PROBLEME

Un aéroplane de masse m est projeté en Vair avec une vitesse initiale Nq faisant un angle b avec Vhorizontale. On demande la vitesse de l'aéroplane à un instant quelconque^ ainsi que Véquation de la trajectoire décrite par son centre de gravité.

[Il est à remarquer que la vitesse V étant la vitesse relative de l'aéroplane par rapport à l'air, la solution du problème reste la même que r.air soit en repos ou non, pourvu que dans ce dernier cas on suppose que les axes de coordonnées participent au mouvement de l'air].

La solution proposée ne conduit pas à l'équation complète de la trajectoire en fonction d'^' et d'y, mais elle fournit la valeur d'y en fonction de l'angle p que fait avec l'horizontale la tangente à la trajectoire, et permet de montrer

que, dans les limites où cet angle est supposé varier, l'aéroplane peut, sous certaines conditions, progresser contre le vent, ce qui est le but de la démonstration.

La valeur complète de x en fonction de p n'est pas donnée ici, quoiqu'elle puisse s'obtenir par de longs calculs. Il est plus simple de se contenter d'une valeur approchée, la variable x n'étant pas une des inconnues importantes du problème, pour le but que l'on s'est proposé.

Pour que la trajectoire décrite par l'aéroplane soit définie, il faut se donner la loi de variation de l'angle a compris entre l'aéroplane et la tangente à la trajectoire; en effet c'est en faisant varier cet angle selon son gré, que l'oiseau modifie sa course à travers l'air; il est évident que pour réaliser des conditions favorables, cet angle doit diminuer lorsque la vitesse augmente ; on peut par exemple le faire varier en raison inverse du carré de la vitesse ; du reste, ce changement volontaire d'orientation peut s'effectuer d'une manière continue sans dépense sensible d'énergie.

Fig. 20.

Il est probable que la loi de variation que nous avons assignée à l'angle a, n'est pas celle qui réalise les conditions les plus favorables, mais si notre but peut être atteint dans ce cas particulier, il le serait a fortiori dans tous les cas où les circonstances seraient plus propices.

Soit R la résistance de l'air, agissant normalement sur l'aéroplane en son centre de gravité, p le rayon de courbure de la trajectoire, / le temps (fig. 20).

Les équations du mouvement du centre de gravité sont :

s cos s cos a

On a de plus : '- =

P lorsque l'arc s croit.

— wf ? '® signe moins indiquant que l'angle p décroU

La résistance de Tair R = — Y^ f[%) ; S étant le poids spécifique de Fair, A la surface de Taéroplane et /(a) une fonction de Tangle a, déterminée expérimentalement. Puisque l'angle a varie en raison inverse du carré de la

vitesse, on a a = ^ , c étant une constante qui peut être choisie de manière

à assigner à l'angle a telle valeur que l'on voudra. Nous choisirons celle constante de telle sorte que l'angle a soit constamment un petit angle, afin de pouvoir négliger les puissances de a supérieures à l'unité, et poser :

sin a 1= a cos. a n= 1 et /"(a) = /la

(puisque /{a) doit s'annuler pour a = 0) A étant une constante déduite des . résultats expérimentaux.

Portant ces valeurs dans les équations du mouvement, on obtient :

^V __ d\ . - ôA -^, «

dt ds or j^^„

p ds ^ ^ mg

Remplaçant a par sa valeur :^ , et posant pour abréger : — hc =K, on a finalement :

V^ f = - o- cos ? + K (2)

1**) CALCUL DE L\ VITESSE. — Pour trouvcr la valeur de la vitesse en fonction de l'angle g, considéré comme variable indépendante, il suffit de diviser membre à membre les équations (l) et (2), ce qui donne, après avoir chassé les dénominateurs :

V(^ cos p — K)(/V ~ V2^ sin ?</? = Kcd^

équation différentielle linéaire en V^ et dont le facteur intégrant est 2 [g cos |3 — K). Multipliant par ce facteur les deux membres de l'équation précédente, on obtient l'équation :

2V(^ cos p — K)2 dy - 2V3(^ cos p — K)^ sin prfp = 2Kc {g cos p - K)rfp

dont chaque membre est une différentielle exacte ; on a par suite en

intégrant :

V2(^ cos p — K)2 =: 2Kc(5' sin p - Kp) -f C«

la constante C étant déterminée par les conditions initiales du mouvement ; on a en effet, en posant V = Vq pour p = 6 :

Vo2(^ cos i» — K)2 = 2Kc(^ sin h — K^) -f- C«

et en retranchant cette équation de la précédente :

V2(^ cos p — K)3 — \Qi[g cos ^, — K)2 -f 2Kc {g sin f. - g sin /> Kf; + Kb)

d'où, pour valeur de V en fonction de l'angle g :

2**) CALCUL DE l'ordoî^née y en fonction de l'angle g. — L'équation (1) peut

s'écrire :

Kc \d\ =: — g sin ^ds — ^- ds

ds __ -~//[3

Or on a : sin gtis = dy et, d'après l'équation (2), r^ = , l'équa-

tion précédente devient ainsi :

g cos p — K

d'oïl en intégrant :

2^ = - V2+ 2Kc f-^r^ — ^ + C< ^ y ^ cos p — K ^

On distinguera trois cas, suivant que K est supérieur, égal ou inférieur à g. Lorsque K> g, / \ — —^== arc sin ( — ^^'^i ""5 )

^ o' y ^ cos p — K y/K'2 — g^ \g cos fJ — Ky

Dans ce cas :

2gy = - V2 +

2 — arc sm ( f ^ ) + C«

y/K^ - gi \ff cos p - K^ ^

Les conditions initiales étant, en prenant pour origine le point de départ de Taéroplane : y = 0, V =Vo, p = 6; la constante G est déterminée par la conditipn :

,r o I « ^^ . /K. cos fj^ff\ , ^

= — Vo2 + 2 — =-== arc sin £r) + C«

® ' \/K'^ — ^2 \^ cos 6 — Ky ^

On a donc, en remplaçant G par cette valeur :

^oJ' = > 0^ — V2 -4- 2 ■— arc sin ( ; ^) — arcsinf ^)

^ ^ V^Ka-^--iL V^cosp-K^ V^cos^ — K^J

équation qui fournit la valeur de l'ordonnée y en fonction de l'angle p, puisque la vitesse V est déjà connue.

Lorsque K = g,

y ^ cos p - K g- y 1 - cos p s J -l sin« | g- ''2

Par suite :

tgy — - V2 + 2c cotang \+ C-

el, à cause des conditions initiales :

1= — Vo2 + 2c colang x + C«

d'où, en retranchant :

2^r = ^0^ — V2 + 2c Tcotang | — colang - j

Enfin, lorsque K<^, Tintégrale :

J g' cos p - K y/^ __ K2 *' \ ^ cos [i — K y

On a donc, dans ce cas :

^ L^ , \/g' - Ka sin p ~ K cos p 4- g \ i o

S/^2 K2 ^ l ^ cos p - K

la constante C étant fournie par l'équalion :

y 8 — K^ \ g cos ^ — K /

Remplaçant G par cette valeur, on obtient :

2gj' = Vo^ - V2 + 2

\/g^ — K2 ^ l y/^a - Ka sin ^ - K cos «» + ^ ^ c«» P - i^/

L'une quelconque des équations (4), (5) et (6) donne la valeur d'y en fonction de P; mais dans chaque exemple numérique on choisira celle qui convient, d'après la valeur du rapport — relativement à l'unité.

Il est bon de remarquer que la formule (6) qui donne y lorsque K < ^, peut se mettre sous une forme plus commode pour les calculs numériques. On

peut en effet poser dans ce cas — cos ç puisque K<g; on a alors :

d'où :

et :

1 — — ^= sin o

1 sia p — — cos p -f 1 ^= sin o sia p — cos ^ cos P + 1

= 1 — cos (9 4- p)

= 2 sina

cos p

=: cos 9 — cos p = — 2 sin

Reportant ces valeurs dans l'équation (6), et eflFectuant les réductions, celle-ci devient :

2,,- = Vo^ - V» + 2 ^^^^- L.,g ^^

T O l Bill .: — . . oin ! !

sni —^ sin 2

ce qui peut s'écrire, puisque ^^, ^^, = ^ = colang ç :

2^ = Vo^ - V2 4- 2c colang 9 ^Log sin ^^^ - Log sin ^^ + Log sin ^-^

' Sous cette forme, l'équation (6) est éminemment propre aux calculs numériques; il faut seulement avoir soin de transformer en logarithmes vulgaires les logarithmes népériens qui figurent dans la formule.

3°) CALCUL DE l'abscisse X cu fouctiou de l'angle p. — L'équation (2) peut s'écrire :

V2rf?

dsz=:

K — g cos f;

et, comme rf!^= — ^, on a, en remplaçant et en intégrant :

' cos p ' l^ - O

cos p^3

cos ^

Telle est l'expression de x en fonction de g, expression dans laquelle on suppose que V^ a été remplacé par sa valeur, en fonction de g, tirée de l'équation (3). Le calcul complet de l'intégrale précédente est probablement possible, en tout cas fort long; or, comme la valeur de l'inconnue .r n'offre guère d'intérêt pour le but que nous cherchons à atteindre, il est préférable de se contenter d'une valeur approchée qui peut s'obtenir puisque l'équation permet de calculer la vitesse V qui correspond à une valeur quelconque de l'angle p et par suite de tracer la courbe :

va cos p

K — ^ cos [i

L'aire de cette courbe relativement à l'axe des g est évidemment .r, puisque :

4**) CALCUL DU TEMPS t cu fouction de p. L'équation (2) peut encore s'écrire :

d± dt