HYPOTHÈSES SCIENTIFIQUES

Ce qu'on nomme ainsi dilTère-t-il essentiellement des lois étudiées jusqu'ici? Si nous allons tout droit aux grandes hypothèses de la science rationnelle la plus parfaite, — à celle de l'éther et de ses ondulations, par exemple, — faut-il déclarer que nous abordons un ordre d'idées absolument nouveau, et que nous sortons du domaine de la science positive? Estce que l'apparence de construction, d'échafaudage plus ou moins chimérique qu'elles nous olTrent d'une façon particulièrement accentuée, nous ferait une obligation de les rejeter hors de ce domaine'^ La réponse n'est pas douteuse, après l'analyse que nous avons faite de quelques lois prises au cœur même de ce que tout le monde nomme la science positive. Les postulats, les concepts, les constructions, que nous avons signalés comme indispensables à la seule intelhgence de ces lois, auraient tout aussi bien mérité le titre de chimères, si ce mot était réservé à tout ce qui n est pas directement vérifiable, — et il ne saurait y avoir tout au plus qu'une différence de degré, quand on passe ensuite aux hypothèses : peut-être sera-t-il juste de dire que la loi coordonne un groupe de phénomènes isolés, tandis que l'hypothèse coordonne un groupe de lois.

Quant à la nature exceptionnelle de VJujpotlièse qui pourrait sembler liée à cette appellation elle-même, il suffira, pour faire disparaître toute illusion, de montrer qu'on peut parler d'hypothèses à propos de

G. MiLHAUD. — Le Rationnel. 4

tous les concepts qui servent à formuler les lois. Revenons en effet sur quelques-uns des éléments qu'ont mis en évidence les précédentes analyses. — Nous avons dit, à propos du phosphore (deuxième exemple), que le chimiste crée jusqu'à un certain point une notion, en déterminant lui-même le sens précis de la chose ainsi désignée ; — n'aurions-nous pas pu dire aussi bien qu'il fait une hypothèse, en ce sens qu'il admet comme réellement existant un corps qui répond à sa définition, et qui présente exactement la synthèse des propriétés énoncées? — Les constructions thermométriques du physicien servent à définir ce qu'on entend par variations égales de température. Ne pourrait-on essayer de parler un langage plus réaliste et de dire : le physicien suppose qu'aux déplacements égaux de la colonne mercurielle correspondent d'égales variations de température? Il n'est certes pas commode d'expliquer le sens de ces derniers mots, d'un point de vue réaliste absolu; mais pourtant les notions de température et de variation de température étant données, il est peut-être permis de s'élever a priori jusqu'à celle de variations égales, — idée assez vague d'ailleurs, puisqu'on y ferait abstraction de tout procédé de vérification. L'hypothèse consisterait alors en ce qu'on jugerait le thermomètre capable de fournir cette vérification. Si ce langage présente quelques difficultés, n'oublions pas qu'il a été à certains moments le guide môme de la pensée du physicien, comme l'attestent ces notions dont nous avons parlé, coefficients de dilatation, chaleurs spécifiques, etc., posées d'abord tout natureUement comme si au degré thermométrique correspondaient des quantités constantes dans les divers ordres de phénomènes thermiques. — Au lieu de voir dans la direction rectiligne de certain rayon lumineux celle qui servira, par définition, à fixer la position d'un astre déterminé (troisième exemple),

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ne peut-on énoncer simplement cette hypothèse : « la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène »? — Dans le même exemple, il a été question du mouvement diurne comme servant de définition aux durées égales. Comme pour la mesure des températures, et avec des restrictions analogues, nous pourrions essayer de dire : « par hypothèse^ la rotation terrestre est uniforme ». — A propos enfin des notions fondamentales de la dynamique, il serait moins clair, mais acceptable à la rigueur (n'est-ce pas ainsi qu'on s'est exprimé jusque dans ces dernières années?) de parler des hypothèses fondamentales de cette science : « on suppose, diraiton par exemple, que si un point matériel en mouvement n'est soumis à aucune force, sa vitesse reste constante en grandeur et en direction »; etc.

Ainsi les hypothèses de la science rationnelle n'ont aucun caractère essentiel par lequel elles se distinguent des lois ordinaires de cette science; la ligne de démarcation qu'on voudrait parfois tracer entre celles-ci et celles-là devrait logiquement être reculée jusqu'à séparer le rationnel lui-même de l'empirique simple.

Un problème capital se posé maintenant. La science rationnelle utilisant les conceptions de l'esprit ne cesse de progresser, et d'expliquer de mieux en mieux les phénomènes naturels : faut-il voir là une confirmation a posteriori de la réalité objective de ces conceptions?

A. — Il est d'abord facile de reconnaître que certaines notions fondamentales — nous en avons cilé quelques-unes dans les exemples analysés — échappent, par leur nature même, à toute possibilité de vérification, en ce sens que l'idée d'une vérification serait absolument inintelligible. Ainsi, à propos de la mesure des températures, de la mesure du temps,

de la définition dynamique de la force, nous avons remarqué la difficulté que l'on trouve à parler un langage réaliste, à dire, par exemple, que le choix de la rotation terrestre pour la mesure du temps suppose cette rotation véritablement uniforme. Cette difficulté ne se change -t elle pas en impossibilité radicale, dès qu'il est question d'une vérification effective? Gomment concevoir la vérification de l'uniformité de la rotation terrestre, en dehors de tout autre choix d'un mouvement premier auquel s'étende alors, sans être pour cela atténuée, l'impossibilité présente? — Comment entendrait -on une vérification expérimentale de ce fait que les degrés du thermomètre correspondent à des variations égales de température, en dehors de tout autre procédé de mesure qui se prêterait aux mêmes réflexions? — Comment, en dehors de la définition que déterminent les principes de la dynamique, c'est-à-dire sans accepter d'abord ce que l'on veut vérifier, et en dehors de toute autre définition déterminant cette chose qui se nommera la force, comment songer à trouver dans l'expérience la mesure réelle de cette force? — A quoi donc attribuer les confirmations expérimentales des lois qui reposent sur de pareilles notions? Mais sans doute il n'y a là que des faits d'induction courante, sauf qu'un langage spécial, celui qui se constitue à l'aide de ces notions, sert à traduire les phénomènes observés. L'ensemble des concepts que nous signalons ne cesse pas de rester entre le savant et les choses comme un intermédiaire commode que n'atteint pas la portée des confirmations expérimentales.

Et cela est si vrai qu'un changement apporté aux notions fondamentales dont il est question n'empêcherait ni de formuler les lois, ni de prévoir les phénomènes. Qu'au thermomètre à mercure on substitue le thermomètre à eau, on énoncera une loi

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nouvelle pour la dilatation des solides, loi qui, moins simple sans doute que la première, n'en permettra pas moins de synthétiser les observations passées, et de prévoir les observations à venir. — De cet exemple si naïf, passons à cet autre quelque peu plus savant, mais identique au fond. On sait que le mouvement annuel de la terre sur son orbite n'est pas uniforme : des arcs inégaux sont décrits en des temps égaux. Qu'on ait la fantaisie de changer de chromomètre fondamental et l'idée (étrange, sans doute, mais peu importe!) d'appeler égales les durées correspondant à des arcs égaux décrits par la terre dans son mouvement annuel, de telle sorte que le mouvement diurne cesse d'être uniforme; les aires ne seront plus proportionnelles aux temps, et par suite, sans qu'on modifie en rien les principes de la dynamique, la force qui agit sur chaque planète ne passera plus par le soleil. La loi d'attraction sera remplacée par une autre : des complications sans nombre naitront peut-être de ce changement, mais, une fois adopté, le nouveau langage — pourvu qu'on y reste fidèle — donnera évidemment lieu aux mêmes vérifications expérimentales que l'ancien.

B. — Ainsi il faut renoncer à voir un lien absolument étroit entre certaines notions de la science rationnelle et les confirmations qu'elle reçoit des faits observés; et, si on tient compte de ce que ces notions la pénètrent de plus en plus profondément, à mesure qu'elle progresse et se perfectionne en théorie, cette remarque suffirait peut-être à trancher la question de la possibilité d'établir a posteriori le caractère objectivement nécessaire des conceptions scientifiques. — Mais cependant, n'y a-t-il pas dans telles de ces conceptions, dans celles particulièrement qu'on nomme des hypothèses, « un mélange de réaUtés et de chimères », comme disait Aug. Comte, c'est-à-dire pour nous un mélange de concepts échap-

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pant par leur nature à toute vérification, et de faits sinon directement connaissables, du moins analogues à des phénomènes connus? Ne semble-t-il pas alors qu'on puisse encore parler de vérité et de fausseté à propos du ces conceptions, et compter sur fexpérience, soit pour en établir la fausseté par quelque contradiction, soit pour en démontrer l'exactitude par une confirmation prolongée? — Répondons aux deux questions ainsi posées.

a. — Une expérience contradictoire avec quelque conséquence logiquement déduite d'une hypothèse théorique prouve-t-elle la fausseté de cette hypothèse?

Si on tient compte d'une part de tous les matériaux qui constituent fhypothèse, — d'autre part de toutes les théories, de tous les postulats, de toutes les conventions, de toutes les notions qui entrent dans l'interprétation, dans la traduction d'une expérience tant soit peu savante (voir plus haut ce qui concerne une observation astronomique; il en est de même de toute observation précise faite dans le laboratoire du physicien), on voit que la contradiction de quelque expérience avec l'hypothèse prouve simplement la nécessité de modifier l'un au moins des éléments de cet ensemble si complexe. Mais aucun d'eux n'est directement désigné; et, en particulier, l'idée maîtresse de l'hypothèse', celle qui la caractérise essentiellement, peut être maintenue aussi longtemps que l'on consentira à faire porter les corrections sur des éléments différents. C'est ainsi que l'hypothèse de l'émission, telle, par exemple, qu'elle était présentée par Biot, avec cette multitude de conventions accessoires que l'on sait, aurait pu.

1. Voir sur ce point l'article si intéressant el si complet de M. Dulien» : Quelt/ues réflexions au sujet de la phf/sujue expé' rimentale. [Revue des questions scientifiques, juillet 1894.)

si on y avait absolument tenu, résister à la célèbre expérience de Foucault sur les vitesses comparées de la lumière dans l'air et dans l'eau. — C'est ainsi encore qu'une même expérience (de Wiener) a pu être mise à la fois iV accord et en contradiction avec l'opinion de Fresnel sur le sens de la vibration dans les rayons polarisés, suivant la manière adoptée de définir et de mesurer, dans l'expérience, « l'intensité lumineuse ».

h. — Une confirmation prolongée que les faits apportent à une hypothèse de la science rationnelle peut-elle devenir une preuve de sa vérité? — Portons notre attention sur deux points essentiels. — a — Le nombre des faits nouveaux qui apportent une confirmation à l'hypothèse est beaucoup plus restreint qu'il ne paraît. — 3 — Quel que soit leur nombre, l'hypothèse qui les explique n'est pas seule à pouvoir le faire, elle est une des innombrables solutions d'un problème indéterminé.

Une hypothèse a été formulée pour rendre

compte de quelques lois générales régissant les phénomènes d'un ordre particulier. Ainsi l'hypothèse des ondulations de l'éther explique les lois générales de l'optique : réfiexion, réfraction, interférence, polarisatijii. N'est-il pas de toute évidence qu'elle expliqueia aussi, c'est-à-dire qu'elle permettra de traduire dans son propre langage, tout phénomène qui ne sera qu'une application à quelque cas particulier de ces lois générales? En d autres termes, tout ce qui rentrera dans ces lois générales rentrera par cela même dans l'hypothèse, sans qu'il soit permis de parler de confirmation nouvelle. Si le physicien s'est habitué à ne faire intervenir ces lois que sous la forme imagée de l'hypothèse, et si cela peut lui faire illusion au point que les conséquences des lois deviennent dans sa pensée des conséquences de l'hypothèse même, nous ne devons pas nous y Irom-

per. Toute autre conception qui s'accorderait avec les faits généraux pourrait de la même manière être mise dans un rapport direct avec les faits particuliers qui en découlent. C'est ainsi que nous devons garder quelque circonspection à l'égard des prétendues preuves nouvelles que semble sans cesse apporter la science à telle ou telle hypothèse. — Il y a quelques années, la photograpJiie des couleurs est venue émerveiller le monde savant, et la découverte en a été d'autant plus remarquable, qu'elle avait été méthodiquement poursuivie. Les principes dont on l'a tirée ne sont autres que les lois générales de l'optique, et surtout la loi des interférences. Mais, présentée dans le langage des ondulations, qui s'adapte si bien d'ailleurs aux phénomènes d'interférence, cette découverte n'a-t-elle pas passé, aux yeux de bien des savants, pour une conlirmation précieuse de l'existence de l'éther et de ses vibrations?

p. — Le nombre des faits distincts, qu'une hypothèse relie entre eux par une explication synthétique, est donc généralement beaucoup plus restreint qu'il ne paraît. Mais, en tout cas, quel que soit ce nombre, combien d'autres conceptions ne pourrionsnous pas lui substituer, qui rendraient compte des mêmes faits! Imaginez un système d'aiguilles, aussi nombreuses d'ailleurs qu'il vous plaira, se mouvant sur un disque de certaines façons plus ou moins bizarres, et donnant lieu en même temps à tels phénomènes que vous voudrez supposer : par exemple, les unes s'allongeront, les autres se raccourciront tout en se déplaçant, etc. Réunissez un millier de mécaniciens, et demandez-leur de trouver l'ingénieux mécanisme qui produit cet ensemble de phénomènes : il y a bien des chances pour que vous ayez mille réponses différentes, et pour qu'aucune ne soit celle qui se trouve réalisée par hypothèse.

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Y a-t-il une différence entre cet exemple et celui d'un groupe de phénomènes, auxquels la science rationnelle cherche une explication? Oui, il y en a une, mais elle n'est pas pour restreindre le nombre des solutions acceptables, bien au contraire. D'abord nous supposions, dans notre exemple, qu'un mécanisme déterminé existait, qu'il fallait trouver. Savonsnous si vraiment il existe, toute réalisée dans les choses, une des conceptions explicatives qui sont accessibles à notre pensée? N'est-ce pas essayer de pénétrer l'absolu, et sortir du domaine du connaissable, que de se poser seulement une pareille question? En second lieu, pour former une solution du problème que nous avons indiqué, il ne pouvait être question que d'éléments réalisables, analogues k ceux que nous avons couramment sous les yeux, ressorts, roues dentées, etc. Dans une hypothèse de la science théorique, il est permis de faire entrer des éléments qui s'éloignent démesurément de tout ce qui est connu, et dont la réalisation peut n'avoir aucun sens. C'est ainsi qu'on parle parfois sans sourciller d'un élher impondérable, d'atomes, etc. Dans ces conditions, comment ne pas sentir que l'indétermination du problème, qui pose la recherche d'une hypothèse explicative, s'augmente prodigieusement? — Comment a-t-on pu croire, pour les phénomènes lumineux, par exemple, que l'hésitation n'était possible qu'entre deux théories, celle de l'émission et celle des ondulations de Téther? Maxwell en a proposé une troisième, celle des mouvements tourbillonnaires. Combien d'autres pourraient encore se présenter à l'imagination des savants!

Stuart Mill a reconnu, lui aussi, qu'on ne peut parler de la vérité d'une hypothèse dès que d'autres peuvent lui être substituées, mais il a entrevu le cas où cette substitution deviendrait impossible, et où, seule, une conception proposée serait capable de

rendre compte de certains phénomènes. A quel signe pourtant saura-t-on reconnaître qu'on se trouve dans ce cas? L'exemple le plus caractéristique aux yeux de Stuart Mill semble être celui de Taltraction newtonienne, qui non seulement rend compte des lois de Kepler — dit-il en substance, — mais réciproquement est exigée par elles. Les analyses présentées plus haut permettent de comprendre à quel point cet exemple est peu convaincant. D'une part les lois de Kepler sont non pas des phénomènes simples, mais au contraire des faits complexes n'avant de signification que par l'intermédiaire d'une série de théories, de défmitions, de postulats; et d'autre part le passage de ces lois à celle de Newton se fait, nous l'avons vu, par un choix de définitions qui seules rendent le nouveau langage exactement équivalent à l'ancien. On peut bien dire qu'avec les notions adoptées la forme de la loi de la gravitation est la seule qui convienne aux lois de Kepler, mais qu'il soit alors bien entendu qu'on ne vise en aucune façon la vérité objective de l'attraction newtonienne, — et l'exemple de Stuart Mill perd toute son importance. S'il faut renoncer à parler de la vérité d'une hypothèse, ne peut-il se faire cependant qu'elle reste définitivement acquise à la science? — Oui, mais dans un sens spécial, et à la condition de devenir un langage commode pour traduire les faits généraux qu'elle expliquait. Autant vaudrait alors, pensera-t-on avec Auguste Comte, qu'on s'en débarrassât comme d'un revêtement inutile. Ce n'est pas cependant tout à fait équivalent. Un ensemble de notions auquel on s'est habitué (comme pour les ondulations de l'éther, par exemple) présente ce précieux avantage d'apporter commodément l'unité dans une série d'énoncés distincts. Quant au danger qu'olfrirait ce langage de nous faire croire à des réalités chimériques cachées sous les mots, faut-il s'en préoccuper? Qui songe

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encore, parmi les géomètres, à se priver d'expressions telles que l'action d'une force, l'attraction, la répulsion, etc., sous prétexte qu'il n'entre dans les équations que des symboles dépouillés de toute signification réaliste? Rien n'empêche donc le langage des ondulations, par exemple, d'aider un jour à l'édification définitive de quelque chapitre nouveau de la science rationnelle, dont l'objet serait l'ensemble des phénomènes connus ou à venir se prêtant aisément à ce langage. Le chapitre se fermerait d'ailleurs pour laisser un autre s'ouvrir et se constituer par quelque autre théorie, aussitôt qu'un groupe de faits nouveaux se présenterait, dont l'adaptation à notre langage serait par trop compliquée. Et ainsi de suite, indéfiniment.

Dans cette succession illimitée de théories, n'avonsnous pas à craindre que pour maintenir leur accord avec les faits, il ne suffise pas toujours d'ajouter des conceptions nouvelles, et qu'il ne faille revenir parfois sur un des chapitres que l'on croyait définitivement constitués? Où est l'assurance qu'un seul de ces chapitres puisse rester à l'abri de toute modification essentielle, même un des plus anciens comme la dynamique rationnelle, ou même comme la géométrie? Un exemple en dira sur ce point plus long que tout commentaire. — Lobatchewsky a conçu, on le sai4;, une géométrie se déroulant à la manière de la géométrie ordinaire, mais ne reposant pas sur les mêmes axiomes fondamentaux. La somme des angles d'un triangle est, dans cette géométrie, intérieure à deux droits, et la diiYérence avec deux droits est d'autant plus sensible que le triangle est plus grand. On s'est demandé si l'on ne pourrait pas mesurer les angles de quelque immense triangle dont les sommets seraient fournis par des points définis astronomiquement :: n'allait-on pas savoir enfin, en calculant la somme de ces angles, qui d'Euclide ou de Lobatchewsky a

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raison? On n'a pas tenté une semblable expérience, et on a bien fait. Eùt-elle conduit à un écart appréciable entre deu c droits et la somme réelle, la seule conclusion permise eût été qu'il faut changer quelque chose à un ensemble de notions, dont font partie, il est vrai, les axiomes euclidiens, mais où se trouvent aussi une foule de théories, permettant seules de réaliser Texpérience; et on eût tout changé dans ces théories, s'il l'avait fallu, plutôt que de toucher aux axiomes de notre vieille géométrie : en particulier, on eut plutôt renoncé au postulat de la propagation rectiligne de la lumière *.

Ainsi la science rationnelle, en constituant les chapitres successifs, établit entre eux une sorte de hiérarchie, et les savants, par une convention tacite, conçoivent ces chapitres dans un ordre tel qu'une modification nécessaire doive porter sur l'un d'eux plutôt que sur aucun de ceux qui le précèdent. Si l'on tient compte alors de ce que l'échafaudage de la science théorique, en grandissant, s'élargit aussi démesurément, et de ce que les notions qui forment les éléments des dernières assises sont innombrables et prodigieusement complexes, on se représente comme très probable que toutes les corrections puissent déplus en plus porter sur ces éléments derniers, et que les théories formant les bases les plus anciennes de Tcdifice soient à l'abri de toute contradiction. Au premier rang parmi celles-ci se trouve la géométrie. Ne peut-on dire que pour elle la probabilité se change en certitude, et le savant moderne n'at-il pas le droit de déclarer, comme autrefois les Grecs (mais non dans le même sens), que les vérités géométriques sont éternelles? — Un pas de plus dans ce retour aux premiers fondements de la

1. Cf. Poincar^, Revue des sciences pures et appliquées, lo décembre 1S91.

science rationnelle nous amènerait à ce postulat qui nous a servi à donner la définition même de la science théorique, à savoir qu'il y a des relations constantes dans les choses; — et, comme la géométrie ellemême devrait disparaître avant ce postulat, ne pouvons-nous dire qu'il apparaît à son tour comme capable de survivre à la science tout entière?

Cette conception de la science rationnelle montre suffisamment le rôle de l'intervention active de l'esprit. — Celle-ci n'apparaît pas seulement dans les conceptions qui se poursuivent sans cesse, elle se montre jusque dans le coefficient de ceititude, pour ainsi parler, dont le savant atTecte lui-même les parties successives de sa construction. Il est vrai qu'à voir ainsi les choses, il faut dépouiller la vérité rationnelle de sa signification absolue, elle n'est plus que l'accord harmonieux d'un ensemble de conceptions. Mais OLi est le mal? D'abord la science théorique se trouve par là rapprochée de certaines autres formes de la pensée, je veux dire de celles dont le caractère esthétique fait le charme. Ensuite et surtout la disparition de cet absolu qui restait encore dans la signification de la vérité rationnelle est au bénéfice même de la science : cela lui rend ses ailes. Qu'on juge par Auguste Comte et par la modestie excessive où il tombe sans cesse à l'égard des ressources de l'intelligence humaine — qui donc a pu parler des promesses exagérées du positivisme? — de ce que peut sur un puissant esprit quelque reste d'attachement à l'absolu. D'ailleurs c'est à Auguste Comte lui-même que nous demanderons un témoignage à l'appui de notre thèse, en citant un mot profond, et qui aurait pu servir d'épigraphe à cette étude. Parlant de ce que nous assimilons couramment des arcs de trajectoire planétaire à des arcs de cercle ou même à des portions de droites, tout en sachant que cela ne répond pas à la vérité, il dit : « Nos ressources à cet

G. MiLHADD. — Le Ualionnel. 5

LE nATIOXNEL

égard sont bien plus étendues [que celles des Anciens], précisément parce que nous ne nous faisons aucune illusion sur la réalité de nos Jiypothè^cs, ce qui nous permet d'employer sans scrupule, en chaque cas, celle que nous jugeons la plus avantageuse. » S'il eût médité ces quelques mots, Auguste Comte n'aurait plus eu peur des chimères pour la science rationnelle.

A PROPOS DE LA GÉOMÉTRIE GRECQUE I UNE CONDITION DU PROGRÈS SCIENTIFIQUE

La Géométrie, telle qu'elle est exposée dans Euclide, est une science désintéressée. La forme de la rédaction autant que la matière du livre donnent vite au lecteur l'impression très vive de ce désintéressement.

D'une part c'est la longueur même de la rédaction, l'insistance minutieuse à appuyer sur tous les détails d'une démonstration, la patience avec laquelle le Géomètre s'attarde à fermer toutes les issues à un contradicteur supposé, le souci exclusif de clarté et de rigueur, — qui montrent à quel point la préoccupation du savant n'est pas d'aboutir à quelque application pratique.

D'autre part, l'ordre, la symétrie de toutes les parties d'un problème ou d'un théorème semblent suivre des règles fixes, comme s'il s'agissait des parties successives d'un poème.

La TrpoTaaiç énonce d'abord d'une manière générale le théorème à démontrer ou le problème à résoudre. Par exemple : « Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilaléral ». — Puis vient régulièrement I'extOegiç qui pose les données avec figure et notation particulières : « Soit AB une droite donnée et finie ». Le tz^ogùiooigilôç vient rappeler aus-

sitôt avec précision quel est le problème à résoudre sur ces données : « Il faut construire sur la droite donnée AB un triangle équilatéral ». Et enfin la xotTaTxsur, indique la série des constructions auxiliaires : « Du centre A avec AB pour rayon, décrivons la circonférence BFA; du centre B avec BA pour rayon, décrivons la circonférence ATE; et du point r, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B, les droites FA, TB. » La démonstration ou à7ro5ci;iç peut alors se dérouler sans interruption sur une figure, dont toutes les lignes sont tracées. Quand elle est terminée, la conclusion, ou çutxTTEpaTaa, énonce triomphalement que le problème, indiqué d'abord d'une façon générale, puis déterminé avec précision sur les données d'une figure, se trouve résolu; et cet énoncé se fait en reprenant exactement et patiemment les termes de la TrpôTxc?'.;, avec, en plus, les notations posées par TIxOet'.;. « C'est donc un triangle équilatéral que ABr,et il est construit sur la droite donnée et finie AB. » — Les derniers mots sont invariablement : Sttso iov. Troirjdxi, — à moins qu'il n'ait été question d'un théorème à établir, auquel cas Tro'.TjTa'. est remplacé par ô£t;xi.

C'est ainsi que le livre contient comme une série de couplets, formant chacun quelque chose d'ordonné, de rythmé, pour ainsi dire, se déroulant suivant certaines règles de composition, et se terminant par une sorte de refrain. 11 est bien évident que ce n'est pas l'allure d'un traité qui vise les applications usuelles, et que la spéculation pure et désintéressée s'accorde seule avec ces harmonieuses lenteurs où se complaît le géomètre grec.

Cette impression est confirmée au delà de toute exigence si l'on considère la matière même des « Éléments ». Vous chercheriez en vain dans Euclide un seul énoncé donnant la règle d'évaluation d'un volume ou d'une surface. Ce simple trait montre

tout de suite à quels points les « Éléments » s'éloignent non pas seulement d'un recueil de règles pratiques, mais même de ce que nous appelons aujourd'hui nous-mêmes un traité de géométrie théorique. Car, bien que nos livres ressemblent encore beaucoup à celui d'Euclide, tant par la forme que par la matière, il n'en est pas un seul qui se crut complet, s'il s'abstenait de donner des règles à suivre pour mesurer la surface d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un cercle, le volume d'un prisme, d'une pyramide, d'une sphère, etc.

La considération des surfaces et des volumes n'intervient donc pas dans les « Éléments »? Oui sans doute elle intervient et prend même une place assez importante dans les spéculations du géomètre, mais elle reste purement théorique, et c'est une distinction qu'il est aisé de comprendre. On peut démontrer que deux parallélogrammes ou deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalents, — qu'un triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur, — sans en venir à l'évaluation numérique de l'aire du triangle ou du parallélogramme. On peut démontrer les théorèmes essentiels relatifs à la pyramide, sans se croire obligé de donner la règle d'évaluation numérique du volume de ce solide et ainsi de suite.

Au fond, la formule qui manque chez Euclide est une conséquence presque évidente des considérations théoriques qui, elles, sont complètes, et il ne saurait entrer dans la pensée de personne que le géomètre ne sût pas l'en déduire. A coup sûr, mis en présence d'un champ triangulaire à mesurer, ou d'un récipient prismatique à jauger, il eût procédé comme nous. Mais c'est une marque absolument significative de sa conception de la Géométrie théorique que de ne pas vouloir dans un même livre énoncer les formules utilisables et les propositions

de la science purement spéculative. Les unes et les autres ne lui semblaient pas relever du môme ordre d'idées; et, de fait, pour les Grecs, la Géométrie et la Géodésie s'opposaient dans leur objet, comme la Logistique, science des calculs pratiques, et l'Arithmétique ou science des nombres proprement dite.

Cest peut-être, va-t-on dire, aller chercher trop loin l'explication d'un fait très simple. Les formules d'évaluation numérique pour les surfaces et les volume.-: exigent l'emploi courant de la notion de mesure. Or les Grecs connaissaient fort bien le cas de l'incommensurabilité de deux grandeurs : ils n'ont pas songé à introduire dans un énoncé quelconque la valeur numérique d'un rapport qui a bien des chances de ne pas exister. — Nous ne pensons pas qu'à cet égard les Grecs fussent aussi loin de nous qu'on pourrait croire. D'une part, si nous consentons plus volontiers à parler de nombre incommensurable, de mesure d'une quantité incommensurable, c'est avec le sentiment bien net que, dès la moindre application, ce nombre figurerait en réalité par une valeur approchée. Et, d'autre part, — à rester en dehors de toute évaluation eflective, - les Grecs ne répugnaient nullement à l'idée d'un rapport incommensurable. Leur façon de défmir la raison de deux quantités homogènes, d'une façon générale, abstraction faite de la question de savoir si les quantités sont ou non commensurables ^ leur façon de traiter ensuite les égalités de raisons, ou proportions, montrent qu'ils n'étaient pas plus etîrayés que nous par la notion du rapport de grandeurs incommensurables. — « Apollonius, dit Marie dans son Histoire des Mathématiques, eût certainement regardé comme fou l'homme qui serait venu lui proposer d'introduire la longueur

aXArjXa nota 7/CJt'.;. » (L. V.)

du pied d'Agamemnon, par exemple, dans la démonstration de ses théorèmes sur les coniques. » Certes cela est très vrai, mais un géomètre d'aujourd'hui ne penserait pas autrement à cet égard qu'Apollonius. Ne cherche-t-il pas comme lui des relations géométriques nécessairement indépendantes du choix de toute unité? Si Euclide ou Apollonius s'abstiennent plus rigoureusement que nous de toutes considérations de mesure numérique, c'est bien en partie parce qu'ils sentent l'inutilité de ces considérations pour la science pure, en partie parce que les mesures numériques ne pourraient être ordinairement qu'approchées, et suffisantes tout au plus pour quelque usage pratique. Mais alors, au fond, il faut bien voir où est la distinction essentielle aux veux des Grecs, entre ce que contiennent leurs livres de géométrie et ces sortes de formules qu'ils en ont systématiquement écartées. Elle rentre dans la distinction plus profonde qui fait mettre d'un côté ce qui est la science pure, la science générale, indépendante de toute condition particulière, et en même temps exacte, parfaite, ne maniant que des éléments rigoureusement déterminés, bref ce qui est la science proprement dite, spéculative et désintéressée, — et d'autre part ce qui ne vise que l'application. Les idées des Grecs sur l'incommensurabilité mettaient en évidence un élément d'imperfection, d'inexactitude, dans toute opération de mesure, mais c'était loin d'être le seul. Auraientils pu parler de figures absolument exactes, de cercles parfaits, de carrés rigoureux, et même de droites véritablement droites, à propos des choses matérielles au milieu desquelles nous vivons et qui tombent sous les sens? De là cette séparation si nettement tranchée entre tout ce qui répond de près ou de loin aux préoccupations pratiques, et ce qui s'élève au-dessus d'elles et ne concerne que la Science purement désintéressée.

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Ce n'est pas que chacune des vérités successives énoncées par Euclide ait en elle-même son intérêt tout entier. Il y a dans Tcruvre un enchaînement qui permet d'attribuer à tel théorème, ou à telle série de propositions, ce rôle utilitaire en un sens qui consiste à préparer telle démonstration capitale. Ainsi le premier livre tout entier marche manifestement vers la démonstration de la grande propriété caractéristique du triangle rectangle, qui clôt ce livre. Ce théorème lui-même n'a pas été démontré en vain; il servira notamment à justifier une série de relations quantitatives fondamentales exposées au second livre, et ainsi de suite. L*œuvre entière converge merveilleusement vers le problème capital qui en est comme le couronnement, à savoir la construction des cinq polyèdres réguliers. S'il est donc permis de parler en certains sens de Futilité de tel ou tel détail, c'est de la même faron (ju'à propos d'une œuvre d'art, pour exprimer le merveilleux enchaînement de toutes les parties. Le terme suprême où aboutit l'auteur des « Éléments », la construction des polyèdres réguliers, est en lui-même le plus opposé qu'il est possible à toute considération pratique.

Cette Géométrie dont Euclide nous donne déjà un modèle aussi parfait n'a pas été confectionnée par lui brusquement. Nous savons qu'elle est l'œuvre des siècles qui l'ont précédé. Avec quelle étonnante rapidité les progrès s'étaient réalisés, avec quelle ardeur les Grecs avaient cultivé celte Géométrie, comme ils avaient su non seulement en reculer très loin les bornes, mais aussi la douer d'une force d'expansion et d'une fécondité telle que les travaux d'Archimède et d'Apollonius vont en être comme la suite naturelle et que les savants vont bientôt trouver

en elle un instrument merveilleusement adapté aux applications astronomiques,... j'y ai trop souvent insisté pour y revenir. Ce qui me frappe maintenant, et sur quoi je voudrais attirer l'attention, c'est le rapprochement de ces deux faits : d'une part le développement colossal qu'a reçu la mathématique pendant un temps relativement court, la force d^expansion indéfinie dont elle parait douée, sa fécondité, même au point de vue des applications, et, d'autre part, le caractère de science désintéressée et purement spéculative qu'elle a manifesté. Il est impossible, aussitôt que lu pensée fait ce rapprochement, de ne pas songer qu'il y a là plus qu'une coïncidence curieuse, et que le désintéressement, l'éloignement de toute préoccupation pratique, chez le géomètre grec, a pu être une des causes profondes des progrès de sa science, et du même coup, de sa fécondité future à l'égard des applications ellesmêmes. Du moins si cette vue semble tout d'abord audacieuse, nous pouvons la soumettre à une épreuve intéressante. Les progrès qui semblaient devoir être à jamais continus, se sont ralentis, puis même complètement arrêtés. Une longue éclipse a suivi. Passons brièvement en revue les explications que peut suggérer une pareille extinction, après un si vif éclat : peut-être se dégagera-t-il de cet examen que le ralentissement du progrès scientifique a suivi de près la disparition d'un élément, — décidément vital — je veux dire du désintéressement avec lequel la science était cultivée.

Faut-il d'abord s'arrêter à celte tradition des anciens philosophes et de la plupart des religions, qui d'une façon ou d'une autre place l'âge d'or dans le passé, et déclare l'humanité condamnée désormais à suivre des chemins difficiles, à voir toutes ses œuvres nécessairement précaires, incomplètes et jamais définitives? Pour Platon c'étaient les hommes

d'autrefois qui étaient près des Dieux. x\rislote disait que les arts et les sciences ont été souvent trouvés et souvent perdus. La loi du progrès continu n'est pas, ou n'est plus le fait de rhumanilé. — Si intéressantes que puissent être de semblables théories, on ne saurait y avoir recours qu'en se déclarant incapable de trouver une explication naturelle : cela équivaudrait à un abandon de la question.

Admellra-t-on que l'échafauduge scientifique construit par les anciens a manqué de solidité, faute chez eux d'une organisation suffisante? Les efforts des savants étaient isolés; les moyens de les grouper, do les associer, de les amener à produire quelque œuvre durable, faisaient défaut. Les anciens n'avaient pas, comme nous aujourd'hui, « ces livres imprimés, mémoire)}, riK>iio^raphic.s, •iMivni'-scoinpli'te!*, recueil» périi>dique6^ où, sous divcr$e« formes, ht :!iCionce e.Ht inscrite et déposée^ h mesure quVIlo }*c fait ' >. lU ne coonaissaieDt j^s comme nous les Académies» les iD&lituU, les Univorsilés. — Cela est tropclair; mais d^abonl il ne faut rien exagérer : les livres^ les bibliûltiéques abondaient autrefois; les foyers de la .HCienco ne manquaient pas non plus. Sans parler de ri*x;oIe d'Aloxaiitlrie, ne ne grûU[)ait-on pas autour d'un Platon, d'un Amtote, d*un Pytliagore, ou d'un Tliéodorc de Cyrônr, et ne fùrnKiit*on |>aâ alors des icociétés cximpnrabU^ jn5;qu*à un 4!tMlaiii point à nos «(Kiétés savantesçi d'aujourd'hui? — Kns^uite, h (|aelle ^oque r^paq>illemont des efTorls industriels dut-il être le plus considérable? N*est-il p«s évident que du vu* au iv Siècle, quand, par e.\emple» ThalCKs en Asie Mineure, PyllKigore en Italie, Démocrtte sur les c^(e« de Thrnoe, ilij»]K>crate ;\ Cliiost, eontrilMiaient cb»cun |Kiur sii |xirt h gro^ir l'onivre mathématique des Grecs» — n'esi-il pis évident, db-jc, qu*on ne