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LE HATIONNEL

I. — Notre premier exemple sera relatif à la théorie des coniques. Aujourd'hui, pour les délinir, on écrit le polynôme général du second degré en .r et »/ et on légale à zéro. Lorsqu'on est amené ensuite ù montrer dans les lignes que représente une telle équalion précisément ces courbes si connues, elhpse, hyperbole, parabole, antérieurement étudiées en géométrie élémentaire, à Taide de leurs propriétés focales, ou comme sections planes d'un cône, quel est l'étudiant, si peu méditatif qu'il soit, que cette constatation ne remplit pas de quelque élonnement? N'est-ce pas justement une de ces circonstances où l'on croit le plus vivement sentir la distance qui nous sépare de la pensée géométrique telle que l'ont maniée les anciens? Et pourtant, en retrouvant, à l'aide d'une relation du second degré entremet »/, entre l'abscisse et l'ordonnée, des courbes que l'on connaissait déjà comme sections d'un cône, nous retombons, après un détour, sur le procédé même qui servit à l'origine à les définir et à les étudier. Le géomètre grec, dans sa théorie des coniques, n'allait pas du problème concret au problème abstrait, de la ligne tracée sur un cône par un plan sécant aux relations quantitatives auxquelles elle peut donner naissance, et dont elle est l'occasion, — mais au contraire il allait de l'abstrait au concret, de la quantité à la qualité, de certaines relations, étudiées déjà pour elles-mêmes, à un problème concret qui en fournissait une application naturelle.

Un passage du commentaire de Proclus sur Euclide nous permet, sur le témoignage d'Eudème ici invoqué, de faire remonter l'origine de la théorie aux Pythagoriciens eux-mêmes qui auraient déjà traité le fameux problème de la parabole des aires. Un cas particulièrement simple faii aisément comprendre en quoi consistait essentiellement ce problème. Soit une longueur AB et une aire S, on demande ou bien de

PENSÉE PUBE ET INTUITION

construire une longueur AC telle que le rectangle de côtés AB, AC ait une aire égale à S; ou bien de construira AC tel que le rectangle de côtés AB AC augmenté du carré de AC, BDEF, ait une aire égale à S; ou bien enfin de construire AC tel que le rectangle de côtés AB, AC, diminué du carré de AC, ait une aire égale à S.

Le premier problème est celui de la parabole simple, Je second, celui « de la parabole en hyperbole d'un carré », le troisième est le problème de « la parabole en rUipse d'un carré ». Dans notre langage moderne nous dirions simplement qu'on se propose de trouver une longueur x satisfaisant à l'une des trois équa-

tions S = ax, S = ax -+• x ^ S == ax — a- »; et il suffit de s'exprimer de la sorte, ne changeant rien d'ailleurs à la signitication elle-même du problème, pour faire sentir à quel point on est bien ici sur le domaine propre de la quantité. Au fond il ne s'agit de rien moins que de la construction des racines dune équation du second degré '.

La fameuse question de la « section d'or » — ce que nous appelons « division d'une droite en moyenne et extrême raison », — est un cas particulier de ce problème. Si en efTet AB est une droite donnée, on se propose de trouver x tel que AB x (AB — x) = x\

1. Cf. Paul Tan nery,/>(? la solution fiéométrique des problèmes fin second degré avant Euclide [Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. IV).

OU encore tel que AB x x -h x* = XBK II s'agit donc de faire sur AB la parabole de l'aire du carré de AB, en hyperbole d'un carré. — Ce n'est pas ainsi que, dans le livre II, Euclide énonce cette question. Au livre VI seulement se trouvent présentés le langage et les solutions du problème de la parabole des aires, — solutions généralisées d'ailleurs en ce sens que le rectangle de nos exemples simples est remplacé par un parallélogramme, et que le carré en excès ou en défaut est remplacé par un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné. Voici d'ailleurs les énoncés d'Euclide : Prop. XXVIII. — A une droite donnée appliquer

(Trapà r/jv ôoOeîtxv eùOsIav ... -rrapot^aXciv) un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée et qui soit défaillant (IXXsTttov s-oei) d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

Prop. XXIX. — A une droite donnée appliquer un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée et qui soit excédent (uTrepGaXXov sloc-.) d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

Pour traduire ces énoncés en langage moderne, il suffit de généraliser. les relations simples du premier cas, et d'y substituer celle-ci :S = ax -+- Kx\ les trois cas K = o, K > 0, K -: o, correspondant à la parabole simple, à la parabole en hyperbole, à la parabole en ellipse.

Voilà donc jusqu'ici étudiées par le géomètre grec des relations purement quantitatives; car, pour ne pas trouver en eux un algorithme spécial semblable au nôtre, et pour ne voir que des carrés, des rectangles, ou des aires de parallélogrammes, là où nous substituons les termes «.r, Kx\ nous n'en saisissons pas moins ce qu'il y a au fond de la pensée des Grecs. Les distinctions parabole, ellipse, hyperbole ne répondent nullement à des courbes de telle ou telle forme,

PENSÉE PURE ET INTUITION

ild

mais uniquement à des constructions quantitatives se présentant dans telles et telles conditions.

Quel rapport va donc exister entre ces constructions théoriques et la section plane d'un cùne? — Ce n'est même pas dans Euclide, à la suite des questions abstraites pures, que nous pourrions trouver l'application au problème concret. Il nous faut ouvrir le livre d'Apollonius pour comprendre le rapport de celui-ci à celles-là.

Soit, dit Apollonius ', un cône de sommet A, dont la base soit le cercle Br, le plan du triangle ABr contenant Taxe; coupons le cône par «n plan dont la trace i5ur le plan ABr soit 7AI, parallèle à AF, et qui coupe le plan de base suivant la droite AE, perpendiculaire au diamètre ZH. Soit enfin une longueur 7» qui soit à ZA comme le carré construit sur Br est au rectangle de côtés AB, Ar. — K étant un point quelconque de la section, et KA perpendiculaire à ZH, — ZA, l'abscisse du point K, est justement la longueur à construire dans la parabole de l'aire KA- faite sur la droite ZH. — De là le nom de parabole donné à la section plane.

Lorsque ZH n'est plus parallèle à AV (prop. XII et XIII), Apollonius trouve que ZA est toujours la longueur à construire dans la parabole de l'aire KÂ', mais, suivant les cas, en hyperbole ou en ellipse d'un Tectangle semblable à un rectangle donné, — faite :5ur une droite connue. De là les noms d'hyperbole