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ces nombres sont dits triangulaires , parce qu'ils expriment l'aire d'un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit dépasse l'autre d'une unité.

La somme des nombres pairs consécutifs à partir de 2 est un nombre égal au produit d'un nombre par le suivant :

ces nombres expriment l'aire d'un rectangle dont un côté dépasse l'autre d'une unité; ils sont dits hétéromèques.

La somme des nombres impairs consécutifs est un carré :

C'étaient là sans doute des remarques faites sur la série des nombres, des propriétés vérifiées plutôt que démontrées. On ne conçoit pas comment un apprenti mathématicien qui ne sait rien encore pourrait être conduit par des raisonnements déductifs à de telles propositions. Si les Pythagoriciens parvinrent jamais à les démontrer, — ce que leurs procédés d'écriture rendent peu probable, — ce fut sans doute tardivement et après s'être longtemps contentés de vérifications empiriques. Or, la série des nombres étant infinie, aucune vérification empirique ne prouve qu'il n'arrivera pas un moment oti la propriété cessera d'être vraie.

En géométrie, Pythagore trouva les premières démonstrations, mais les vérités démontrées furent

sans doute trouvées avant leurs démonstrations. La géométrie était née en Egypte : c'était l'art de retrouver chaque année les limites des champs, effacées par l'inondation, art fait de règles traditionnelles empiriques. Les Egyptiens savaient que 3, 4 et 5 sont les côtés d'un triangle rectangle, propriété révélée par les dieux et qui servait aux Harpédoiiaptes à tracer la perpendiculaire à la méridiennne dans la cérémonie solennelle qui avait pour but de déterminer l'orientation des temples et des tombeaux.

Des démonstrations découvertes par Pythagore, les plus importantes sont celles du théorème du carré de l'hypoténuse et celle de l'irrationnelle y 2 , Les tables des carrés, usitées déjà chez les Egyptiens, mettaient en évidence que les nombres 3, 4 et 5, qui sont les côtés d'un triangle rectangle, ont aussi cette autre propriété que 3" + 4" = ^'• Ces mêmes tables manifestaient sans doute la même propriété pour d'autres groupes de trois nombres, lesquels se trouvent être aussi les côtés d'un triangle rectangle. Nous ne savons pas comment il démontra que les deux propriétés sont nécessairement liées; il est peu probable que sa démonstration ait été semblable à celle d'Euclide. — En ce qui concerne Tirrationnelle V~» Cantor suppose qu'il essaya des nombres fractionnaires compris entre i et 2 et que, n'en trouvant aucun dont le carré fût 2, il eut l'idée qu'un tel nombre n'existait pas; enfin, il le démontra. Son raisonne-

ment, d'après Aristote, consistait à montrer qu'un tel nombre, s'il existait, serait à la fois pair et impair. C'était une démonstration par l'absurde.

Les mathématiques modernes nous offriraient aussi, et en abondance, des exemples de propositions vérifiées empiriquement avant qu'on pût les démontrer. L'un des plus célèbres exemples est celui de l'aire de la cycloïde, que Galilée détermina en pesant deux lames de même matière et de même épaisseur, et qu'il trouva triple de celle du cercle générateur. La démonstration fut donnée ensuite par Descartes et par Wallis.

La quatrième règle de la méthode de Descartes, dont le sens est si obscur, paraît bien faire allusion aux problèmes de maxima et de minima, que l'algèbre ne savait pas encore traiter. On se bornait à montrer dans le cas du cercle, par exemple, que diverses figures isopérimètres enfermaient une surface moindre ou que diverses figures de surface égale étaient contenues dans un périmètre plus grand. C'est sur de telles questions que Descartes estime que « l'induction doit suffire ». Il fallait bien s'en contenter, 'en effet, mais provisoirement.

La méthode mathématique consiste à choisir, pour définir une notion, l'une de ses propriétés dont toutes les autres puissent se déduire. Mais on n'arrive pas du premier coup soit à connaître cette propriété, soit à apercevoir comment les autres en dérivent. On a dû nécessairement procéder par

vérifications empiriques et inductions avant de trouver le point de départ qui permet de procéder dorénavant par déduction rationnelle.

{Suite)

Les sciences de la nature tendent à connaître non seulement les choses et Tordre des choses, mais aussi les raisons intelligibles de l'ordre des choses, c'est-à-dire à devenir rationnelles et déductives comme les mathématiques.

Il nous reste à montrer que les sciences de la nature, présentement expérimentales et inductives, tendent à devenir, au terme de leur développement, conceptuelles et déductives et que, si jamais elles parviennent à leur achèvement, elles seront, comme les mathématiques, indépendantes de la réalité de leurs objets.

D'abord, si ces deux groupes de sciences étaient aussi radicalement opposés qu'on a pu le croire, il ne devrait pas y avoir de groupe mixte et intermédiaire comme celui des sciences « abstraites-concrètes » qu'Herbert Spencer a cru devoir intercaler entre les sciences « concrètes » et les sciences « abstraites ». La mécanique rationnelle est une science mathématique, seulement elle a besoin de

postulats plus nombreux que ceux de la géométrie. Quant à l'astronomie, qu'A. Comte considère comme une branche de la « physique abstraite » et qu'il ne peut s'empêcher de rapprocher des mathématiques à cause du « grand fait de la gravitation », ce serait justement un exemple d'une science d'observation qui serait devenue, par son progrès naturel, une science de raisonnement. Mais il s'en faut que cette évolution soit un fait accompli. Les astres, avec leurs mouvements, sont des réalités naturelles, des faits d'observation.

Ampère place l'astronomie au rang des sciences mathématiques, mais il fait des mathématiques elles-mêmes des sciences de la nature matérielle, des sciences « cosmologiques ». II les définit : « les sciences qui ne considèrent dans les phénomènes naturels que les rapports de quantité ». Il s'élève contre « l'idée, absolument dénuée de fondement, que les vérités dont se composent les mathématiques n'ont aucune réalité extérieure et se rapportent uniquement à des vues de l'esprit, comme si les lois mathématiques du mouvement des astres ne réglaient pas ce mouvement depuis que le monde existe, et bien avant que Kepler les eût découvertes^ ».

On peut en dire autant de toutes les lois : la loi de Mariotte réglait les volumes et les pressions des gaz avant que Mariotte l'eût découverte. Une