Jean de IIaconthorpe, loc. cit., fol. XXJ, col. b

2. llluminaii doctoris fratris Francisci de Mayronis ordinis minorum in Primant Sentenliarurn scriphim Conflatus nominatum. Dist. XL11I ' et XL1V, quæst. X : Utrum Deus potuit producere aliquid actualiter infinitum; art... I et II (FraNcisci de Mayronis Opéra, éd. Venetiis, i520, fol. 128, col. d; fol. 129, coll. a, b, c.)

L INFINIMENT GRAND

Dieu, il en peut créer d’encore plus grandes 1 ce qui ne serait pas possible s’il pouvait seulement créer une grandeur finie. »

C’est encore le même argument que l’auteur développe sous cette autre forme :

« Une grandeur qui surpasse toute grandeur finie est infinie ; mais la grandeur ultime que Dieu puisse créer d’un seul coup surpasse tou[e grandeur finie ; elle est donc infinie. Preuve de la mineure : Après toute grandeur finie que Dieu crée, il en peut créer une plus grande ; celle qui les surpasse toutes est donc infinie. »

Ce raisonnement est repris ensuite sous forme de dilemme : « Cette grandeur ultime que Dieu peut produire est finie ou infinie ; si elle est infinie, la proposition est démontrée ; qu’elle soit finie, cela est impossible, car le terme [du progrès à l’infini des grandeurs créables] se trouverait tout aussi bien à un autre degré de grandeur, puisque ces degrés sont de même nature. ))

La pensée qui mène toute cette argumentation est facile à deviner et à mettre en évidence ; c’est la pensée très naïvement grossière de maint écolier qui commence à raisonner sur l’infini ; en une suite de grandeurs finies qui croissent indéfiniment, François de Mayronnes voit une tendance vers une certaine limite ; cette limite' est ce qu’il nomme la grandeur ultime que Dieu peut créer, « ilia magnitudo quam Deus ultimate simul potest facere » ; nécessairement, c’est une grandeur infinie catégorique. Ockam eût tout simplement répondu à François de Mayronnes que parmi les grandeurs que Dieu peut créer, il n’y a pas de grandeur ultime ; il eût montré, par là, tout ce qu’il y a de maladresse en ce nouveau raisonnement destiné à restaurer l’axiome péripatéticien. La possibilité de la grandeur infinie potentielle implique la possibilité de la grandeur infinie actuelle.

François de Mayronnes a été mieux inspiré lorsqu’il a voulu montrer l’inanité des raisons par lesquelles on cherchait à convaincre de contradiction la multitude infinie actuelle ou la grandeur infinie actuelle : il est vrai qu’il tirait alors son inspiration des remarques formulées par Duns Scot.

« Une multitude de choses créables est un nombre si elle est finie ; mais elle ne l’est plus si elle est infinie ; ainsi une telle multitude n’est pas un nombre ; elle n’appartient pas au genre de la quantité discontinue, si ce n’est pas réduction. » Cette dernière expression veut dire que l’on peut définir, sous le nom de

i. Au lieu de : majora , le texte porte : minora.

DUHEM

T. VII

II 4 LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

genre de la quantité discontinue, un genre étendu qui se subdivisera tout aussitôt en deux sous-genres, la quantité discontinue infinie et la quantité discontinue finie ; à la seconde seule on peut appliquer le nom de nombre.

C’est aussi au seul sous-genre de la quantité discontinue finie que conviennent les diverses notions dont use l’arithmétique et, tout d’abord, les premières d’entre ces notions, les notions d’égalité et d inégalité. « L’égal et l’inégal sont des propriétés de la multitude finie, et le plus et le moins sont les deux espèces de l’inégalité. Ces deux propriétés, l égalité et l’inégalité, ne peuvent donc appartenir à la multitude infinie. »

De cette affirmation, voici la véritable raison :

« La multitude se divise en multitude finie et multitude infinie. Le genre de la multitude finie comprend une infinité d’espèces de nombres. Le genre de la multitude infinie comprend un seul trajet qui n’est pas proprement une espèce. De même, si l’on divise l’être en être fini et être infini, Dieu seul se trouve compris sous le litre être infini. D’ailleurs dans le genre de la multitude finie sont comprises une infinité d’espèces de nombres, mais la multitude même de ces espèces n’est pas comprise en ce genre, )) puisque c’est une multitude infinie.

Puisque François de Mayronnes admet qu’il n existe pas diverses espèces de multitudes infinies, que toutes les multitudes infinies sont de la même espèce, il est clair que les mots : plus grand, plus petit, ne peuvent être employés en la comparaison de ces multitudes ; il est clair qu’aucune d’entre elles ne peut être ni augmentée ni diminuée. « Lorsque d’une multitude infinie, on retranche une multitude finie quelconque, il reste encore une multitude infinie qui n’est donc aucunement diminuée. »

En vertu du principe qu’il admet, François ne saurait songer à créer une Arithmétique des multitudes infinies imitées de l’Arithmétique des multitudes finies ; les diverses espèces des nombres sont, en effet, la raison d être de cette dernière science.

François de Mayronnes admet évidemment, bien qu’il ne le dise pas, que la grandeur continue doit se subdiviser, elle aussi, en grandeur continue finie et grandeur continue infinie ; il a soin d’affirmer que maintes propriétés de la grandeur finie ne doivent pas être attribuées à la grandeur infinie.

« Un volume infini n’a pas de parties et, partant, pas de parties aliquotes... Une partie est toujours quelque chose qui a rapport à un tout. Si l’on veut entendre qu’en un volume infini, il existe

L INFINIMENT GRAND

quelque partie cîe telle manière que cet infini soit un tout à l’égard de cette partie, en ce sens, je dis qu’il n’y a rien en ce continu, qui en soit une partie. Si I on veut parler, au contraire, d’une partie non de cet infini, mais d'un certain volume [fini] compris dans cet infini, en ce sens, je dis qu'il y a, en cet infini, une multitude de choses auxquelles convient, le rôle de partie, et aussi une multitude de choses qui sont des touts. ))

Ce n’est pas à la grandeur continue prise en général, mais seulement à la grandeur continue finie, qu’il convient d’avoir figure, lieu et mouvement ; il n’y a donc pas à se soucier d’objections telles que celles-ci : Le corps infini ne saurait être ni figuré ni logé ni mobile.

De même qu’il n’y a pas, au gré de François, diverses espèces de multitudes infinies, de même n’y a-t-il pas diverses espèces de volumes infinis ; il ne le dit pas mais, sans doute, il f admet ; des volumes infinis ne peuvent, dès lors, être plus grands ni plus petits les uns que les autres. C’est ce principe qui explique ce qui suit : « Après avoir créé une quantité d’eau infinie, Dieu peut-il créer une autre quantité d’eau ?... Je dis qu’en outre de toute cette eau, Dieu peut créer une autre quantité d’eau, comme on l’a dit de la multitude infinie. Mais après avoir créé une quantité d’eau infinie, peut-il créer une autre quantité d eau infinie ? Je réponds que oui ; car il pourrait créer une autre quantité d eau finie \ puis une quantité plus grande, et ainsi de suite à l’infini, comme il a été démontré au sujet de la première eau infinie. Dieu ayant ainsi créé une multitude de volumes infinis, ... y a-t-il un terme au delà duquel il n’en puisse plus ajouter d’autres ? — Je dis que non ; car il eût, pour la même raison, rencontré un terme dans la production de la grandeur une seule fois infinie ; en effet, la grandeur une infinité de fois infinie n’excède pas la grandeur une seule fois infinie. »

A cette doctrine qui affirme la possibilité de l’infini actuel, aussi bien pour les grandeurs continues que pour les collections d’objets distincts, François de Mayronnes prévoit cette objection f « Mais comment donc l’infini est-il une chose dont la grandeur laisse toujours, hors d’elle, quelque chose à prendre ? » Il répond : « C’est une définition qui est relative à notre intelligence ; lorsque celle-ci a pris une multitude, si grande soit-elle, il lui reste toujours quelque chose à prendre en sus ; en effet, elle ne prend jamais qu’une multitude finie, et non pas une multitude infinie. » C’est encore,

i. Au lieu de : finilam, le texte dit : infinitam.

I 1 6 LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

semble-t-il, l’inspiration de Duns Scot que nous trouvons en cette réponse.

En revanche, nous ne reconnaissons plus l’esprit du Docteur Subtil dans la réflexion par laquelle François Yle Mayronnes clôt sa théorie de la grandeur infinie actuelle. Cette réflexion, d ailleurs, semble aller à l’encontre du sens général de cette théorie. La voici :

« Dieu peut-il, d’un seul coup (sirnul), diviser un tout continu en une infinité de parties ? — Je dis que non. En effet, l’infinité des parties d’un continu n’est pas quelque chose d’immédiat, comme le serait une multitude infinie ou une grandeur infinie, multitude et grandeur en lesquelles Dieu produit, d’un seul coup, une infinité de parties ; au contraire, la division d’un continu progresse indéfiniment ; c’est suivant un certain ordre qu elle passe des parties plus grandes aux parties plus petites ; et donc cet infini-là est un infini successif. ))

La doctrine que Jean de Bassols professe au sujet de l’infini actuel est très proche parente de celle de François de Mayronnes ; de cette dernière, elle garde le meilleur, qu elle affermit et précise, en même temps qu’elle délaisse certaines erreurs.

Jean de Bassols 1 admet pleinement, comme Pierre Auriol, l’axiome formulé par Aristote : L’infiniment grand potentiel suppose l’infiniment grand actuel. Mais à partir de ce principe, son raisonnement suit la marche inverse de celle que le raisonnement d’Auriol avait suivi. Chrétien, Bassols croit à la toute-puissance créatrice de Dieu, en sorte qu’il ne peut taxer d’impossibilité la production de l’infiniment grand potentiel. Il ne saurait donc consentir à ce que l’infini actuel soit contradictoire, et il déclare Dieu capable de le créer.

Que telle soit bien la démarche de la pensée de Jean de Bassols, le passage que voici 2 nous en est garant :

(( Une quantité qui surpasse toute grandeur déterminée est une quantité infinie en acte ; mais étant donnée une quantité d’une mesure déterminée, on en peut donner une plus grande ; on peut donc donner une quantité actuellement infinie. Donnez-moi, par exemple, la longueur que vous voudrez, de deux pieds par exemple, ou de trois pieds ou de telle autre mesure particulière ; il n’y a rien, semble-t-il, qui répugne à ce que j’en puisse donner une

1. Opéra Joannis de Bassolis... In Quatuor Sentenliarum Libros... Quæsliones in primum Sentenliarum, dist. XLIII, quæst. unica. Parisiis, sumplibus Francisci Régnault et Joannis Frellon, sumplibus JS'icolai de Pratis, anno 1617.