AVANT-PROPOS

de garder au-dedans de nous-mêmes une sorte de sérénité, de nous découvrir une joie que les pires calamités n'avaient pu troubler jusquau fond. Elle venait de la conscience de la justice de notre cause. Nous avons tous vérifié par expérience intérieure la thèse paradoxale du Gorgias de Platon, qu il vaut mieux étrevictime de V injustice que de la commettre. Nous nous sommes débattus contre le crime et nous en avons sauvé ce que nous avons pu. Mais, au moins, nous n avons pas été criminels. L'un des caractères du patriotisme français, la vraie raison de son indomptable énergie, cest notre conviction que la France ne saurait représenter dans le monde qu'une volonté de justice. Dans ce pays, oîi la puissance de l'opinion publique est plus grande et plus réelle que dans aucun autre, oîi nul pouvoir ne subsiste qu'en s'appuyant sur elle, une politique criminelle est une impossibilité, et voilà la raison la plus profonde de notre attachement à notre patrie. Aussi pouvons-nous l'aimer sans haïr les autres. Nous n'avons même pas de haine pour VA llemagne. Au cours des hostilités, ce sentiment ne se rencontrait guère chez les combattants; je ne dis pas qu'on ne l'eût pas trouvé chez les mères, mais qui ne le comprendrait ? Nous avons horreur du mensonge, de la mauvaise foi, de l'intrigue sourdement ourdie, et nous savons désormais ce que la prudence nous commande, mais nous ne sommes pas faits pour haïr. Si nous réussissons

à faire du traité de Versailles non pas une paix armée, mais une vraie paix, nous ne demandons qu'à reprendre, avec nos ressources diminuées, mais avec un courage croissant, nos efforts en vue de la justice sociale et de la justice politique, mettant notre joie et notre gloire à ce que la France soit toujours la première dans le monde à chercher en toute chose ce qui est de valeur universelle, c est-à-dire ce que la raison approuve et prescrit. Si j'avais à définir la France, je dirais que c'est le pays oit tout le monde sait que la raison seule est immortelle.

Edmond GOBLOT.

La science, création du génie grec, caractérise les civilisations issues de la Grèce antique.

La Grèce antique, mère et maîtresse de la civilisation européenne, lui a imprimé son caractère dominant : la science.

Si l'on peut ramener à une caractéristique unique le génie le plus riche, le plus complexe, le plus souple, le plus multiforme qu'ait connu l'humanité, il faut se souvenir que les Grecs sont les inventeurs des mathématiques. On trouve bien des notions de mathématiques dans d'autres civilisations originales : Égyptiens, Phéniciens, Hindous, Chinois. L'art de calculer, et par conséquent le commerce, l'art de l'arpentage, et par conséquent l'agriculture, l'art de construire des édifices stables, réguliers, orientés, eussent été impossibles sans cela. Mais ces notions se réduisaient à des règles empiriques, tandis que les Grecs ont inventé la démonstration. Toutes les productions du génie grec, surtout les plus belles, procèdent de ce même besoin d'exactitude et d'intelligibilité qui

trouve sa complète satisfaction dans le théorème euclidien.

Parmi les Grecs, l'esprit mathématique semble avoir été d'abord le privilège de la race dorienne : il en exprime le tempérament. Pendant qu'à l'occident du monde hellénique, l'arithmétique et la géométrie se constituaient avec rapidité dans l'école pythagoricienne, les sciences de la nature prenaient naissance chez les Ioniens d'Asie Mineure. Là nous voj'ons poindre les origines de la physique, de la chimie, de l'astronomie et même, quoique plus obscurément, de la biologie. Les erreurs dont ces doctrines priinitives sont pleines n'ôtent rien à la valeur de la tentative; notre science moderne aurait mauvaise grâce à les reprocher aux anciens, après les avoir si longtemps conservées et respectées *. Les Grecs ont eu l'idée d'un ordre rationnel des choses et d'une connaissance certaine et intelligible de cet ordre des choses. Avec Socrate et Platon, la notion de science s'étend à la nature psychologique, morale et sociale de l'homme, et l'œuvre encyclopédique d'Aristote témoigne que le domaine entier de la science est désormais exploré.

N'est-ce là qu'un aspect du génie grec? Un historien de la science et de la philosophie peut être enclin à voir la civilisation hellénique par son

1. C'est seulement Lavoisier qui a renversé la doctrine des quatre éléments ; les astronoaies du xvie et même du xvii^ siècles croyaient encore à la musique des sphères célestes ; les médecins du xvn>' siècle puisaient leur savoir dans Hippocrate.

INTliOtJUCtlbN 7

côté scientifi<lue et philosophique. Un historien sera surtout frappé de cet amour de rindépendance et dé cette générosité natives qui éclatent dans les miracles dés Thermopyles, de Marathon, de Sâlamine. D'autres vanteront cette politesse et cette humanité du siècle de Périclès et des siècles suivants, que les plus policées des sociétés modernes n'ont point égalées. D'autres enfin se borneront à saluer le plus g^rand des peuples artistes. Mais leé arts et les lettres de là Grèce antique manifestent justement le même esprit, le même besoin d'Ordre et de rigoureuse exactitude, de raison et d'intelligibilité, qui leur a fait inventer les mathématiques. Paul Tannery a démontré que les Eléments d'Euclide ont fait oublier, en les dépassant, une série d'écrits analogues : on composait une géométrie nouvelle quand on avait trouvé des démonstratidris plus rigoureuses, un ordre plus rationnel dans l'enchaînement des théorèmes, un choix plus judicieux et plus économique des définitions et des postulats. Pareillement, si l'on compare en les rangeant selon l'ordre chronologique les profils des temples en partant, s'il s'agit de l'ordre dorique, du vieux temple de Corinthe, représenté par un unique fragment de colonne, et des temples de Sélinonte et d'Agrigente, et en allant jusqu'au Parthénon, on trouve que les Grecs ont cherché, en les rectifiant progressivement, les proportions qui rendent à l'oeil et à l'esprit l'effet le plus sâtisfaisailt. Et cela est vrai de tous les détails de l'ar-

chitecture. M. Maxime Collignon l'a montré en rapprochant sur un même graphique les profils de l'échiné du chapiteau dorique aux époques successives; cette figure fait saisir l'effort persévérant qui aboutit, dans le Parthénon, à la forme la plus élégante et la plus pure, à la courbure qui n'est ni lourde ni maigre, ni molle ni sèche. En toute chose, les Grecs cherchent un canon, une norme dont l'artiste ne s'écartera plus quand elle sera trouvée. Tandis que l'artiste moderne vise à être original, à manifester sa personnalité, l'artiste grec s'applique à l'effacer pour manifester /û beauté, et donner à son œuvre la valeur universelle et l'impersonnalité de la science.

La sculpture grecque est assurément expressive et, comme elle a le plus souvent pour but de figurer les dieux ou les grands hommes, elle est aussi idéaliste. Mais d'abord elle se distingue par l'imitation exacte de la nature. Les Grecs ne pensaient pas qu'il fût possible de donner à l'image du corps humain le rayonnement de la beauté, le sourire de la grâce ou le geste de la passion avant de s'être assuré de la correction de cette image. Aussi sontils arrivés, dans la reproduction delà figure humaine, à une vérité que la sculpture des autres peuples, sauf ceux qui les ont pris pour modèles, n'a jamais égalée ni même cherchée. On peut suivre, depuis les çciocva archaïques jusqu'à Phidias, une progression d'exactitude comparable à celles dont nous venons de parler et qui aboutis-

sent aux profils du Parthénon dans l'ordre de l'architecture, aux Éléments d'Euclide dans celui de la géométrie.

Cette manière de procéder suppose ce principe implicite : le vrai est la condition du beau. Et les Grecs semblent en effet convaincus que c'est par le vrai, qui est en lui-même le plus grand des biens, qu'on peut arriver à tous les autres biens. Or c'est là le principe même de la science. Toute faute est la conséquence d'une ignorance ou d'une erreur ; toute faute est une erreur. Il en est de même de tout insuccès. C'est pourquoi les Grecs cherchent en toute chose uii canon et une t^s/vv). Lorsque les cités doriennes de Sicile, unies aux Sicéliotes autochtones, vont demander l'appui des Athéniens pour secouer la domination de Syracuse, les deux hommes qu'ils envoient à Athènes se trouvent être les inventeurs d'une té/vyi. Ce talent qui conférait une si grande puissance dans les cités démocratiques, l'éloquence, Tisias et, avec beaucoup plus d'éclat, Gorgias en faisaient un art méthodique, susceptible d'être enseigné, et Gorgias se flattait de faire un habile orateur de quiconque venait suivre ses leçons ; il semble que ce soit à regret qu'on se résigna par la suite à faire leur part aux dons et dispositions naturels, tant on avait confiance en la vertu du savoir. L'ambition des Grecs est d'exécuter tout ce qu'ils entreprennent d'après des règles claires, certaines et fondées. Cette chose si familière, le langage,

10 LE SYSTÈME bfeS SCIENCES

ils se sont avisés qu'elle avait ses lois et ses règles ; les grammairiens grecs ont été les modèles et les maîtres de tous les grammairiens de l'univèrs.

La littérature grecque, sans en excepter la poésie, est aussi toute pénétrée de l'esprit de la science. Ce goût de l'ordre et de là mesure, ce besoin de précision et de clarté, ce constant appel à là raison, qui ont fait des Grecs les maîtres de toutes les littératures du monde européen, sont des qualités de l'esprit scientifique. 11 en est de même de cette attitude critique qui discipline la pensée sans la paralyser. Les Gtecs ont assurément l'imagination féconde, la sensibilité vive et fine; mais c'est à l'intelligence, avant tout, que leurs écrivains s'adressent; c'est par la pensée qu'ils atteignent le cœur, l'imagination, même les sens. Dans leurs écrits les plus passionnés comme les plus mystiques, ils raisonnent, ils veulent prouver et faire comprendre. Ce n'est pas sans motif que le même mot Xôyoç signifie chez etix le langage, la raison et la relation mathématique. C'est que, pour eux, le langage est l'expression objective, formulée de la relation intelligible, dont le rapport mathématique est la forme la plus parfaite. Ils ne concevaient pas que l'homme pût parler sinon pour chercher à exprimer quelque aspectde l'ordre et de la raison des choses.

Enfin, il n'est pas jusqu'à ces vertus héroïques de la Grèce de Thémistocle, jusqu'à cette charmante

et délicate urbanité des Athéniens de l'époque classique, qui ne puissent être considérées comme la physionomie naturelle d'un îîeuple né pour la Science. Sans compter que l'amour de la vérité et de la raison ne réside qu'en des âmes d'élite et les ennoblit encore, ce que les Grées défënditerit à Marathon et à Salamine, c'était la liberté dé régler leurs affaires eux-mêmes, par des délibérations communes; c'était donc lé droit de compter sutleur propre sagesse plutôt que d'abandonner letirs destinées à un maître quelconque, fût-il bienfaisant. Délibérer, c'est chercher ensemble le parti le plus sage^ le plus raisonnable, celui qui résiste le mieux aux assauts des objections et des critiques. L'indépendance est plus chère que la vie à qui prétend se conduire en toutes choses selon la vérité et la raison. Quant à cette politesse dont, par exemple, les dialogues platoniciens nous offrent un si ravissant tableau, ce sont les mœurs d'une société qui tient avant tout à la vie de l'intelligence et qui s'est exercée par une longue et constante pratique à respecter les droits de l'intelligence.

Il ne serait pas vrai de dire que tout, dans la civilisation grecque, est l'effet et le produit de la science, mais tout y est l'expression d'un caractère ethnique éminemment apte à la science et dont l'idéal est de demander à la raison la direction générale de la vie.

Je ne m'arrêterai pas longuement sur le fôlè

immense que joue la science à toutes les époques de la civilisation européenne et dans toutes ses manifestations. Il me suffira de rappeler que, chaque fois que cette civilisation s'est détournée delà science, elle a subi un arrêt ou un recul et que, par contre, chaque retour à la science fut une renaissance. Et chacune de ces renaissances est aussi un retour aux maîtres helléniques. Cela n'est pas seulement vrai de l'histoire générale ; on le remarque encore dans le détail des histoires nationales. Héritière de la civilisation grecque, Rome y ajoute des éléments qui lui sont propres : elle eut le génie de l'administration politique et économique. Mais ces grands administrateurs romains, même ces hommes de guerre, qui étaient surtout des ingénieurs militaires, étaient imbus des lettres grecques. Oui sait si ce n'est pas là qu'ils avaient puisé cet esprit d'ordre, de méthode, de logique, de clarté qui les rendit capables d'organiser le monde? Plus tard, ce sont les Grecs retrouvés, par l'intermédiaire des Latins sous Charlemagne, des Arabes au xiii'^ siècle, dans les sources directes à la fin du xv^, qui font revivre une civilisation languissante, en lui rendant l'esprit de la science, la curiosité du vrai et l'amour du rationnel. Il semble que le monde européen retourne à la barbarie dès qu'il oublie ou méconnaît la Grèce, que la civilisation européenne ne puisse ni croître ni subsister dès qu'elle n'est plus en connexion avec ses racines helléniques, qu'elle ne retrouve

INTRODUCTION l3

sa sève qu'en se retrempant aux sources vives d'où elle est primitivement sortie. D'autres civilisations, indépendantes de la nôtre, ont pu, à certaines époques, l'égaler, la devancer, lasurpasser, surtout en raffinement. Elles peuvent se passer de la science et de l'esprit critique parce qu'elles n'en sont point issues ; peut-être sont-elles incapables de survivre à l'invasion de la science européenne : ce qui est vital pour nous est mortel pour elles. Elles se maintiennent par le respect superstitieux ou la défense autoritaire de traditions dont la valeur est tout empirique ; réfractaires à toute innovation, elles ne progressent que par l'observation plus précise, plus subtilement nuancée, de règles éprouvées par un long usage. Notre civilisation, au contraire, est en péril dès qu'elle cesse de se transformer et de s'accroître.

Puisque la science et l'esprit de la science ont pour nous une importance aussi vitale, il est intéressant de rechercher quelle est la nature de cette science, quels sont ses caractères essentiels, ses articulations, ses tendances, son idéal, seslimites, si, au delà de ces limites, il y a quelque autre mode de connaissance, quelque forme de pensée humaine qui puisse au besoin suppléer à l'insuffisance du savoir positif ou même lui être opposé et entrer en concurrence avec lui.

Il serait d'une mauvaise méthode de commencer par un concept construit par l'esprit, par une définition plus ou moins arbitraire de la science

14 I-E SYSTEMS PPS SCIENCES

pu d'un idéal de science, pour chercher ensuite les conditions de sa réalisation. Les logiciens n'ont que trop abusé de l'a priori. Sans tomber non plus dans l'excès de certains empiristes qui, se défiant des théories et des systèmes, réclament « des faits et rien que des faits », je croirais m'engager dans uqe voie périlleuse si je ne commençais par étudier en observateur la science telle qu'elle est, en la traitant comme un fait. Nous commencerons donc par parcourir, à la manière d'un explorateur, le domaine de la science, examinant ses acquisitions positives, les unes définitives ou généralement considérées comme telles, les autres plus ou moins révisables, puis son effort d'investigation, ses tendances, ses idéals. Nous nous efforcerons de déterminer l'objet de chacune des sciences, d'en marquer les limites, de reconnaître les relatious qu'elles soutiennent entre elles, particulièrement leurs relations de subordination et de dépendance. Cette étude, partie essentielle de Vépistémologie, est ordinairement désignée sous Ip nom de classification des sciences. L'exprçssipn est impropre * : il ne saurait y avoir classification là où il n'y a pas de classes. Une classe est un groupe idéal d'objets, en nombre indéfinit qui ont des caractères comil^uiis. On peut classer, par exemple, les animaux parce qu'il y a un nombre infini d'êtres singuliers

^. Je l'ai moi-même employée, conformément à la tradition d'A. Comte et d'Ampère : Essai sur la classification des scien-

INTRODUCTION l5

qui ont les caractères du chien, du cheval qù de l'homme. On ne peutpas classer les sciences parce que chaque science est un objet singulier et que le nombre des sciences est limité. Il n'y a pas ici de genres et d'espèces, mais un ordre de subordination nécessaire : c'est le système de la science humaine que nous allons essayer de décrire.

Ce n'est pas ici le moment de donner une définition de la science. C'est plutôt à la fin de notre étude que nous pourrons en saisir les caractères essentiels. Pourtant j'indiquerai, d'ores et déjà, sans les justifier, sans par conséquent demander l'adhésion du lecteur, deux de ces caractères, parce qu'ils sont de nature à jeter de la lumière sur ce qui va suivre.

La pensée ne revêt le caractère de la science que lorsqu'elle a une valeur universelle. Je ne veux pas dire par là que la science est la connaissance de l'universel. Nous verrons, au contraire, en dépit du célèbre aphorisme d'Aristote, qu'il y a connaissance scientifique des objets singuliers : l'Histoire et la Géographie sont des sciences. Je veux dire qu'une connaissance n'est scientifique qu'autant qu'elle est valable pour tout esprit. A la science s'oppose l'opinion individuelle et même la croyance collective si elle n'est pas pourvue des moyens de se rendre universelle.

Le second caractère, qui dérive d'ailleurs du premier, est que la science consiste à isoler l'iatelligence, à la contraindre à opérer comme si

l6 LE SYSTÈiME DES SCIENCES

elle était, en fait, indépendante du reste de notre nature, capable de se soustraire à l'influence des instincts et des sentiments. Les enfants, les peuples primitifs, les esprits peu éclairés, les savants eux-mêmes, en ce qui concerne leurs opinions non scientifiques ou leurs opinions scientifiques imparfaites, ont des jugements qui ne sont pas l'œuvre de l'intelligence seule. Ils peuvent être cependant des « représentations collectives », communes parfois sans exception à tous le*s membres d'une société donnée. Ils n'en sont pas moins dépourvus de valeur universelle. Souvent nos jugements sont accueillis ou formés par nous parce qu'ils s'installent en nous facilement et commodément, parce qu'ils n'y rencontrent pas de résistance, parce qu'ils s'harmonisent avec nos inclinations ou nos répugnances, parce qu'ils favorisent la réalisation de nos fins. Le jugement, c'est-àdire l'affirmation et la négation, est en effet un acte tout à fait comparable aux résolutions pratiques de la volonté ; l'examen critique qui précède, suspend et enfin détermine le jugement réfléchi est semblable à la délibération qui précède, suspend et détermine les décisions volontaires. Or il s'agit d'obtenir que cette décision de l'intelligence, le jugement, ne soit pas influencée par des éléments non intellectuels, — qu'en fait il est pourtant impossible d'éliminer, — et qu'on sache qu'elle n'est pas influencée. A ce prix seulement la pensée peutavoir une valeur universelle. Un de mesamis,

qui d'ailleurs approuve cette doctrine, m'a écrit un jour que l'entreprise était aussi paradoxale que de marcher sur la tête. La pure intellectualité du jugement scientifique n'est pourtant pas d'autre nature que l'impartialité de la sentence du juge, laquelle doit être entièrement et uniquement déterminée par les faits de la cause et les articles de la loi. Dans les deux cas, il faut savoir que le jugement est l'œuvre de l'intelligence seule ; là est la difficulté : il n'est pas aisé de découvrir comment nous pouvons avoir une telle certitude. Avoir cru que c'était possible est le trait le plus original et le plus caractéristique de l'esprit grec et de toute la civilisation qui en a procédé.

Sciences de pur raisonnement et sciences d'observation. — Leur contraste tient plutôt à leur inégal degré d'avancement qu'à l'essence de leurs objets. — Rôle de l'expérience et de l'induction à l'origine des mathématiques.

L'ensemble de la science humaine paraît se diviser en trois groupes : sciences mathématiques, sciences physiques et naturelles, sciences morales.

Les sciences morales, presque aussi anciennes que les autres, sont beaucoup moins avancées : leurs plus précieuses acquisitions ne revêtent que d'une manière imparfaite les caractères de la science ; elles n'ont encore fixé ni leurs objets, ni leurs principes, ni leurs méthodes. Mais elles prétendent devenir un jour aussi positives, aussi précises, aussi rigoureusement démonstratives que le sont aujourd'hui les sciences physiques et naturelles. Elles y réussiront plus lentement parce que leurs objets sont plus complexes, plus fuyants, plus difficiles à noter, à mesurer, à fixer dans des formules, aussi et surtout parce que leurs

progrès dépendent de ceux des sciences physiques et naturelles. La nature psychologique et sociale de l'homme et des autres animaux s'appuie sur leur nature organique comme leur organisation et leurs fonctions s'appuient sur la nature et les lois physico-chimiques des matériaux dont leurs corps et leurs aliments sont formés. Les sciences morales sont moins avancées que les autres sciences naturelles, parce que leurs objets sont plus difficiles à connaître. Il ne faut pas se hâter d'en conclure que ces objets soient par essence réfractaires à la connaissance scientifique.

Il faut aussi tenir compte de ce fait que mathématiciens, physiciens et naturalistes ont reçu la même formation scientifique, ont à peu près les mêmes habitudes d'esprit, siègent dans les mêmes académies, tandis qu'on s'achemine à l'étude de la psychologie, de l'histoire, de la sociologie par une éducation surtout littéraire. Les premiers se nomment et sont nommés savants, se considèrent volontiers comme les seuls vrais titulaires du domaine scientifique, et ne voient dans les autres disciplines que littérature.

La distinction entre le physiologiste, par exemple, et le psychologue n'est pas du tout profonde. Elle paraît l'être parce que le premier est plus riche de résultats positifs et contrôlés que le second. Elle s'efface complètement aux yeux de la pathologie mentale. La distinction entre les mathématiques et les sciences de la nature l'est bien

davantage. Celles-ci ont pour objet les faits et les lois qui les régissent; elles se proposent de connaître et d'expliquer ce qui est. Celles-là sont indépendantes des faits et n'ont pas besoin, pour être vraies, que leurs objets soient réels. Le mathématicien crée une notion, nombre ou fonction, cercle ou triangle; il la définit, sans qu'elle ait besoin d'autre réalité que celle que la définition lui confère : il suffit qu'elle soit concevable. Puis il en construit la théorie, en déduisant toutes les autres propriétés qui résultent logiquement de celle qu'il a choisie pour la définir, sans jamais utiliser une preuve expérimentale, car ce qui est empiriquement vrai n'est pas pour cela mathématiquement vrai : l'expérience, en effet, peut bien montrer qu'une chose est sensiblement waie, vraie avec le degré d'approximation que comportent nos sens et nos instruments; mais le mathématicien veut que les propositions qu'il avance soient vraies absolumeîit. En outre, l'expérience prouve seulement qu'une proposition est vraie; pour le mathématicien, il faut, de plus, qu'elle soit intelligible. Le mathématicien construit donc, sans autre instrument que sa pensée, une science dont les objets n'ont de réalité que dans sa pensée. La géométrie du triangle ne suppose pas qu'il existe des triangles. Il n'y en a probablement pas; en tout cas, je n'en ai jamais vu. Je ne connais pas dans le monde sensible de surfaces absolument planes, ni de lignes parfaitement droites, ni de lignes quel-

conques. Et, s'il n'y avait aucun monde sensible, la géométrie ne cesserait pas pour cela d'être vraie.

Le physicien étudie des choses qui existent, d'une existence matérielle et sensible, et, bien qu'il déduise et démontre lui aussi, à l'occasion, comme sa démonstration consiste à appliquer des principes qui sont des lois inductivement prouvées, c'est toujours, en somme et en dernière analyse, sur l'observation des faits que repose la certitude de ce qu'il avance. A vrai dire, l'objet du physicien n'est pas tant les faits que l'ordre qui les régit. Encore s'agit-il de l'ordre auquel les faits obéissent réellement et pas du tout de celui qui constituerait un monde imaginaire; ce que le mathématicien ne s'interdit nullement.

Le contraste entre les mathématiques pures et les sciences de la nature paraît donc absolu. Les premières ne s'occupent pas de ce qui est réel ; elles déterminent a priori les conditions de possibilité des choses en ce sens que, dès qu'il y aura des choses où les hypothèses mathématiques seront données, les conséquences de ces hypothèses y seront également et nécessairement données. Elles laissent aux sciences de la nature le soin d'établir ce qui, dans le monde où nous vivons, est effectivement donné.

A ces deux groupes de sciences correspondent deux méthodes et, par conséquent, deux logiques : celle de la déduction, créée par Aristote, celle de l'induction, créée par Bacon, qui se sont juxtapo-

sées sans se pénétrer dans la tradition philosophique. C'est ce que j'ai nommé dualisme logique.

Nous allons voir que cette distinction, si saisissante qu'elle soit, n'est pas profonde, c'est-à-dire qu'elle ne tient pas à la nature des objets des sciences, mais à leur degré d'avancement. Il nous faut, pour cela, montrer : i" que les mathématiques ont été primitivement empiriques et inductives; 2" que les sciences de la nature tendent à devenir, comme les mathématiques, conceptuelles et déductives.

Il n'est personne qui n'ait eu recours — provisoirement et faute de mieux — à des procédés empiriques pour s'assurer de la vérité d'une proposition de mathématiques. Quand on cherche la solution d'un problème, il arrive qu'on la soupçonne sans y être conduit par le raisonnement : on a fait une hypothèse, on en cherche la démonstration. Mais, se dit-on, je perdrai mon temps et ma peine si je cherche à démontrer une proposition qui n'est pas vraie. En attendant de la démontrer, on la vérifie en se donnant des cas singuliers : des nombres, s'il s'agit d'arithmétique ou d'algèbre, des figures, s'il s'agit de géométrie; on fait un calcul ou une construction, c'est-à-dire une expérience. Si le résultat est tel que l'hypothèse le faisait prévoir, si l'on aboutît à une identité ou à une coïncidence, le succès peut être dû à un accident, à une propriété singulière des nombres qu'on a choisis ou de la figure qu'on s'est donnée ; on

'science pure et science empirique 23

recommence sur d'autres nombres ou sur une autre figure. On arrive ainsi à une probabilité, parfois à une certitude. On ignore encore la raison démonstrative de la vérité qu'on a découverte, mais on peut la chercher avec plus d'assurance.

En mesurant au rapporteur les angles à la base de plusieurs triangles isocèles, en mesurant les côtés de divers triangles rectangles, on pourrait s'assurer empiriquement qu'on trouve toujours, dans le premier cas, des angles égaux, dans le second, des nombres tels que le carré du plus grand soit égal à la somme des carrés des deux plus petits. Un enfant qui, jouant avec un compas, construit dans un cercle la rosace à six branches, vérifie empiriquement le théorème que le côté de l'hexagone régulier est égal au rayon du cercle circonscrit.

Historiquement, les mathématiques ont procédé ainsi à l'origine.

Les Grecs distinguaient deux sciences relatives aux nombres : la Logistique et X Arithmétique. La logistique était Xart de calculer, l'arithmétique la science des nombres. Une scoîie sur le Charmicle de Platon nous apprend qu'on s'est longtemps servi, pour la multiplication, de deux méthodes : l'Égyptienne et l'Hellénique. L'Égyptienne est purement empirique. Pour multiplier par 3, on ajoutait le multiplicande à son double. Pour multiplier par 7, on triplait le multiplicande et on l'ajoutait au double de son triple. On faisait

grand usage de calculs tout faits, ^abaques donnant les résultats des opérations les plus fréquemment nécessaires. Enfin on se servait de jetons que l'on disposait en tas, rassemblant ou séparant ces tas pour les compter ensuite : le Malade imaginaire se sert encore de ce procédé pour vérifier la note de son apothicaire. — La méthode hellénique était pénible, à cause du système de numération écrite des Grecs, analogue d ailleurs à celui des Romains. II fallait autant d'opérations partielles qu'il y avait de signes différents pour représenter divers ordres d'unités. Le procédé ressemblait à celui que nous employons encore pour calculer des nombres composés de degrés, minutes et secondes, de livres, shillings et pence. Mais celui-ci est beaucoup moins empirique.

L'arithmétique proprement dite, œuvre des Pythagoriciens, était assez différente de la nôtre. Elle consistait à signaler des propriétés curieuses de certains nombres et séries de nombres. Ils distinguèrent des nombres pairs, impairs et pairsimpairs, des nombres premiers, des nombres carrés, triangulaires, hétéromèques. Ils établissaient des propositions comme celles-ci :

La somme des nombres entiers consécutifs à partir de l'unité donne toujours un nombre égal à la moitié du produit d'un nombre par le suivant, ce que nous écririons ainsi :