Livre I, prop. XI

LE RATIONNKL

et d'ellijisc aux sections correspondantes. Au fond, c'est Ja distinction des trois courbes faite d'après i'équation V- -^ 2px -{- qj:\ où q est nul, positif ou né;»atif.

II. Limite et nombre incommensurable. — Dans le travail d'épuration auquel se sont livrés les géomètres modernes, chassant le plus possible tout postulat intuitif de l'analyse, un des points qui ont le plus frappé est certainement la méthode nouvelle par laquelle se traitent les questions de limite, et, en particulier, la définition des incommensurables. Pour faire comprendre cela aux lecteurs les moins préparés, il suffira de citer un exemple, la définition de \/¥. L'arithmétique apprend à trouver deux nombres entiers consécutits, deux nombres consécutifs de

dixièmes,deux nombres consécutifsde centièmes, etc., dont les carrés comprennent t>. Ainsi 2 est compris

entre le carré de 1 et le carré de 2,

entre le carré de 1,4 et le carré de 1,5.

entre le carré de 1,41 et le carré de 1,42, etc.

De là la formation de deux suites de nombres :

tels que les carrés des premiers restent inférieurs à 2, les carrés des seconds restent supérieurs à 2, et tels aussi que la ditlérence entre un nombre de la première suite et le nombre correspondant de l'autre tombe au-dessous de toute valeur, car elle est successivement 1, — 0,1,— 0,01, ... Les nombres de ces deux suites sont ce qu'on appelle les valeurs approchées de l^^2, par défaut ou par excès, à une unité près, à 0,1 près, à 0,01 près, etc. Mais qu'est-ce donc que la racine carrée de 2 elle-même? Il n'existe, on le sait, aucun nombre entier ou fractionnaire dont le carré soit 2. Il n'y a donc pas de racine exacte? Le géomètre n'hésite pas cependant à employer le symbole »/2 et

PENSEE PUIIE KT INTLITIOX

à lui donner une signification. Gomment procède-t-il pour cela *?

Il n'y a pas longtemps encore, quelle que fût la façon de présenter les choses dans ce cas, ou dans des cas analogues, on s'appuyait au fond sur une image intuitive. Soient sur une droite, portées dans le même sens à partir d'un point fixe 0, des longueurs OAp OA,, ... 0A„ mesurées par les nombres de la première suite, et des longueurs 0B„ 0B„ ... OBu, mesurées par les nombres de la deuxième :

Les points A, A^, ... A„ s'éloignent de 0 dans le sens de la flèche (1); les points B„ B,, ... B„ vont au contraire dans la direction de la flèche (2); la distance An B„ tombe d'ailleurs au-dessous de ioute

fi)

Aj A^ Aj, Djy B, Bj

valeur assignable. On voit alors manifestement les deux séries de points tendre vers un point limite qui sépare sur la droite les A et les B. '

Aujourd'hui, sous la variété des procédés spéciaux à l'aide desquels on définit l 2, se trouve cette idée qu'il n'est pas nécessaire de placer sous ce symbole quelque substrat plus ou moins saisissable en lui-même, quelque état d'une grapdeur. Il suffit d'y faire correspondre une opération de l'esprit qui consiste purement et simplement à former les deux séries de nombres. Plus généralement, sans s'astreindre à la loi particulière qui nous a permis

1. Le lecteur est prié de faire abstraction de ce que \/2 correspond à la diagonale d'un carre dont le côté est l'unité : il n'aurait plus cette ressource si au lieu de ^2 il s'agissait, par

exemple, de \/T.

d écrire dans un certain ordre les valeurs approchées de 4/4, on fait correspondre ce symbole à un mode de répartition des nombres en deux catégories, ceux dont le carré est inférieur à 2 et ceux dont le carré est supérieur à 2; sauf, bien entendu, à étendre à des symboles ainsi définis le sens des opérations fondamentales ordinaires. La méthode du géomètre consiste ainsi au fond à se rapprocher de ce qu'il peut comprendre, de ce qui est son domaine propre, celui de la quantité pure, et à substituer à un état objectif des choses un processus subjectif de l'esprit. Eh bien en dépit des différences que nous trouvons nécessai' rement à cet égard quand nous passons des géomètres modernes aux géomètres grecs, ceux-ci manifestaient deja clairement, sur ces questions mêmes de limite e besoin instinctif de présenter les choses comme les mathématiciens d'aujourd'hui, c'est-à-dire de tenir compte, dans leurs démonstrations, bien moins de la chose déterminée qui est la limite, que du mouvement de Tesprit qui la cherche.

Deux exemples éclairciront notre pensée.

A. — Euclide démontre, au livre XII, que deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres, et voici, en substance, quelle est sa démonstration. - Soient 0 et 0' deux cercles, D et

D' leurs diamètres. Supposons que le rapport-^

soit égal non pas à g, mais à ^, I ^tant une aire

différente de 0', - je dis qu'on'' sera conduit à une ansurdite. Si, par exemple, s est inférieur à 0' je pourrai inscrire dans le cercle 0' un polygone régulier P d un assez grand nombre de cùlés pour nue la ddrerence entre l'aire de ce polygone et celle du * /^î^ ?^ ?^^^ au-dessous de la différence entre i: et 0 ; des lors l'aire P' surpassera -:. Or si, en même temps, nous considérons le polygone régulier P

PENSÉE PURE ET INTUITION 177

semblable à P', inscrit dans le cercle 0, nous aurons

p7 = ijTi. et, d'après notre hypothèse,

oenlin

égalité absurde, car P est inférieur à 0, tandis que P' est supérieur à s.

Le point fondamental de cette démonstration est en somme qu'on peut inscrire dans un cercle un polygone d'un assez grand nombre de côtés pour que la différence entre Taire de ce polygone et celle du cercle tombe au-dessous de toute valeur assignable. Or comment Euclide le prouve-t-il? Sa méthode revient à considérer, en même temps que le polygone inscrit, le polygone circonscrit formé par les tangentes menées aux sommets du premier. Visant non pas la différence entre le cercle lui-même et le polygone inscrit, mais la différence entre ces deux polygones, c'est d'elle qu'il prouve qu'elle devient aussi petite qu'on veut. L'aire du cercle n'intervient que comme quelque chose de compris toujours entre deux séries de grandeurs et servant à les séparer, plus grand que les polygones inscrits, plus petit que les polygones circonscrits. — L'exemple serait plus saisissant s'il s'agissait de la circonférence du cercle plutôt que de son aire, parce que celle-ci se pose comme quelque chose de déterminé dans l'intuition. Mais ce qu'il y a d'essentiel dans la manière de raisonner d'Euclide subsiste même si l'on écarte cette intuition, et si l'on y substitue la considération des deux suites de polygones.

B. — Un rapport, pour Euclide, c'est une manière d'être de deux grandeurs de même espèce, l'une à l'égard de l'autre, relativement à la quantité. Et l'égalité des deux rapports se définit ainsi (nous tradui-

sons en langage moderne) : ^ est égal à ~ si, quels

que soient deux nombres entiers m et p, arbitrairement choisie,

ma > pb entraîne me > pd,

ma ' pb entraîne me ^ pd\

ma = pb entraîne me : J pd!

La définition est trop générale, en ce sens que si ces conditions sont remplies pour certaines séries de valeurs m, p, elles le sont pour toutes, comme c est facile à montrer ». Supposons donc, pour simplifier, que nous choisissions pour m les valeurs 10, 100, 1000, etc., et que à une valeur m quelconque nous fassions correspondre la plus grande valeur p

telle que rt reste supérieur à ^6. Soient ;)„/.,,p^,...

les valeurs de p qui correspondront ainsi à 10, 100 1000,... pris pour m. a sera supérieur aux nombres

Pi j p.2 . p, j

10 ^' 100 ^' lÔÏM '••• ^^ ^^^^ inférieur au contraire aux nombres

10 "" 100 "' 1000 On peut encore dire que le rapport | est compris entre les deux suites de nombres :

Pi±l p,-h1 p,-f- 1 10 ' 100 ' "ÎCKJÔ''--- La di^riiiition de légalité :

PENSEE PUUE ET INTUmON

signifie alors que le rapport -. sera resserré lui

aussi entre les deux mêmes suites.

Mais en présentant les choses de la sorte, et pour nous faire mieux comprendre, nous accentuons le caractère objectif des idées. La notion de la valeur déterminée du rapport qui serait comprise entre deux suites de valeurs ne se trouve pas, à proprement parler, dans la définition d'Euclide. Ce qui reste seulement c'est la répartition de tous les couples de deux nombres entiers que Ion peut former en deux catégories, l'une comprenant des couples tels que (/>,, 10), (p^, 100),... l'autre comprenant des couples tels que (p, -4- 1, 10), (;), -hl, 100).... L'idée de détermination qui seule permet de comprendre que d'un côté du signe == se trouve quelque chose qui se retrouve le même de l'autre, est transportée, plus encore que nous le montrions, de la valeur objective d'un état de grandeur, à certain mouvement de la pensée. N'y a t-il pas de quoi nous édifier dans cette préoccupation du géomètre grec de faire appel, — pour éclairer le donné, pour rendre intelligible ce qui est posé statiquement, pour ainsi dire, dans l'intuition, — au pouvoir dynamique de l'esprit? Voilà bien le trait caractéristique de la façon de procéder de nos mathématiciens d'aujourd'hui : et il faut avouer alors qu'ils témoignent ainsi d'une tendance aussi vieille, et sans doute aussi durable que la mathématique elle-même.