales étant données, retranclier de la plus grande une droite égale à la plus petite.

Joignons Zr, HB. — Demande 1 : Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

AZ et AB sont respectivement égales à AH et AT, mais elles comprennent un angle commun ZAH ; donc la base /X est égale à la base HB, le triangle AZT est égal au triangle AHB, et les angles restants soustendus par les côtés égaux sont égaux chacun à chacun : l'angle AFZ à l'angle ABH, et l'angle AZF à l'angle AHR. Tout cela en vertu de la proposition IV : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux cotés, chacun à chacun, et si lus angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restants, sous-tendus par les côtés égaux^ seront égaux chacun à chacun.

Puisque la droite entière AZ est égale à la droite entière AH, et que AB est égal à AV, la restante BZ sera égale à la restante TH. — 3« notion commune : Si de grandeurs égales on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.

Mais on a démontré que Zr est égal à HB; les deux droites BZ, Zr sont égales à FH, HB, chacune à chacune; l'angle BZr esr égal à l'angle FHB, et BF est leur base commune. Donc — [nous nous retrouvons dans les conditions de la propositionlV déjà énoncée]

G. MiLHAUD. — Le llalionnel. 7

— le triangle BZF est éjs^al au triangle THB, et les angles restants, sous-tendus par les côtés égaux, sont égaux chacun à chacun : BFZ est égal à l'angle rBH.

Mais l'angle entier ABH, on l'a dénrïontré, est égal à l'angle entier AFZ, et l'angle TBH est égal à l'angle BrZ; donc l'angle restant ABF est égal à l'angle restant AFB. [3^ notion coniniune; déjà énoncée.] C. O. F, D.

Si nous portons notre attention sur chacun des pas successifs de ce raisonnement, nous n'avons pas de peine à y trouver cette formule type : Ces éléments sont dans telles conditions, donc on peut affirmer d'eux telle chose. Pourquoi ? — Parce qu'on sait déjà que cette chose peut s'affirmer des éléments qui se trouvent dans ces conditions. En énonçant ce qui est manifestement sous entendu, nous pouvons alors présenter chacun des raisonnements élémentaires sous forme syllogistique. Exemples :

Une droite finie peut être prolongée suivant sa direction;

AB, AT sont des droites finies;

AB, AF peuvent être prolongées suivant leur direction.

Deux triangles qui ont un angle égal formé par deux côtés respectivement égaux ont tous leurs éléments égaux chacun à chacun ;

Les triangles AZF, AliB ont un angle égal formé par des côtés respectivement égaux;

Les triangles AZF, AHB ont tous leurs éléments égaux chacun à chacun.

Avons-nous là de vrais syllogismes? — Les logiciens qui ne reconnaissent pas le syllogisme dans les raisonnements géométriques (Gournot et M. Lachelier, par ex.) présentent à l'appui de leur opinion les arguments que voici. D'une part on ne voit pas dans ces raisonnements de véritables attributs affirmés d'un sujet; il est seulement question, à propos de

chaque élément, de le comparer quantitativement à quelque autre. D'autre part on ne pourrait y trouver trace d'aucune répartition en genres et espèces. Ces deux remarques suffisent à empêcher d'interpréter le raisonnement géométrique soit en compréhension, soit en extension, comme on le fait pour le syllogisme ordinaire, et d'y voir, comme pour celui-ci, énoncé d'une façon ou d'une autre, que si A est en B, et B en C, A est en G.

Gertes il est souvent question d'égalité dans les raisonnements de la géométrie; mais l'analyse de la proposition V montre, à elle seule, que ce n'est pas là le seul rapport exprimé par les jugements successifs. La construction, la xaxacrxEOTi tout particulièrement, manie d'autres idées. Quand j'énonce cette ^propriété générale d'une droite quelconque de pourvoir être prolongée indéfiniment, c'est bien un attribut, au véritable sens du mot, une qualité parmi tant d'autres : une droite finie est divisible en deux parties égales; une droite finie contient autant de points qu'on en veut, etc. Pourquoi ne dirait-on pas que la possibilité d'être indéfiniment prolongée entre dans la compréhension de la droite finie?

Mais même s'il s'agit de la démonstration proprement dite, de Vkr.ôZuli;, et s'il y est question d'égalité, ne peut-on plus par cela même parler d'attribut et de compréhension? — Si je dis : Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés égaux sont égaux, j'énonce une propriété, un attribut, de cette chose qui est un couple de deux triangles particuliers. Désignons par T un couple de deux triangles ayant un angle égal et les côtés qui le forment respectivement égaux; T possède cet attribut que les deux parties qui le composent sont formées d'éléments tous égaux chacun à chacun.

Pas de genre, ni d'espèce en géométrie, dit-on. Il ne faut pas croire, par exemple, que pour calculer

la somme des angles d'un pentagone, on puisse raisonnablement appliquera un cas particulier une proposition générale établie pour un polygone quelconque ». Cette proposition générale au contraire s'obtient elle-même en considérant d'abord le triangle, puis le quadrilatère, et ainsi de suite, en ajoutant chaque t'ois un cùté de plus dans une construction progressive. — Ne pourrait-on cependant citer une foule d'exemples où l'on aurait manifestement le droit d'énoncer, à propos d'une variété d'un genre, ce qu'on a pu établir d'une manière générale pour le genre? Toute section plane d'un cône du second ordre rencontre en deux points une droite située dans son plan (cela résulte de ce qu'un pareil cône est coupé en deux points par une droite) : une ellipse, une hyperbole, une parabole sont donc rencontrées en deux points par une droite. Ces courbes ne sont- * elles pas des espèces du genre « section conique »? Chacune d'elles d'ailleurs présente des variétés. Ainsi l'ellipse admet le cercle comme variété. — Veut-on un exemple plus élémentaire? On peut démontrer sur un parallélogramme que les diagonales se coupent en leur milieu : la proposition s'appliquera au rectangle, au carré, au losange, sans qu'on puisse dire qu'il y ait là simple retour d'une marche progressive à chacun des éléments parcourus.

Aussi bien, dans un autre sens, et sans nous écarter des exemples que nous avions sous les yeux, dès qu'un jugement donne un attribut à un sujet, dès qu'il peut s'interpréter en compréhension, ne peut-il en même temps s'interpréter en extension? — Si B est attribut de A, A fait partie des choses qui sont B. Nous avons dit qu'il y a quelque exagération à refuser de voir un attribut désigné dans une proposition comme celle-ci : Une droite finie peut se prolonger