II

La colonne M contient les chiffres qui indiquent sur combien de cases carries les satins sont construits ; M veut done dire module — expression qui, elle-m^me, signifie : nombre de cases d^volues soil ^ chacune des duites soit a chacun des fils compris dans le plan quadrille.

La colonne D conlient les chiffres de d^cochement. Ces chiffres disent de combien de cases il faul remonter pour realiser le decochement ou les d(5cochemenls varies de chaque satin. On voit que les satins de 5, 7,8,9, 10, 12, 14 et ^8 n'ont qu'une solution quant a leur mode de decochement, tandis que les autres en ont plusieurs.

Tous les petits chiffres places dans la colonne D, signifient que les satins qui r6sulteront du mode de points dont ils expriment le decochement, auront una proprieie toute sp^ciale et qui consiste en ce qu'entre quatre points voisins , choisis n'importe ou sur la mise en carte de chacun de ces satins, on pourra inscrire deux especes de carres longs ou rectangles. C'est pour cela que j'appelle rectamjulaim tous les satins qui, dans la colonne D, ont pour chiffre de decochement un felil num(5ro,

Exemple : — si, pour construire un satin de 7 nous consultons la colonne D du tableau ci-dessus' en portant les yeux en regard du module 7 de la colonne M, nous y voyons un petit chiffre 2. Cela nous donne le mode de decochement du satin de 7 et

nous en d^duisons la mise en carte indiquee sur la

Planche II (fig.

Or^ nous pouvons^ entre les quatre points voisins ubcd^ inscrire le rectangle horizontal R. compose de deux rangs de cases superpos6es ayant cbacuu trois cases en travers^ comme le monlre le petit rectangle trace au centre du module^ Ou bien nous pouvons aussi , entre qualre autres points acde (meme Pl./ig. 4) inscrire un autre rectangle vertical R' qui, Inij comprcndra deux rangs de cases juxtaposeesj ayant chacun quatre cases en hauteur.

La possibility d'inscrire deux rectangles de grandeurs diff6rentes dans les satins, dont les decochements sont signales par des chiffres petits, est pr6cieuse ; car elle va me permettre de realiser^ scienlifiquement, sur le Transpositeur, un nombre bien plus grand de metamorphoses, que si nous n'avions. pour solution, que des satins carves.

J'appelle satin carr6 celui entre quatre points voisins duquel on ne pent inscrire qu'un carr6 parfait.

Le satin de 10 (PI. Il/ig. 5) se construit, d'apres le tableau de construction, en remontant de 3. Mais le gros chiffre S indique conventionnellement que le satin sera carre.

Or, un satin est carrg lorsque son module M est la somme des carries de deux nombres soit premiers absolus, soit premiers entre eux^ et cons6quemment premiers avec le module lui-memeo

Ainsi le satin de 10 est le prodait de 4'+3^ ou de Done le aatin de 10 est un satin carr^o

En eff(^t^ sur la figure 5 (PL 11) ^ quels que soient les quatre points que Ton consid^re comme voisins., on ne poiirra jamais ioscrire enire eux autre chose qu'un carre porfaiL

De sorle qoe^ si Ton fait faire on quart de tour a la carte du satin de 10^ on aura encore en Yue un carr(3; tandis que^ dans le satin de 7j si Ton fait faire un quart de tour a chacune des cartes 3 et 4 (cartes siniilaires^ PI. Il)^ on rendra vertical le rectangle horizontal de trois cases^ de la fig, 3^ et on rendra horizontal le rectangle vertical de quatre cases, de la fig. 4.

Vous allez voir qu'en raison m6me de ces deux faitS; les satins carres ne donneront qu'une solution dans les experiences que nous aliens faire^, tandis que les satins rectangulaires en fourniront deux.

J'ajouterai que toutes les solutions de decochement^ portees dans la colonne D du tableau de construction, sont distincies^ c'est-a-dirCj qu'elles fournissent des repartitions harmoniques de points^ completement differentes les unes des autres.

On serait tente de croire que le satin de 5, par exemple ^ pent se construire de quatre mani^res^ comme le montrent les figures groupies sous la cote 6 (PL Hp fig, 6); mais une simple inspeclioo de ces quatre mises en carte fait voir que :

1° Le point6 du satin A.' est la reproduction sy-

m^trique de eelui du satin A ; dans le satin B le d^cochement se fait de deux fils en deux fils, au lieu de se faire de deux duites en deux duites comme dans le satin A ; et 3° le points du satin B' n'est que la reproduction symetrique de celui du satin Bj comme le montrent toutes les lignes obliques tra-~ c6es a travers les point^s de ces carles. D'ou Ton pent conclure que ^ quel que soit le sens dans lequel on ecrive le decochement des points dans un satin de 5^ ce decochement s'opere toujours de deux en deux^ et que consequemment le chiffre 2 est absolument le seul qui donne la solution de la repartition des points de liage d'un satin de 5. Je yous ferai remarquerp en passantj que dans le tableauj le chiffre 2 est epais ; ce qui^ cunventionnellenient^ signifie encore que le satin de 5 est carr^, comme Findique le petit carre qui se trouve 6crit dans le trac6 graphique de ce satin (PL 11^ fig. 1). En effet, 5 est la somme de l'+2' ou de 1+4. Done il est carr6.

Telles sont^ Messieurs^ les propriet^s caract6risti»^ ques sur lesquelles j'ai cru indispensable d'attirer Yolre attention (1).

Comme je I'ai dit plus haut^ cela vous initie aux elements du tissage, puis vous familiarise avec les expressions techniques que je suis naturellement

(1) Voir le Tome P^' de mon Cours de tissage, en 75 legons. 25 premieres legons). — Grand in-8« j6sus. — 400 pages^ Album de 30 Planches et ioO figures sur bois.

forc6 d'employer; cela enfm vous revfele les procedes de reprfeentations graphiques dont je me sers dans inon enseignement , toutes choses absolument n6« cessaires pour vous preparer a comprendre le pourquoi des metamorphoses que nous allons demander au Transpositeur.

Je puis maintenant aborder le sujet principal de cette conference ^ a savoir I'etude comparee des serges et des satins de meme module. Gar c'est sur cette comparaison que va etre basee toute la th^orie des traces graphiques que j'appelle armures par permutation chiffree,

Qu'est-ce qu'un satin? Nous pouvons le considerer comme un serge (Itsiogwe^ c'est-a-dire^ comme un serg6 dont les fils^ d6rang6s de leur position primordiale^ ont ete replaces dans un ordre nou« veau de juxtaposition^, ordre impose^ bien entendu^ par tel ou tel chiffre signale dans le tableau de construction ^ en regard du module de ce satin (page 23).

Maintenant, qu'est~ce qu'un serge? Nous pouvons le consid6rer a son tour comme une simple hypotenuse formee de points places obliquement. Or, comme dans un serg6 quelconque le premier point est sur la duite 1^^^ le second point sur la duite 2^ etc, 5 et qu'en vertu de la particularity signal^e plus haut, chaque point est place a Fintersection d'une duite et d'un lil portanl le m^me num6ro, il en r^sulte qu'on pourra consid^rer la progression arith-

mStique suivante comme s'appliquant aussi bien aux fils qu'aux duiles :

1, 2, 3, 4^ 5^ 6^ Cette progression ascendante^ et dont la raison est Tunite^ sera consequemment la formule horizontale ou la representation chiffr6e de riiypotenuse simulant ^ sur Tarmure^ le sillon oblique d'un serg6 quelconque,

Mais alorSj quelle devra 6trela progression arith^ m^lique de tel ou tel satin de meme module que ce serg6 ? c'est ce que deux exemples Yont nous revderc

Comparons d'abord le serge A de 7 au satin B de 7 ^galement (PL II, fig 7). Plagons la carte A au-dessus de la carte et elablissons entre les fils similaires de ces deux cartes une relation au moyen des lignes directrices oo oo (petites cordes blanches en caoutchouCp suffisamment tendues, partant de la carte A et aboutissant a la carte B). Donnons ensuite a cbaque fil de la carte B le num6ro que son similaire porte dans la carte A, Nous aurons alors^ sous la carte la nouvelle progression arithmetique suivante :

qui n'est autre que celle-ci i

I, 3, 5, 7, 9, 13, puisque 4, 6 equivalent a 9=-7^ ii"7et43-7^ comme cela a 6te expliqufi pour le satin 5^ a propos de la rentree du pointage dans le plan quadrille

primordial qui sert de premiere repetition ou plutot de premier rapport a Farmure de ce satin de 8 (page 18)„

Faisons maintenant une operation exactement semblable sur on serg6 de 10 et un satin de m6me module (Pi, 11, fig, 8), La formule du serg6 sera alors :

1/2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et celle du satin sera :

Ainsi^ la premiere des deux progressions arithmetiques qui nous servent d'exemples, celle du satin de 7^ croiira de telle sorte que la difference entre deux termes consecutifs sera toujours representee par le chiffre 2.

Ce chiffre 2^ comme vous le Yoyez, Messieurs^ est ici la raison de la progression ascendante doni la formule horizontale sert de guide pour la transposition des rangees verticales de cases et consequemment des fils du serge de 7. Maisremarquez que ce m6me chiffre 2^ qui determine ici la transformation du serge en satin^ est precisement le chiffre de d6co» chement qui^ sur le tableau de construction (page 23) 5 figure dans la colonne en regard du module 7 c

En sorte que^ pour etablir a priori notre formule horizontalep il nous sufTisait de connaitre le chiffre de decochemenl 2 ou d'ascension des points de Mage sur Fechiquier du satin de 7^ et d'ajouter ce

chiffre d'abord a Funit^, puis h 1+2 ou 3 ; puis a 34-2 ou 5 et ainsi de suite« Nous aurions obtenu directement la progression 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6.

De merae nous aurions pu d^duire directement, du tableau de construction des satins, la progression donnant la metamorphose du serge de -lO en satin carr6 de iO, Le gros chiffre 3 nous fournissait la raison de cette progression ascendante.

Maisil m'a semble qu'il 6tait plus convenable de demander a une suite de deductions, intentionnellement provoquees, le resultat final. Ce stratag^me de demonstration devait, selon moi, vous faire mieux saisir les rapports qui existent entre les serges et leurs satins correspondants. Nous sommes arrives ainsi a degager graduellement la donn^e dont nous aliens tirer un si avantageux parti pour la creation des armures, — creation a laquelle je pourrais presque donner le nom de spontanee.

Maintenant que nous tenons la clef des permutations chiffrees, vpyons comment le Transpositeur fonctionne pour traduire graphiquement , j'allais dire materiellement, et seance tenanle, toutes les formules horizontales que nous nous bornerons dorenavant a deduire directement des chiffres du tableau de construction.

Et d'abord j'appelle Transpositeur un cadre C (PI. II5 fig. 9), contenant un tableau quadrille dans lequel une bande quelconque 6 ou rangee verticale de cases, simulant un fil de chaine et son evolution, peut

etre separee de ses voisines et placee sur le tableau dans une nouvelle position par rapport a ces memes auires bandes^ celles-ci 6tant 6galement libres et mobiles, et consequemment susceptibles a leur tour d'un d^placement analogue.

Les grands serges et leurs satins a large module, se pretant aux combinaisons d'armures les plus variees et les plus 6l6gantes, il importe de donner au moins 30 a 32 bandes au quadrille du Transpositeur. J'ai choisi le chiffre 32 parce que chaque regie ayant deux centimetres de largeur, fournit un plan quadrille de 64 centimetres carr^s^ proportion qui permet d'avoir un appareil portatif, et dont les pieces sont moins expos6es a jouer que si elles avaient des dimensions par trop exag^rees. Les regies sont en bois ; elles ont 4 millimetres d'6paisseur et leur partie quadrill6e exige une longueur de 64 centimetres pour les 32 cases en hauteur. Ces bandes plates ont un supplement s de longueur pour s'adapter au cadre, commeje vais I'expliquer.

Les regies ayant deux faces, fournissent deux plans 5 dont Tun represente un tableau noir E, quadrille par de minces filets blancs (PI. 11, fig. 9), et Fautre un tableau blanc E'(P1. Ill, fig. 10), quadrille par de minces filets noirs.

Sur le tableau noir (fig. 9), les pointes s'ecrivent avec de la craie blanche et s'effacent au besoin avec I'eponge humide. J'ai trace sur ce tableau un serge de 29. Vous verrez plus loin pourquoi je

choisis ce module 29 plulot qu'un module 30/ 3j ou 32,

Sur le tableau blanc (fig, 10), j'ai fait peindre a Fhuile et en carmin !e poirit6 de Fhypotenuse d'un serg6 de 29^ et en orange le pointe de Farmure diagonale qui accompagne ce serge. Les carres qui sont ici en gris6 montrent les cases qui^ dans le Transpositeur, sont en vermilion ^ et les carres en noir signalent ceux qui y sont points en orange.

Gette disposition colorize reste done a demeure comme type^ et a litre d'exemple^ pour les premiers exercices de permutatiouj dont je vais parler.

La base des regies b repose et pent glisser facilementj et transversalement sur une coulisse pen profonde^ pratiqu6e dans la traverse inf6rieure T du cadre. Cette base est evidee^ en m (lig. 9)^ pour 6tre facilement prise par le pouce et Tindex de la main droite. La partie superieures des bandes s'introduit aisement et giisse transversalement aussi dans une rainure menag6e dans la barre sup6rieure Bj sur laquelle est ecrit en blanc le mot Transpost leur.

II suffit de soulever uo pen chaque regie pour la d^gager de la coulisse qui lui sert de support ou de point. d'appui. On attire legerement vers soi le bas de la regie ; on descend on pen celle»ci pour la degager figalemeot de la rainure du haut^ et on pent alors la transporter vers la partie de gauche

ou un espace sufBsant est m6nag6 tout expres pour un nouveau classement des bandes,

Ainsi disposes, ces deux tableaux deviennent de Y^ritables mises en carte ^ dont le quadrill6 est consid^rablement agrandi.

Vous allez voir, Messieurs^ qu on pourrait presque comparer ce genre d'appareil a un jouet d'enfant tres-connu, au Kaleidoscope^ car les contextures qui vont nailre du deplacement methodique des bandes mobiles, sent, par leur diversite meme, comparables aux configuralions spontanees qu'on voit apparaitre dans Fingenieux instrument d'optique qui vient d'etre cite.

Le module 29 comporte un grand nombre de solu tions,puisqued6ja la colonne D du tableau de construction (page 23), contient en regard de M 29 : r six petits chiffres pouvant ^ pour les raisons denudes plus hautj fournir 4 2 solutions ; et T un gros chiffre de satin carrCj pour treizieme solution arithmStique.

On pent, au moyen de certains autres proc6d6s de permutation, demander encore au module 29 des configurations tres-originales. Et puis ce chiffre contient un satin carre et il offre en cela plus de ressources, pour la demonstration, que les chiffres 30, 31 et 32. Toutes ces raisons m'ont d6termin6 a adopter le n° 29 plutot que Fun des trois num^ros qui suivent, pour plan quadrille et pour base d'exp^rimentation.

Voici les formules horizontales des progressions arithmetiques ascendantes , indiquant les treize modes de permutation que Ton peut faire subir aux bandes du Transpositeur, pour metamorphoser la serge de 29 (PI. Ill, fig. ^0) en autant de satins. II est bien entendu que les satins obtenus par les chiffres de decochement 2, 3, 4, 5, 8, 9 et IS, sont tous distincts les uns des autres, tandis que les autres satins, construils avecles raisons 6, 7, 10,4 i, 43 et 14, proviennent d'un renversement du pointage des premiers. J'expliquerai plus loin le parti qu'on tire de ce renversement dont j'ai deja dit quelques mots (page 27),

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