CHAPITRE XVI

Gamme tempérée.

Jusqu'ici nous avons supposé les notes prises par la condition de faire exactement avec la tonique les intervalles les plus satisfaisants, et l'on vient de voir à quelle grande quantité de notes dififérentes cela donne lieu, quand on veut les avoir toutes et dans tous les tons. Cela est possible pour la voix et pour certains instruments où l'exécutant fait lui-même sa note , n'ayant qu'à suivre son oreille. Sans vouloir encore ici étudier à fond les différents instruments, on conçoit déjà que l'on peut se trouver en face d'instruments où les notes sont toutes préparées et invariables, et où il n'y a qu'à les faire résonner par un moyen d'attaque quelconque, qui sera alors permanent. Les moyens d'attaque peuvent être obtenus par exemple au moyen de touches, qui, ayant une certaine largeur, ne devront pas alors être trop nombreuses , si l'on veut qu'elles restent dans l'étendue des bras de l'exécutant.

On a vu que le ton de do donne déjà, par octave, en tenant compte seulement des cinq premiers accidents de chaque espèce, les dix-huit notes suivantes :

do-do*-re''-re-reî-mi^-mi-fa-fa5-sol*-sol-sol'-la^-la-la8-si*-si-do

Quand on module dans les tons éloignés, il y a encore les doubles dièses et les doubles bémols. Si maintenant l'on se rappelle qu'en passant d'une tonique quelconque à la tonique suivante dans les mo-

74 LE RÉVEIL DE LA MrSIQCE.

dulations, on a deux notes qui ne sont pas exactement celles que l'on trouve dans le ton précédent, on comprendra aisément le nombre énorme de touches qu'il faudrait pour représenter exactement les sons voulus. Il faut donc, pour réduire le nombre de touches, admettre que chacune d'elles représentera à la fois plusieurs sons, en acceptant naturellement des erreurs, à la condition qu'elles soient admissibles dans la pratique.

Il s'agit alors de trouver une combinaison donnant en somme les erreurs les plus acceptables. Ce problème a été longtemps le souci des savants s'occupant de l'avenir de la musique. On s'est demandé s'il était préférable de conserver exactes les notes le plus habituellement employées, sauf à faire porter des erreurs plus grandes sur les autres notes, ou si, au contraire, des notes exactes à côté d'autres inexactes ne seraient pas plus choquantes, que des erreurs également réparties sur toutes les notes , sauf à n'en avoir aucune d'exacte. Ce fut là la grande lutte entre le tempérament inégal et le tempérament égal. Le premier a d'abord prévalu, parce qu'alors on s'éloignait peu de la tonique de départ, mais depuis que la musique a fait de grands progrès , et qu'on a ainsi abordé même fréquemment les tons les plus éloignés, il a bien fallu considérer toutes les notes comme ayant la même importance , puisqu'elles pouvaient toutes successivement devenir tonique. Alors a été regardé comme préférable le tempérament égal , auquel on s'est arrêté.

On divise donc l'octave en douze parties égales et Ton a douze sons qui doivent représenter, sans parler des doubles dièses et des doubles bémols, les dix-huit intervalles et même les vingt deux, si l'on considère également les notes fa*-mi8-do*-si* que nous avons négligées ci-dessus, et enfin des accidents doubles, quand on s'éloigne de do; nous admettrons donc, en rapprochant les valeurs les plus semblables, que ces douze sons représenteront les notes:

do - doS - re - re* - mi - fa - fa* - sol - sol» - la - la* - si - do re^ mi* (a.'' mit sol'' la* si' do* sif

Il s'agit alors de déterminer exactement les valeurs de ces douze notes, ou le nombre de vibrations auquel conduira le tempérament égal.

Or, pour qu'on puisse s'entendre, dès que l'on parle de mesurer, il faut une unité ; on se donne donc une note de hauteur fixe et invariable, que l'on appelle diapason, et que nous désignerons par la,,

BECHEBCHES THÉOBIQUES. 7S

pour tenir compte des octaves ; la, est en France de 870 vibrations simples par seconde. Alors , en désignant par la, le la de l'octave inférieure, que nous représenterons par 1, le la, sera égal à 2.

Il s'agira ainsi de partager l'intervalle de la, à la, ou de 1 à2 en douze parties égales. La raison de la progression géométrique sera alors y/- = 1,06 environ.

La série des douze notes tempérées pour l'octave considérée sera donc:

laj laJj si, dOj do*, re, ref, mi, fa, fa', S0I3 sol'j laj siftj do''3 siSj re''j mif'3 fa'', miïj sol'», la*,

. t2 il 2 1-2 5 12 4 12 .■> a 6 12 7 12 8 12 9 12 10 12 ll 12 12 ^ \/~ V7 \/ï Vi Vl \/ï \/ï Vi X/î VT V 1 Vï

Ces valeurs peuvent s'obtenir facilement au moyen -des logarithmes, car si l'on cherche un terme p de la progression on a :

x/a"" 0" 2 -^ = ^ <i'ou -^ log., = log. X or, log. 2 étant = 0,3010300 on a :

-^ log. 2 = 0,0250858 = log. 1,05946 ou approximativement 1,059

-^ log. 2 = 0,0501717 = log. 1,12246 — 1,122

-^ log. 2 = 0,0752575 = log. 1,18921 — 1,189

—■ log. 2 = 0,1003433 = log. 1,25992 — 1,260

-^ log. 2 = 0,1254292 = log. 1,33484 — 1,335

■^ log. 2 = 0,1505150 = log. 1,41421 — 1,414

-^ log. 2 = 0,1756008 = log. 1,49834 — 1,498

~ log. 2 = 0,2006866 = log. 1,58740 — 1,587

-^ log. 2 = 0,2257725 = log. 1,68179 — 1,682

~ log. 2 = 0,2508583 = log. 1,78179 — 1,782

-J^ log. 2 = 0,2758608 = log. 1,88739 — 1,887

-Jl log. 2 = 0,3010300 = log. 2 — 2,000

La série des douze notes tempérées pour l'octave considérée sera donc:

76 LE BéVEIL DE LA MUSIQUE.

la, la*, sij dOj doSj " rcj re*, mij faa faJj solj solJj IBj si^j doi'j si'j re^j mi'», fa*, mi*j sol*, la^j

. 12 12 2 1-2 3 12 4 12 5 12 C 12 7 12 8 12 9 12 10 12 ll 12 I2 ^ \/2 \/-2 \/ï Vï Vi VT Vï V^ Vl \/r \/2 \/2 1 1,059 1,122 1,189 1.260 1,355 1,<M 1,498 1,587 1,682 1782 1,887 2

QCl DOKNE EN VIBRATIONS :

Par tempérament égal A :

Par quiates exécutées successivement après corrections :

(Cli,3)

Mais ces valeurs du tempérament égal de la série A sont purement théoriques et il s'agit de les obtenir pratiquement sur l'instrument, au moyen de l'oreille, connaissant seulement le diapason la 3 = 870 vibrations simples par seconde.

Or, le laj = 435 vibrations peut s'obtenir facilement au moyen de l'oreille, puisque c'est l'octave inférieure du diapason Isj. Si l'on prend ensuite la quinte exacte mij de la, qui est 435 X 4- = 652,5, elle sera plus forte que le mi, tempéré de près d'une vibration. Il y aura donc, pour avoir le mij tempéré, à prendre avec la,, non une quinte exacte, mais une quinte plus basse de -r- de vibration, en faisant en-dessous — de battement ou environ un battement. Si maintenant on part de ce mij =051 ,6 ainsi corrigé, et qu'on fasse avec lui la quinte exacte, descendue d'une octave, on aura un si, =488,7; il sera encore plus fort de — de vibration que le si, tempéré. Il y aura donc, pour avoir ce dernier, à prendre avec le mi,, non une quinte exacte, mais une quinte plus basse de — de vibrations, ou faisant environ un demi-battement. Aj^ant ainsi le si,, on aura d'une manière analogue le fa'j, le do*3, le solSj, le re*,.

Puis, partant du diapason la,, on aura de même le re,, le soi,, do,, fa,, sifc,, mi*,.

Ce mi*,, qui doit se confondre avec le re', déjà trouvé, servira de vérification et au besoin de correction.

La dernière ligne ci-dessus présente alors les quintes exactes qui, après corrections successives, donnent de proche en proche, par le procédé indiqué des battements, les différentes notes fixes qui seront soit au-dessus, soit au-dessous de chaque quinte exacte.

BECHEBCHES THÉOBIQUES. 77

Ainsi pour

mi, on

fera

de baltemenls,

eo

restant .

aa-dessons de la quinte exacte

sia

fa«3

dO«3

re*3

re.

en

restant

au-dessus de la quinte exacte

dOj

fa.

Si*a

mi^j

Dès lors, les élévations ou les abaissements successifs nécessaires des quintes exactes sont indiqués :

Par environ un battement pour mij-dolj-sol'j-rej-solj-faj-mi*,; Par environ un demi-battement pour sij-fa'3-rÊ*3-d03-si''s.

On a donc ainsi pour les sons tempérés douze sons par octave, qui devront servir à représenter soit les notes naturelles, soit les notes altérées de toutes les séries trouvées plus haut pour tous les tons. Quant àmi'jet si'j, dont nous n'avons pas parlé, ils s'obtiendront par fa, et doj ; le fa^j et le do^j seront donnés par le mi, et le sii. Cependant ces notes devenant dans les tons appropriés des notes à intervalle d'un ton , comme les autres , en tenant compte des modulations éloignées acceptées aujourd'liui , on aurait pu avoir à s'en préoccuper dans le tempérament, car l'erreur est plus grande pour ces notes que pour les autres , les intervalles mi-fa et si-do étant plus grands qu'un demi-ton tempéré; mais on a l'habitude d'accepter l'approximation ci-dessus, car il faut aller bien loin dans les modulations, à la sixième par quinte, pour que les cas dont je parle aient une influence sérieuse. En effet par exemple, en partant de do,

78 LE BÉVEIL DE LA HUSIQtJB.

ce n'est qu'après les tons sol-re-la-mi-si , et quand on arrive à fa*, que le mit se présente à l'intervalle d'un ton de fa* dans sa gamme.

Ainsi se trouve obtenue la série du tempérament égal pour une octave, que l'on appelle la partition. Les autres notes seraient données par les octaves successives des notes de la partition.

Dans cette gamme tempérée, les intervalles ne seront naturellement plus les mêmes exactement que ceux que nous avons trouvés

dans la gamme naturelle 1 — 5 " — ^ : 5- ~2,

comme étant les plus satisfaisants pour l'oreille, mais c'est un compromis voulu par les besoins de la pratique.

Cependant, il serait intéressant d'examiner quelles erreurs on commet ainsi, au moins pour les intervalles principaux de la gamme.

Or les intervalles ci-dessous peuvent se représenter comme il suit :

Quinte = Ç^y = 1,498 = -5- (i,498) 4. = 4- (0,999)

Quarte =(^)5= 1,335 = ± (1,335) -f = -f(l,00l)

I>«^i-to« =(y7) =1.059= \l (1,059) 1 = -S-(1.993)

Sixte mineure = (^)* = 1,587= -^ (1,58?) -^ = -|- (0,992) Tierce majeure = ((/-)* = 1,2G0 = ~ (l,26o) -|- = -|- (i,008) Sixte majeure = Ç^-f = 1 ,682 = -f- (l,682) 4 = "l" (l'009) Tierce mineure = (y^f= 1,189 = -|- (1.189) 4" = 4 (o,99l)

On voit d'après ce tableau que les quintes et les quartes tempérées sont presque égales aux quintes et aux quartes naturelles -r- et — . Les intervalles qui s'éloignent ensuite le moins des intervalles naturels sont d'abord le 1/2 ton = — -; puis les tierces et les sixtes qui s'en écartent à peu près également.

Il serait d'ailleurs facile de vérifier que les 1/2 tons, les tierces et les sixtes tempérées se rapprochent plus des intervalles naturels que les mêmes intervalles qu'on obtiendrait, en prenant les notes de la gamme par quintes successives, comme autrefois; seulement les quintes et les quartes sont un peu sacrifiées, mais bien légèrement comme on le voit, et l'oreille qui est très-sûre pour ces intervalles sufllt pour rectifier.

On peut du reste , au moyen des battements , recommencer pour

nECHEBCHES THÉOBIQUES.

les intervalles tempérés, les mêmes recherches que nous avons faites pour les intervalles consonnants exacts, quand nous avons voulu les classer.

Pour cela, prenons les vibrations de l'octave la,-laj que nous ramènerons à l'octave do,-dOj , comme il suit :

do, do>, re, reS, mi, fa, fat, sol, sois, la, laS, si, dOj re*, mi*, sol*, la*, si*,

Si l'on calcule les battements dangereux , comme pour les intervalles consonnants , on a :

do, - dOs

Battements

à redouter.

A hauteur

et

à l'intervalle

de

Battement

à la haute

et à l'inle

1 ton.

s ramenés ur de do, îrvalle de

1/2 ton.

do, - sois

do, - sois

dOt - re^ re^ . - mi^

faj - sol.

dOï - fa.

mi^ - fa^ 1 {a^ - S0I4 1

soU - sol 4

dOï - mi.

si* - d04 sol 4 - sol»4

do, - la, ^

5013 - la,

5014 - la*

do, - mi*.

si 3 - do* mi*4 - mit

sol, - la*3

do, - la*.

mi*4 - mi 4 j soU -la*4

80 LE BÉVEIL DE LA. HrSIQrE.

On voit que pour la gamine tempérée les meilleurs intervalles, à partir de dOj , se trouvent à peu près classés dans le même ordre que pour la gamme naturelle. On pourrait examiner comme pour la gamme naturelle ce que deviennent les autres intervalles et quelles modifications y apporte le tempérament. Nous donnerons seulement le tableau présentant les harmoniques à partir de chaque note de la gamme tempérée , par analogie avec ce qui a été fait pour la gamme naturelle; il permettra de se rendre compte de tous les intervalles tempérés, comme nous l'avons expliqué pour les intervalles naturels. Pour mieux voir les différences avec la gamme naturelle, nous reporterons sur le tableau suivant , comparées aux harmoniques de chaque note, en caractères gras pour la gamme tempérée, les notes approchant de ces harmoniques dans chacun des deux systèmes. (Voir les tableaux N"' 3 et 4 ci-contre.)

On voit que pour do^, dans la gamme naturelle, sol» coïncide avec l'harmonique 3, et est au-dessous de cette harmonique 3 dans la gamme tempérée. Le mi,, dans la gamme tempérée, passe au contraire au-dessous de l'harmonique 5, qui coïncide encore avec le mi, naturel. >

Le tableau établit suffisamment les différences entre les deux gammes, et permettra déjuger, pour chaque intervalle, quand les notes ne correspondent dans aucun système avec les harmoniques, quel est le système qui s'éloigne le moins des harmoniques et est par conséquent le meilleur.

Dans ces intervalles , ou accords de deux notes, on pourra substituer à l'une des notes les redoublements à l'octave ou aux octaves de l'une ou des deux notes , ce qui modifiera les résultats dans des limites peu sensibles qu'il sera du reste facile d'apprécier, et ces intervalles compléteront l'ensemble des intervalles ou accords de deux notes différentes.

Après les intervalles consonnanls et quasi-consonnants, il resterait les intervalles dissonnants qui ne pourraient être à parlir de do, en dehors des intervalles altérés encore plus dissonnants, que do-re et do-si, c'est-à-dire les dissonnances de seconde ou de septième, que nous retrouverons dans les accords dissonnants avec suppression de notes, et d'où il vaut mieux les déduire, parce que là leur existence se comprend mieux que dans de simples intervalles où rien n'oblige de sortir des consonnances.