COMPOSITION DES MOUVEMENTS DE ROTATION

Proposition t.

THÉORÈME

Lorsqu'un corps est animé de deux rotations autour de deux axes qui se coupent sous un angle quelconque, ces deux rotations équivalent à une seule; et, si l'on prend sur les deux axes des longueurs proportionnelles aux vitesses angulaires, et qu'on construise le parallélogramme, la diagonale représentera en direction l'axe unique et en grandeur la vitesse angulaire de la rotation équivalente aux deux autres.

La démonstration de ce théorème se trouve dans les traités élémentaires de mécanique; nous ne nous y ar-

réterons donc point, et nous renvoyons le lecteur à ces ouvrages, notamment à la Théorie nouvelle de la rota» tion des corps, par M. Poinsot.

Remarque.

Si Tune des deux rotations est engendrée par Faction continue d'une force finie, on trouve l'effet de celle-ci, en divisant le temps en un grand nombre de petits intervalles, et supposant la vitesse angulaire engendrée dans chacun de ces intervalles comme si elle était imprimée à la fin de chacun. On compose cette vitesse angulaire avec la vitesse angulaire actuelle du corps, et on trouve ensuite la limite vers laquelle on converge en augmentant indéfiniment le nombre des intervalles.

Proposition 9.

THÉORÈME

(Fig. 4.)

Si une force constante Q agit sur un corps, qui tourne autour de l'axe 01, avec une vitesse angulaire V, de manière à lui imprimer à chaque instant une rotation autour d'un axe OA tel, qu'il reste constamment compris dans le même plan MN, et qu'il soit toujours perpendiculaire à l'axe aûtour duquel te corps tourne à chaque instant, la vitesse angulaire du corps ne change point de grandeur dans tout le cours du mouvement.

Soit v la vitesse angulaire que la force Q communi-

querait au corps dans l'unité de temps, si elle agissait seule. Si Ton suppose que l'unité de temps, par exemple une seconde, soit divisée en n parties égales, la vitesse engendrée dans chacune de ces parties

sera

En composant les vitesses angulaires V et dont les axes 01, OA sont perpendiculaires, on aura pour la nouvelle vitesse angulaire du corps, au bout de ^

or = Vv* + ^.

En composant cette vitesse angulaire avec la vitesse

angulaire engendrée dans le second petit intervalle

de temps, et observant que l'axe, autour duquel elle est produite, est, par hypothèse, perpendiculaire à l'axe OV, autour duquel le corps tourne actuellement, on trouvera pour la vitesse angulaire, au bout du second intervalle de temps :

ri 1 n 2 ^ n 2

De même, au bout du troisième intervalle de temps, la vitesse angulaire sera :

et ainsi de suite.

De sorte que la vitesse angulaire, au bout du

intervalle de temps, c'est-à-dire au bout de 1", sera :

Si Ton augmente n indéfiniment, la limite de la vitesse angulaire sera :

Donc, la vitesse angulaire du corps n'est point altérée dans la première seconde. Comme le même raisonnement s'applique à toutes les secondes successives, il s'ensuit que cette vitesse angulaire ne change point de grandeur dans tout le cours du mouvement.

Proposition 3.

THÉORÈME

(Fig. i.)

Dans les mêmes circonstances que ci-dessus, l'inclinaison de l'axe de rotation du corps sur le plan fixe MN ne varie point dans tout le cours du mouvement.

De ce que, par hypothèse, Taxe OA de la rotation imprimée par la force Q reste constamment compris dans le plan MN et est toujours perpendiculaire à l'axe de la rotation actuelle du corps, il s'ensuit qu'il sera aussi toujours perpendiculaire à la projection OB de l'axe 01 sur le plan fixe.

Le triangle OBB f étant rectangle en B, nous aurons j

pour la projection de la vitesse angulaire du corps au bout du premier intervalle de temps Au bout du second intervalle de temps, la projection sera :

et au bout du n iétM intervalle ou d'une seconde :

y — . v i \J — , ^2 v ob -f » -, = v on +

En faisant croître n indéfiniment, on voit que la projection de la vitesse angulaire sur le plan fixe ne varie point dans la première seconde de temps.

Puisque la même chose est vraie pour les secondes successives, il s'ensuit que la grandeur de la projection de la vitesse angulaire du corps sur le plan fixe est constante. Par conséquent, Taxe de rotation du corps restera toujours également incliné sur le plan fixe dans tout le cours du mouvement.