CE’ — CF — CC’ CE — CF’ —= CC
Que l’on se mette bien ceci en tête, puis, qu’on aperçoive ce qui suit : 1° CF” est la distance de G au foyer lointain, et CF la distance de C au foyer prochain; 2° CF est la distance de C?’ au foyer lointain, et C’E° la distance de C’ au foyer prochain. On comprendra très bien alors, ou plutôt on dira sans attendre que nous le disions :
« Les points C et C’, ou les sommets de l'hyperbole, sont placés de telle façon, que pour
chacun d'eux, sa distance au foyer lointain excède La longueur de l'entre-sommet, mais que side La distance au foyer lointain on retranche La distance au sommet prochain, le reste est juste l’entre-sommet GC.» — «Ou plus brièvement, «Cet C sont tels, que pour chacun La différence de leurs deux distances focales égale l’entre-sommet. »
Or, ce que nous disons de G et de C’ ( quisont deux points tout particuliers de l'hyperbole, puisqu'ils en sont les sommets) est vrai aussi de tous les points de cette courbe (c’est-à-dire, par exemple, que si du point p on mne pF° etpF, pF’ sera plus grand que CF’, mais aussi pF sera plus grand que CF, et qu’en retranchant ce pF de pF° on aura encore pour reste la longueur CCG ; c’est-à-dire encore que quand du point p’ on mène p’F’ et p'F, si la première ligne est beaucoup plus grande que toutes celles que nous avons vues, la deuxième aussi l’emporte sur les secondes lignes vues précédemment CF, pF, etc., et que, le retranchement opéré, on retombe encore sur une longueur CC; c’est-àdire, en un mot, que tous les points de là courbe sont tels que deux lignes étant menées d’un point de cette courbe aux deux foyers, leur différence est égale à l’entre-sommet ou à la ligne CG.
Donc la définition mathématique de l'hyperbole est : l'hyperbole est celle des courbes du second deoré à deux foyers, dont chaque point a la différence de ses deux distances focales constante.
Ainsi dans l’hyperbole, à mesure qu’un point de la courbe est plus loin du sommet, ses deux dis-
tances focales augmentent, et augmentent de la même quantité ; à mesure qu’elle est plus voisine du sommet. elles diminuent, et diminuent également : 125—95, 140—40, 150—50, 156—56, 161—61, 164—64, peuvent donner une idée de ce que sont les distances focales de l’hyperbole en retranchant la petite de la grande.
Cet axe non-transverse que nous n’avons pas représenté sur la figure, mais qui s'élève perpendiculairement à l’axe transverse sur O a deux points remarquables, l’un en haut, l’autre en bas. Ce sont ceux où aboutirait une hypoténuse menée de C ou de C?’ : appelons B et B’ ces deux points. Tirons à présent quatre lignes, savoir deux parallèles à l'axe transverse passant la première par B, la deuxième par B’, et deux parallèles à l’axe nontransverse passant la première par C, la deuxième par C’ : nous aurons un rectangle. À présent tracons dans le rectangle deux diagonales qu’on prolongera indéfiniment dans les deux sens; ces deux diagonales AS, A’ S’, embrasseront dans deux an gles qu’elles formeront (SOS’, AOA’) les deux por tions de l’hyperbole. On les nomme asymptotes. El'es ont cette propriété remarquable que toute branche d'hyperbole, à mesure qu’elle s’allonge à partir du sommet (CG ou C’) approche de l’asymptote prolongée convenablement, mais que les prolongeât-on à des millions de kilomètres, jamais la branche courbe ne rencontrera l’asymptote. La dé monstration (assez simple du reste) de cette propriété ne peut être donnée ici: il suffit de la bien comprendre, et d’en comprendre la possibilité (ce
que la série fractionnaire citée en exemple à la note de la page 30) peut faciliter. Nous ajouterons que par le centre O on peut faire passer une multitude de lignes droites : de ces lignes, toutes celles entre l’axe non-transverse et les asymptotes sont, comme l’asymptote, incapables de rencontrer l’hyperbole ; toutes celles, au contraire, qui courent entre l’asymptote et l’axe transverse, rencontreront la courbe : il en résulte qu’on peut définir les asymptotes hyperboliques Les lignes limites des droites qui rencontrent, et des droites qui ne peuvent rencontrer l'hyperbole.
