QUELQUES MOTS SUR L'HYPERBOLE

L'hyperbole est une des trois courbes du deuxiéme degré, et une des cinq sections coniques que trace à la surface convexe d’un cône un plan coupant. Les quatre autres sections sont l'angle isoscèle (ou si l’on veut le triangle), le cercle, lellipse et la parabole.

Il £a plusieurs variétés d’hyperboles ; mais la seule dont il soit raisonnable de parler ici, est l'hyperbole droite.

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La figure ci-jointe en représente une ou plutôt en représente une partie ; car entre autres propriétés l’hyperbole possède celle de s'étendre indéfiniment en deux sens.

Les portions d'hyperbole sont ici HCH' et PCP?. Les points C’ et C sont leur sommets respectifs ; CH, CH sont les branches de la première portion ; CP, CP’ les branches de la deuxième. Ce sont ces branches qui s'étendent indéfiniment, les deux premières vers le haut (et non vers le bas)

les deux secondes vers le bas (et non vers le haut) (ou si l’on faisait faire à la figure un quart de conversion, les deux premières vers la gauche, les deux secondes vers la droite).

Quelquefois on appelle hyperbole une seule des portions, alors l’hyperbole n’a que deux branches : le plus souvent les deux portions ensemble forment l’hyperbole ; quatre branches alors la composent.

Ce que lhyperbole présente de bizarre dès le premier aspect, c’est d’être ainsi formée de deux parties non contiguës : dans tout l’espace à partir de C’ et en montant, dans tout l’espace à partir de G et en baissant, la courbe a deux points placés sur toute ligne qui couperait Dd; mais dans l’espace C’C elle n’en a aucun, en termes analytiques, dans cet espace, elle n’a pas lieu.

Ladite ligne Dd qui rencontre les deux portions de l’hyperbole, l’une en C?, l'autre en C, et qui la partage en deux moitiés symétriques telles que si l’on pliait la figure dans le sens Dd, CP’ coïnciderait avec CP, et CH’ avec CH se nomme axe transverse; — et, si sur son milieu O on élevait une perpendiculaire, celle-ci (qui a nom axe nontransverse) partagerait aussi la courbe en portions symétriques, de sorte qu’en pliant le papier sur ce second axe, sa portion P’CP tomberait sur HCH (en d’autres termes, par la seconde plicature les deux branches d’une même portion se confondent , tandis que, par la première, les branches de P tombent sur celles de H, mais les branches d’une même portion divergent toujours.

Sur l'axe transverse, indépendamment de D et d qui n’ont pas de place fixe, indépendamment de C’ et de GC dont la place est déterminée, se trouvent deux autres points F’ et F. Ils sont de la plus haute importance. On les nomme foyers. Ils sont chacun à l’intérieur d’une portion de la courbe ; et du sommet respectif (C’ ou C) à chacun d'eux il y a distance, mais distance égale.

Ainsi CF’ — CF; — et (comme d’autre part O est le milieu de la distance des sommets ou de l’'entre-sommet CC), OF° (qui est OC’ + C’F)—0OF (qui est OG CF). — De plus il est clair que CG est plus petit que F°F et même que F’C ou que CF. — Mais si de CF” on retranchait C’F’, alors CF’ redeviendrait CC’ ou l’entre-sommet; et de même, si de C’F onenlevait CF, C’ F reviendrait C’G.—Voilà deux propositions bien simples : répétons-les avec un léger changement fondé sur ceci que CF=— CE (et disons dans la première CF au lieu de C’F’, dans la deuxième CF” au lieu de CF), nous aurons les deux propositions qui suivent :