AO = U

que l'on puisse intégrer complètement, U étant d'ailleurs une fonction de q,, ..., Çn choisie comme on le voudra, on pourra lui donner sans intégration et d'une infinité de manières la forme

(76) ds^-=^ -^/yidH^,....db„-i).

Car soit 0 une intégrale complète de l'équation (73 »; en différentiant les deux membres de cette équation par rapport à l'une quelconque a des constantes qui entrent dans B, on trouvera

et, par suite, -r—, •••' ^ seront les différentes intégrales de

' r ^ dci oc„,

l'équation linéaire (74)- Ce sont là, sous une forme un peu différente, les résultats fondamentaux de Jacobi.

o76. Les transformations que nous venons de signaler vont nous permettre de traiter le problème déjà posé plus haut relativement au minimum de l'intégrale

prise entre deux svstèmes de valeurs extrêmes donnés. Pour conserver l'analogie, nous donnerons le nom de géodésiques à toutes les bgnes qui nous donneront une des solutions de ce problème. Il est clair d'ailleurs que ces solutions sont invariantes, c'est-à-dire qu'elles subsistent lorsqu'on change les variables indépendantes. D'après cela, nous supposerons d'abord que l'on ait choisi ces variables de la manière suivante : n — i des variables, j'|, ..., yn-% seront telles que les équations

(77) ri=Ci, .... x„i = c„i

5o8 LIVRE V. — CIIAP. VIII.

défînissenl, quelles que soient les constantes C/, une solution du problème, c'est-à-dire une ligne géodésique. La dernière variable 9 sera simplement une fonction indépendante des précédentes. Pour plus de simplicité on peut supposer que 0 soit la valeur de

l'intégrale l ds comptée sur chacune des lignes géodésiques (77)

à partir d'une origine fixe, mais quelconque. Alors ds- prendra la forme

( 78) f/52 = f/02 ^- 2(^1 û(xi -^ ... ^ aa-^ dy„^,) M +22^''^' ^^^''^^'>'^'-

Prenons 9 comme variable indépendante et posons

, ds

' ^ di)'

•^' dd

En égalant à zéro la variation première de l'intégrale

j ds = I s' dQ,

nous aurons les équations

d ds' ds'

d-Qdyr~^ = o, (. = i,^,...,n-i).

Si nous écrivons qu'elles sont vérifiées par l'hjpothèse dji = dy.2 = --. = dfn-i = o,

nous trouverons les équations

dcii .

qui s'intègrent immédiatement et donnent

C79) <^i = ^iiri,r-2r'--,rn-i), (t = i, 2,...,/i — i).

Ainsi, il faut et il suffit que tous les coefficients ai soient indépendants de 6.

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE LV DYNAMIQUE. 5oq

D'après cela, considérons sur le lieu, défini par Téqualion H = o, qui conlient les points de départ de toutes les géodésiques

^/=const.. (i=i,-2 .n — i).

une Qourbe quelconque; et cherchons l'angle de cette courbe avec lagéodésique qui passe en un de ses points. On a, pour la o-éodésique,

dd = ds,

dyi. = dy .= ,..= dyn-i = o,

et pour la courbe

?,''m ^^y-ij '•', V^n-t étant quelconques. L'angle w de ces deux lignes, qui est défini en général par la formule (56), aura donc ici la valeur donnée par l'équation

(80) cos.o=^'^^^'-^^^-^^-^'-----^-^zlir^.

Pour que les lignes géodésiques soient normales au lieu géométrique (h = o) qui leur sert de point de départ, il faut et il suffit que l'expression précédente de coso) soit nulle pour toutes les valeurs des diJQférentielles 5//, c'est-à-dire que l'on ait, pour H = o,

ai = «2 = • • ■ = <^/i— 1 = o.

Mais, comme ces coefficients ne contiennent pas h, ils seront alors identiquement nuls.

Ainsi, si des lignes géodésiques sont normales à une surface quelconque (9 = o), tous les coefficients ai disparaissent dans [^expression (78); ds^ prend la forme suivante

(81) ds^- = d^^- -/, ( c?^,, . . . , rf^-„-i ),

et, par suite, les lignes géodésiques sont aussi normales à toutes les surfaces

6 = const.

5 10 LIVRE V. — en A p. vu i.

que l'on obtient en portant su/' cliacune d'elles à partir de son point d' incidence une longueur donnée.

Telle est la proposition démontrée par M. Beltrami. Elle s'applique aussi au cas où l'on considère toutes les lignes géodésiques passant par un même point5 car, si l'on prend ce point pour origine des arcs, on doit avoir, d'après la définition même de Q,

ds = f/O, pour 0 = o,

quelles que soient les variables yi. Par suite, les coefficients «/ et bik doivent s'annuler pour 0= o. Mais, comme les premiers ai ne contiennent pas 0, ils seront identiquement nuls. Ainsi :

Si, sur toutes les géodésiques passant par un point, on porte des longueurs égales, à partir de ce point, le lieu géomélricjue de V extrémité de ces longueurs est normal à toutes les géodésiques.

^n . Les théorèmes précédents, qui constituent une généralisalion de la théorie de Gauss, mettent immédiatement en évidence le résultat suivant, déjà établi aux n°^ 531 et 532 pour le cas de deux variables.

La détermination des lignes géodésiques de la forme quadratique et l'intégration de l'équation aux dérivées partielles

AO = I

constituent deux problèmes équivalents. La résolution de l'un entraîne nécessairement celle de l'autre.

Tl ne nous reste plus qu'un mot à ajouter en ce qui concerne le problème le plus général de la Mécanique. Il revient, nous l'avons déjà remarqué, à la détermination des lignes géodésiques de la forme

(82) ^S2 = (U + h)^^aik dqt dqk = (U 4- h) ds\

Si l'on remarque maintenant que le paramètre différentiel A6 évalué relativement à ofS^ est égal au quotient par U + A du même

LE PROBLÈME GÉNÉKAL DE LA DÏ.N Ail IQ L E. 5li

paramètre différentiel relativement à ds-, on reconnaîtra immédiatement que la solution du problème de Mécanique se ramène à l'intégration de l'équation

A étant le paramètre différentiel par rapport à ds'-.

D'après la remarque que nous avons déjà faite (n" o7i), les angles des lignes et des surfaces sont les mêmes par rapport aux deux formes dS- et ds-. En tenant compte de ce résultat, on peut étendre au problème général de la Mécanique les deux propositions relatives à lorlbogonalité que nous avons démontrées d'après M. Beltrami dans le numéro précédent. On retrouvera ainsi deux théorèmes que M. Lipschitz a énoncés dans le Mémoire que nous avons déjà signalé plus haut et auquel nous renverrons le lecteur.