Albert de Saxe, loc. cit

LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

chacune d’elles doit être prouvée en soi et sans souci de la vérité de l’autre. « C’est ainsi que cette proposition : A l'infini, le continu est divisible (In infinitum continuum est divisikile) n’entraîne pas cette autre : Le continu est divisible à l’infini ( Continuum est divisibile in injinitum) ; car, en la première, il s’agit d’un infini syncatégorique et, en la seconde, d’un infini catégorique. »

. L’apparente antinomie que les contemporains de Roger Bacon trouvaient si redoutable, que Bacon appelait la massue d’ Hercule et qu il se vantait d avoir brisée, est maintenant dissipée.

La notion de i, imite. Le maximum et le minimum

Si l’on prend le mot infini au sens syncatégorique, tout continu est divisible à l’infini ; cette vérité est communément admise par les Scolastiques du xiv6 siècle qui en font, dans leurs spéculations, un continuel usage.

L’exemple qu’ils invoquent le plus volontiers est le suivant : On divise le continu donné en deux parties égales ; une des deux moitiés ainsi obtenues est, à son tour, divisée en deux parties égales ; puis l’un de ces deux quarts est partagé en deux huitièmes, et ainsi de suite. On forme ainsi une suite de parties dont les grandeurs décroissent en progression géométrique de raison C’est ce que l’on appelle, dans les écrits du Moyen Age, diviser un continu en parties proportionnelles.

Le paralogisme célèbre d’Achille et de la tortue, attribué à Zénon d’Elée, conduisait les logiciens à méditer sur cette division qui se poursuit toujours sans s’achever jamais. Voici, en effet, ce que nous lisons dans un écrit de Gilles de Rome 1 :

(( En ce qui concerne la division du temps à l’infini, il se présente une difficulté. Si cette division à l’infini pouvait être réalisée en acte, un cheval rapide n’atteindrait jamais une fourmi. Supposons, en effet, qu’un cheval se meuve de la moitié d’une palme et qu’il s’arrête ; qu’il se meuve, après cela, de la moitié de la demi-palme restante et qu’il s’arrête de nouveau, et ainsi de suite ; comme le continu est divisible à l’infini, il n’achèvera jamais le

i. Egidiis cum Marsilio et Alberto De generationc. Quæstiones super primo de generatione. D. Egidii; quæst. XI. Ed. Venetiis, per Luceantonium de Giunta, fol. 57, col. a.

L INFINIMENT PETIT ET L INFINIMENT GRAND

parcours de la palme. Lors donc que l’on divise un continu, si chaque partie a son existence propre et séparée, et si ces parties sont produites par une division en acte, la division de ce continu ne sera jamais achevée... Ainsi tout temps est divisible à l’infini, mais ses parties sont seulement en puissance. ))

Ces remarques et d’autres remarques analogues contraignirent les maîtres de la Scolastique à réfléchir sur les circonstances où une grandeur variable tend vers une limite sans jamais l’atteindre ; bientôt leur esprit, aiguisé par de continuels exercices de Logique, sut raisonner sur de tels sujets avec une rigueur qui, aujourd’hui encore, est rarement surpassée ; témoin ce passage de Walter Burley 1 :

« Ce que nous venons d’exposer prouve la vérité de la proposition suivante, dont la connaissance n’est pas fort commune : Étant donnée une ligne, on peut y marquer des segments dent la longueur décroisse en progression géométrique, et l’on peut, en meme temps y assigner un point auquel il sera impossible de parvenir par aucune opération finie. Cela aura lieu si l’on prend comme premier segment la moitié de la longueur à l’extrémité de laquelle ne doit conduire aucune division finie, comme second segment, la moitié du premier segment et ainsi de suite. Au contraire, tout point en deçà de l’extrémité pourra être atteint par une division finie. Cela peut, sans peine, être démontré géométriquement, mais, pour le moment, nous n’insisterons pas sur la démonstration. »

La connaissance de cette proposition n’était pas, nous dit Burley, fort commune de son temps. A ce moment, les paralogismes à la Zénon d’Elée étaient une inépuisable mine de ces sophismata dont la solution était l’un des exercices favoris de l’Université de Paris et, surtout, de l’Université d’Oxford. Grégoire de Bimini nous cite 2 quelques-uns de ces sophismata discutés à Oxford, par Henricus Hibernicus, par Adam Goddam, par Clienton ou Clymeton Lengley. Tous ces sophismes se résolvent par cette remarque 3, intimement liée à celle de Burley : (( En une grandeur, il y a une infinité de parties proportionnelles, le mot : infinité étant pris au sens syncatégorique ; il en résulte qu’aucune de ces parties n’est la dernière. »

j. Burleus Super octo libros physicorum, lib. III, tract. II, cap. IV. Ed. Venetiis, 1491, toi. 70, col. b.

2. Gregorii de Arimino In secundum librum Sententiarum opus, dist. II, quæst. II, art. I; <?d. Claude Chcvallon, fol. XXXIII, col. d, à fol. XXXV, col. d.

3. Grégoire de Rimini, loc. cit.; cd. cit. , fol. XXXIV (marqué par erreur XXXIII), col. c.

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Une bonne partie des sophismes auxquels donnait lieu la division d une longueur en parties proportionnelles tenaient, en effet, à l’emploi de locutions vicieuses telles que celles-ci : Je prends toutes les parties proportionnelles d’un continu, je considère la dernière partie proportionnelle formée en la division d'un continu, etc. En quoi de telles locutions impliquent erreur, Buridan excelle à le mettre en évidence.

Il prend, par exemple *, une colonne cylindrique que des plans parallèles à la base partagent en parties proportionnelles ; il imagine que l’on y trace une droite parallèle aux génératrices, et cela de la manière suivante : « Un premier segment traverse la première partie proportionnelle et ne passe pas au delà ; un second segment franchit la seconde partie proportionnelle, sans la dépasser, et ainsi de suite. Il est manifeste qu’aucun de ces segments rectilignes ni aucune ligne droite composée de ces segments ne passe au delà de toutes ces moitiés proportionnelles... Or il est manifeste qu aucune droite n’est tracée au travers de toutes les moitiés proportionnelles à moins qu elle ne passe au delà de toutes ces moitiés ; en effet, menée au travers de la colonne tout entière, jusqu’au terme par lequel cette colonne touche le corps qui lui est extérieur, elle dépasse toutes ces moitiés. »

« Par toutes ces moitiés, donc, [en prenant : toutes au sens syncatégorique,] passe une ligne droite ainsi tracée, mais aucune ligne droite ainsi tracée ne passe par toutes ces moitiés, [si l’on prend : toutes au sens catégorique] (Per omnes est aliqua protensa, sed non est aliqua protensa per omnes). Il y a une ligne qui est tirée au long de cent parties, il y en a une qui est tirée au long de mille parties, et ainsi de suite, quel que soit le nombre donné ; mais il n’en résulte pas qu’il existe une telle ligne tracée au travers d’une infinité de parties ou au travers de toutes les parties, car il n’y a pas de parties dont on puisse dire qu elles sont une infinité de parties ; il n’en existe pas dont on puisse dire qu elles sont toutes les parties (quia nullæ sunt infinitæ et nullæ sunt omnes). »

« Il est bien vrai, dit encore Buridan 2, que si l’on prend le mot : infinité au sens syncatégorique, en l’infinité des parties d’une ligne, il y a une dernière partie ; il est bien vrai qu’entre toutes les parties proportionnelles de cette ligne, il y a une dernière partie ; cependant, il n’est aucune moitié proportionnelle qui soit la dernière en ce sens qu’il n’y en ait pas une autre qui soit encore après

x. Johannis Buridani Op. laud., lib. III, quæst. XVI, fol. LIX, col. b'

2. Johannis Buridani Op. laud., lib. III, quæst. XVIII, fol. LXIII (marqué par erreur LXII), col. d.

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elle ; il y a donc une partie qui est la dernière, mais elle n’est pas la dernière de toutes. » En d’autres termes, en chacun des états successifs de la division en parties proportionnelles, il y a un nombre fini de parties parmi lesquelles il en est une qui est la dernière ; mais un nouvel état de la division en parties proportionnelles donnera une nouvelle partie située après celle qui se trouvait être la dernière.

A ces considérations, on pourra encore faire cette objection : Ne peut-on pas prendre une infinité de parties proportionnelles d’une ligne, toutes les parties proportionnelles d’une ligne ? Ne suffit-il pas, pour cela, de prendre la ligne tout entière ? « Assurément, répond Buridan *, quand je prends mon livre, je prends une infinité de parties de ce livre, car j’en prends trois parties, cent parties, mille parties, et ainsi sans fin. Mais ce qui est impossible, c’est que l’on prenne une infinité de parties successivement, en comptant chacune d elles à côté de chacune des autres. »

Toute cette précision de Buridan se retrouve dans les écrits d Albert de Saxe ; lui aussi, il a bien de soin de déclarer cette vérité 1 2 : « Il n’y a pas de parties d’une grandeur continue qui soient toutes les parties proportionnelles de ce continu ; cela est bien évident, car quelles que soient les parties que l’on donne, il y en a encore d’autres ; il n’y a donc pas de parties qui soient toutes les parties ( quibuscunque dalis , adhuc sunt plures ; ergo nullæ sunt omnes). »

Une telle rigueur dans la pensée, une telle précision dans le langage ne pouvaient manquer d’être d’un grand secours aux Scolastiques de Paris en la discussion des problèmes où une grandeur variable tend vers une limite qu elle ne peut atteindre. Nous allons nous en assurer en retraçant sommairement l’histoire d’un tel problème qui fut fameux dans les écoles.

Pour retrouver l’origine de ce problème, il nous faut, comme il arrive presque toujours, lire Aristote et, surtout, les commentaires d’Averroès.

Un homme qui peut, en marchant, faire cent stades, observe Aristote, peut, à coup sûr, en faire deux ; si l’on demande ce qu’il peut faire, on ne répondra pas : deux stades, mais : cent stades. « Il faut donc que la puissance soit définie, par la considération de ce qui en est la borne et la limite supérieure. ' üç oéov opîÇeo-ôat irpoç to tIXoç xal Tr,v ù-spoyrv tt(v oùvauav. » En revanche, « celui qui ne

1. Buridan, loc. cit., fol. LXIII (marqué par erreur LXII), coll. c et d.

2. Alberti de Saxonia Quæstiones super lihros de physica auscultalione, lib. III, quæst. XIV, art. I.

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peut parcourir mille stades ne peut évidemment pas en parcourir mille un \ »

Averroès développe ces remarques : (( Il est manifeste, dit-il 1 2, que les puissances des choses doivent être définies par leurs termes ; c’est, par ces termes que se distinguent les unes des autres les puissances des choses qni ont des puissances différentes... Une puissance, donc, se définit par le terme de son action et non par ce qui se trouve avant ce terme... Le faible, au contraire, est défini par le moins qu’il puisse faire ; en d’autres termes, le défaut de puissance est défini par le minimum de son pouvoir, à l inverse de ce qui a lieu pour la définition de la puissance. »

Après avoir entendu le commentaire d’Averroès, écoutons maintenant celui de Saint Thomas d'Aquin : 3

(( De même que I on détermine la puissance que quelqu’un possède en indiquant le maximum de ce qu’il peut accomplir, de même, on détermine ce qui lui est impossible par l’œuvre minimum parmi celles qu’il ne peut accomplir ; on caractérise ainsi sa faiblesse. Si, par exemple, le nombre maximum de stades que quelqu’un peut parcourir est 20, et si le nombre minimum de stades qu il ne peut parcourir est 21, c’est par ce dernier nombre que I on doit caractériser sa faiblesse, et non pas en disant qu il ne peut faire 100 stades ou 1.000 stades. ))

La doctrine que semble professer Thomas d’Aquin en ce passage soulève les vives et justes critiques de Jean de Jandun 4. Il existe, pour toute vertu naturelle, dit celui-ci, un maximum aux œuvres qu elle peut accomplir ainsi le nombre de livres qu’un homme peut porter admet un certain maximum. Certains philosophes veulent qu’il y ait un minimum pour les œuvres que cette vertu ne peut accomplir, et que ce minimum soit distinct du maximum précédent. Soit, par exemple, un homme qui peut porter tous les poids jusqu’à cent livres au maximum ; les poids qu’il ne peut porter admettraient un certain minimum, et ce minimum ne serait pas cent livres ; il serait supérieur à cent livres.

Jean de Jandun montre sans peine que le maximum et le minimum dont il s’agit ne sauraient différer par quelque gran-