Le ms. n° 7.371 porte : linearum

2. Oresme, Op. laud., pars I, cap. V : De figuratione qualitatis; ms. n° 7.371, fol. 218, r°; ms. n° i4-58o, fol. 38, col. c.

3. Oresme. Op. laud., pars. I, cap. VIII : De qualitate trianguli rectanguli; ms. n° 7.371, fol. 219, r° et v°; ms. n° i4-58o, fol. 38, col. d, et fol. 3g, col. a.

4. Oresme. Op. laud.., pars I, cap. I, cap. IX : De qualitate aliter triangulari; ms. n° 7.371, fol. 220, r°; ms. n° i4.58o, fol. 3g, coll. a et b.

Un rectangle 1 figure une qualité dont l’intensité est la même en tous les points de la ligne qui lui sert d’extension. « Une telle qualité est dite uniforme (unijormis) ou d’intensité égale en toutes ses parties. »

Si la ligure représentative est un trapèze dont les deux bases sont les deux perpendiculaires élevées à la longitude en ses deux points extrêmes, la qualité correspondante « est dite qualité uniformément difforme terminée de part et d’autre à un certain degré. — Qualitas uniformiter difformis utrinque terminata ad graduai ».

« Toute autre qualité linéaire est dite difformément difforme (dlfformiter difjormis) 2 3. » Mais en la multitude de ces qualités uniformément difformes, Oresme cherche à introduire un certain ordre. Toutefois, le choix du principe qui va servir à établir cette classification suppose qu’on ait au préalable examiné une certaine difficulté ; en cet examen, le sens logique de l’auteur va nous apparaître singulièrement sûr et affiné.

Toute qualité linéaire, dit-il, peut être représentée par une figure élevée perpendiculairement sur la ligne qui lui sert d’extension, pourvu que la hauteur de la figure soit proportionnelle à l’intensité de la qualité. Une figure élevée sur la ligne informée par la qualité est dite proportionnelle en hauteur à l’intensité de la qualité lorsque toute droite élevée, e-n un point de la base, perpendiculairement à cette base, et prolongée jusqu’à la ligne qui termine supérieurement la figure, a une hauteur proportionnelle à l’intensité de la qualité qui affecte le même point...

» Mais, sur une même ligne ÀB, on peut élever plusieurs figures planes qui soient, en hauteur, proportionnelles les unes aux autres, et qui soient les unes plus grandes et les autres plus petites... Il en résulte que la même qualité de la ligne AB peut être indifféremment représentée par l’une quelconque de ces figures.

» Toutefois, si cette qualité a été représentée à l’aide de l’une des figures dont il s’agit, tant que l’on gardera cette représentation, une qualité dont l’intensité sera analogue à celle de la première, mais sera partout double de cette première intensité, sera

i. Oresme, Op. laud., pars I, cap. X : De qualitate quadrangulari ;

ms. n° 7.371, fol. 220, v° ; ms. n° i4.58o, fol. 3g, col. b.

a. Oresme, Op. laud., pars I, cap. Xt : De qualitate uniformi et difformi; ms. n° 7.371, fol. 220, v° ; ms. n° i4-58o, fol. 3g, coll. b et c.

3. Oresme, Op. laud., pars I, cap. VII : De figurarum coaptationc;

ms. n° 7.371, fol. 218, v° et fol. 21g, r°; ms. n° i4-58o, fol. 38, coll. c et d.

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représentée par une ligure analogue à la précédente, mais deux fois plus haute ; en quelque rapport que la seconde qualité soit plus petite ou plus grande que la première, en ce même rapport sera la hauteur de la seconde figure à la hauteur de la première.

)) Néanmoins, au début, la première qualité eut pu être représentée par une ligure plus grande ou plus petite en telle proportion que 1 on eût voulu choisir ; ces diverses ligures eussent pu être prises inégales en grandeur et dissemblables d’aspect ; mais elles eussent été, les unes aux autres, proportionnelles en hauteur. »

En langage moderne, nous traduisons ce passage en disant que la longueur par laquelle 1 unité d’intensité sera représentée peut être choisie arbitrairement ; que, par conséquent, une même qualité peut être représentée par une infinité de figures distinctes ; que toutes ces figures peuvent se déduire de l’une d’entre elles par une opération qui laisse les abscisses invariables et multiplie toutes les ordonnées par un même nombre arbitraire.

Pour qu’une propriété de la figure qui représente une qualité puisse être regardée comme une propriété de cette qualité même, il faut que cette propriété demeure invariable lorsque la figure éprouve la transformation que nous venons de définir.

C'est ce que Maître Nicole Oresme a vu avec une parfaite lucidité ; avant de conclure d’une propriété de la figure représentative à une propriété de la qualité même, il a toujours soin de s'assurer que la première propriété est caractère invariant en la transformation par multiplication des ordonnées.

Par exemple, il ne déclare pas d’emblée que le fait d’être représentée par un triangle rectangle dont l'angle droit a la longitude pour côté, caractérise une certaine manière d’être de la qualité, celle que désigneront les mots : qualité uniformément difforme terminée à une intensité nulle. Il commence par établir 1 que (( toute qualité représentable par un triangle rectangle dont l’angle droit a la longitude pour côté, peut être représentée par tout autre triangle rectangle qui aurait un angle droit placé de même, et ne peut être représentée par aucune autre figure ». 11 raisonne de même 2 avant de définir la qualité uniforme.

11 est des propriétés géométriques qui ne demeurent, pas invariables dans l’opération qui augmente ou diminue toutes les ordon-

1. Oresme, üp. laud., pars I, cap. VIII : De qualitatc trianguli rectangnli; rns. n° 7.371, fol. 219, r°; ms. n° i4.58o, fol. 38, col. d.

2. Oresme, Op. laud., pars 1, cap. X : De qualitate quadraugulari ; rns. n° 7.371, fol. 220, v°; ms. n° i4.58o, fol. 89, col. b.

nées dans un même rapport ; ces propriétés-là ne peuvent figurer une propriété de la qualité représentée.

Supposons, par exemple 1, qu’une qualité ait été représentée par un demi-cercle dont le diamètre figure la ligne que cette qualité affecte. On pourra également représenter cette même qualité par une figure plus haute que ce demi-cercle, et plus haute en telle proportion qu’on voudra, ou bien par une figure moins haute, et moins haute en telle proportion qu’on voudra.

Ces figures obtenues en augmentant ou en diminuant dans un certain rapport fixe toutes les ordonnées d’une demi-circonférence sont des demi-ellipses. Oresme n’était pas assez géomètre pour découvrir cette vérité ; il n’a osé énoncer et prouver qu’une proposition moins complète : « La figure, moins haute que la demicirconférence, par laquelle cette qualité peut être représentée, est-elle un arc de cercle P Je laisse ce point à discuter. Mais je dis qu elle ne peut être représentée par aucune figure plus haute que le demi-cercle et qui soit une portion de cercle. ))

Cette proposition suffit cependant à justifier la conclusion que formule notre auteur : « La courbe qui termine cette figure plus élevée n’est pas circulaire et, toutefois, elle termine une figure qui est proportionnelle en hauteur à celle que termine une demi-circonférence ; ainsi, deux figures dont l une a une courbure circulaire et l’autre une courbure non circulaire peuvent être proportionnelles l’une à l’autre en hauteur. »

J Ai fait d’être figurée par une ligne qui est. une portion de cercle n’est donc pas un caractère intrinsèque de la qualité étudiée. Oresme n’y fera pas appel pour classer les qualités difformément difformes.

La difformité difforme simple (simplex difformis difformitas) sera caractérisée 2 par ce fait que la ligne figurative est formée par une seule ligne courbe qui, en tout son parcours, tourne sa convexité dans le même sens. Convexe ou concave, cette ligne peut être rationnelle, c’est-à-dire circulaire, ou irrationnelle, c’est-à-dire non circulaire ; mais une même qualité peut être représentée indifféremment soit par une ligne rationnelle, soit par une ligne irrationnelle.

Si, laissant de coté les propriété intrinsèques de la qualité, nous considérons seulement les propriétés géométriques de la

1. Oresme, Op. laud., pars I, cap. XIV : De simplici difformiter difformi; ms.' n0 7.371, fol. 222, v° et fol. 223, r°; ms. n° i4.58o, fol. 4o, coll. a et b.

2. Oresme, Op. laud., pars. I, cap. XV I)e quatuor generibus difformiter difformis; ms. n° 7.371, fol. 223, r° et v°; ms. n° i4-58o, fol. 4o col. c.

OUHEM. - T. VII.

LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIV® SIECLE

représentation figurée, nous avons à distinguer quatre genres de difformités difformes simples :

La difformité rationnelle connexe,

La difformité rationnelle concave,

La difformité irrationnelle convexe,

La difformité irrationnelle concave.

Si nous y joignons 1 :

L’uniformité,

La difformité uniforme,

nous voyons que les figurations simples sont au nombre de six-

Mais nous pouvons obtenir des figurations composées, en chacune desquelles se suivent deux ou plusieurs figurations simples.

Ces figurations composées, Oresme les classe en espèces d'autant plus complexes qu’il faut, pour les former, emprunter des figurations simples à des genres plus nombreux. Ainsi, chacune des espèces les moins complexes sera formée au moyen de figurations simples empruntées toutes au même genre ; pour former une figuration dont l’espèce appartienne au second degré de complexité, il faudra employer des figurations simples de deux genres différents ; et ainsi de suite. « Dès lors, par les règles de l’Arithmétique, il en résulte ceci 2 * : De chaque genre simple pris isolément, on peut effectuer une et une seule combinaison et composition, ce qui nous donne 6 espèces de difformité difforme composée. Au moyen des genres simples pris deux à deux, il se forme des combinaisons et espèces composées jusqu’à i5. De ces genres pris trois à trois, il en naît 20. Des genres simples pris quatre à quatre, il en naît i5. De ces genres pris cinq à cinq, il en résulte 6. Enfin, de tous ces genres pris ensemble, il en résulte une seule. Nous avons dont-, en somme, 62 espèces de difformités difformes composées. Il y a ainsi 66 genres de difformités difformes, un de difformité uniforme et un de simple uniformité. »

On le voit, au temps d’Oresme, la formule relative au nombre

1. Ohesme, Op. laud,., pars I, cap. XVI : De difformitate composita et qualitate

hujusmodi sccundum species; ms. n° 7.371, fol. 223, v9 et 224, r°;

ms. n9 i4.58o, fol. 4o, cofl. c et d.

2. Dans le ms. n° 7.371, plusieurs des nombres qui vont suivre ont été inexac¬

tement copiés.

des combinaisons était regardée comme une règle courante d’Arithmédque 1.

Jusqu ici, nous avons vu Nicole Oresme étudier comment on peut représenter graphiquement, à l’aide de deux coordonnées rectangulaires, la longitude et la latitude, les variations d une propriété mesurable ; mais rien, dans ce que nous avons cité, ne permet de dire qu il ait entrevu la Géométrie analytique, qu’il ait compris l’équivalence qui fait correspondre l’une à l’autre une certaine représentation graphique et une certaine relation algébrique entre les valeurs simultanément variables de la longitude et de la latitude. Pour parvenir au point d’où cet aperçu peut être saisi, un nouveau progrès est nécessaire.

Que notre auteur ait au moins fait les premiers pas dans cette voie, il est, croyons-nous, difficile de le nier, après avoir lu les lignes suivantes 2, qui viennent aussitôt après les définitions géométriques des termes : uniforme, uniformément difforme :

« Les dites variations des intensités ne sauraient être mieux, ni plus clairement, ni plus facilement expliquées et notées que par de semblables imaginations, rapports et figures ; on en peut donner, toutefois, d'autres descriptions ou notifications qui, d’ailleurs, sont également connues par les figures que l’on imagine de la sorte. Ainsi, on peut dire que la qualité uniforme est celle qui est également intense en toutes les parties du sujet ; que la qualité uniformément difforme est telle que, trois points quelconques [du sujet] étant donnés, le rapport de la distance entre le premier et le second à la distance entre le second et le troisième est comme le rapport de l’excès d’intensité du premier sur le second à l’excès d’intensité du second sur le troisième. — P redicte dijferentie intensionum non melius nec clarius nec facilius declarori vel notari possunt 3 per taies ymaginationes et relationes et figuras, quamvis quedam alie descriptiones seu notificationes dari

1. Marsile d’Inghen était seulement de quelques années plus jeune que Nicole Oresme. Or, dans ses questions sur le De generatione, Marsile d’Inghen donne la récrie qui fait connaître le nombre des combinaisons d’un certain nombre de termes deux à deux : Tôt sunt combinationes terrninorum... quanta est medietas numeri qui surgit ex multitudine nunieri terrninorum in numerum immédiate precedentem. Il démontre cette règle exactement comme nous le faisons aujourd’hui. (Egidius cum Marsilio et Alberto de generatione. Golophon : Impressum venetiis mandato et expensis Nobilis viri Luceantonii de giunta ilorentini. Anno domini 118 die 12 mensis Februarii. Questiones clarissimi philosophi Marsilii inguen super libris de generatione et corruptiione ; lib. Il, quæst. XII, fol. 116,

coll. c et d). .

2. Oresme, Op. laud., pars. I, cap. XI : De quahtate umformi et diftormi; ms. n° 7.371, fol. 220, v° et fol. 221, r°; ms. n° i4-58o, fol. 3g, coll. c et d.

3. Ms. n° i4.58o : Non melius nec clarius notificare possunt.

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possunt que etiam per hujusmodi figurarum ymaginationes surit 1 2 note. Ut si diceretur qualitas uniformis est que in omnibus partibus subjecti est equaliter 3 4 intensa , qualitas vero uniformiter difformis est cujus omnium trium punclorum distantie inter primum et secundum ad distantiam inter 2’" et 3"' est proportio sicut proportio excessus primi super 2m ad excessum 2‘ super 3m in intentione, ita quod punctum interiorem illorum trium voco primum. »

Notre auteur démontre que telle est bien la propriété, d’abord d’une qualité uniformément difforme terminée à zéro (ad nongradum) et représentée par un triangle rectangle, puis de la qualité uniformément difforme quelconque que représente un trapèze.

Traduisons en langage moderne la proposition formulée et démontrée par Oresme ; la traduction n’en peut être que celle-ci :

Il revient au même de dire : L'intensité que l’on mesure varie avec l’extension, de manière à être représentée par une ligne droite inclinée sur l’axe des longitudes ou abscisses. — Ou bien de dire : Étant donnés trois points quelconques Mi, M2, M3, dont a*!, x2, x3 sont les longitudes ou abscisses, et y i, y2, y3 Ie6 latitudes ou ordonnées, on a sans cesse l égalité :

x'\ — -Tt j/i — !/i

xii — xz i/i — iji

Et qu’est-ce là, sinon la mise en équation de la ligne droite, sous une des formes les plus usitées en notre moderne Géométrie analytique ? N’est-il donc pas juste de dire que la Géométrie analytique à deux dimensions a été créée par Oresme ?

Il a été plus loin ; il a conçu également la possibilité d’étendre aux figures tracées dans l’espace ce qu’il avait dit des figures planes.

Au lieu de tracer seulement une ligne, dans le sujet, on y peut tracer une surface, par exemple une surface plane, et étudier la qualité ijui informe chacun des points de cette surface ; on aura ainsi affaire non plus à une qualité linéaire, mais à une qualité superficielle * .

1. Ms. n° i/j.58o : Quamvis alique allé descriptiones , disposilumes seu notijicationes possunt dari.