Les remarques précédentes s'appliquent toutes à rhvpo

thèse où la solution 9 contiendrait des constantes arbitraires.

Quand il n'en sera pas ainsi, il faudra, pour déternniner la famille

de solutions correspondante à la solution 0, intégrer le système

(26). Toute intégrale

F = const.

de ce système devra satisfaire à l'équation linéaire

V ^F" ' W A/i- d(i dF Zd^. ^' =ZZ -D d^. ôg-, = ^-

Nous désignerons, pour abréger, par A(0, F) l'expression

L'intégration du système (26) équivaut donc à celle de l'équation linéaire

Remarquons que le symbole précédent se réduit à AO lorsqu'on y suppose F = 0.

La considération des familles orthogonales va nous conduire à une expression remarquable de la force vive du système mobile qui a été signalée par M. Lipschitz (' ). Soient 9 une solution quelconque de l'équation (20) et 9,, Qo, .... ^n-\ les n — i intégrales distinctes de l'équation linéaire correspondante (34);

forment un système de n fonctions indépendantes j car, si 9 pouvait

(') R. Lipschitz, Untersuchung eines Problems der Variations-rechnung in ivelchem das Problem der Mechanik enthalten ist (Journal de C relie, t. LXXIV; 1S71). On pourra consulter aussi une analyse de ce Mémoire rédigée par l'auteur dans le Bulletin des Sciences mathématiques, i" série, t. IV, p. 212;

s'exprimer en fonction de 0,, . . ., 8„,, on aurait

A(0,0)^AO=o,

ce qui est impossible, A9 étant égal à U -h A. Nous pouvons donc introduire dans la forme quadratique

qui, divisée par dr-, donnerait la force vive, les variables 0, 9/ à la place des variables qi. On obtient ainsi une expression

nous allons chercher d'abord les valeurs des coefficients B, B,-. D'après l'équation précédente, on a

Or, lorsque Q varie seule, les équations du mouvement sont vérifiées; cela résulte de ce que 9,, . . ., 9«, sont les intégrales du système (26). On a donc

/o^x dgt , dt

^ désignant la dérivée de 9 par rapport au temps dans le mouvement naturel. On déduit de là

àqk /"V '\ '^^t dt

<^ikqi -;tk =Pi

d% ^ ' dd

ou encore

(38) yaJ-^ = ~^'.

Si l'on multiplie cette équation par -^^- et si l'on ajoute toutes les équations semblables, on aura

W« i'J' ^J^ / V <^o ^7 A dt

OU, en remarquant que, d'après les formules relatives au changement de variables, le coefficient de -j^ est l'unité,

L'emploi de la formule (Sy) nous permet d'éliminer les dérivées -^ et nous donne

ou, en tenant compte de l'équation des forces vives, (39) ^^=2(U-^A).

Telle est la formule qui fera connaître la dérivée de Q dans le mouvement naturel. On en déduit la valeur suivante de B :

dh'- 2(U — A)

Calculons maintenant la valeur de Bp. Si l'on multiplie les deux membres de l'équation (38) par -r^, on aura, en ajoutant toutes les équations semblables,

'p-^j^"ik ^Q ^ft - ^fj

et, comme le second membre est évidemment nul d'après les formules relatives au changement de variables, on aura

En portant les valeurs de B et de Bp dans l'équation (35), on sera donc conduit à l'identité fondamentale

(4o) {i\:-^h)^^aikdqidqk = dfi*-~-f{d^i, ...,rf9„-,).

f désignant une forme quadratique des n — i différentielles <f9i, . . ., dhn-\ qui sera nécessairement définie positive.

o68. Telle est la formule établie par M. Lipschitz. On peut en

492 LIVRE V. — CHAP. Vin.

déduire une démonstration nette et précise du principe de la moindre action. Sous la forme qui lui a été donnée par Jacobi ('), ce principe peut s'énoncer comme il suit :

Étant données deux positions (Po) et (P,) du système mobile, imaginons tous les déplacements continus qui amènent le système de la première position à la seconde, les vitesses satisfaisant à chaque instant à l'équation des forces vives

Si l'on considère l'intégrale

(40 / > m^2^^= / ^'lU -i- ■2hi/ yyaa-dqtdq,,,

relative à chacun de ces déplacements, elle sera moindre pour le mouvement naturel que pour tous les autres déplacements.

Nous verrons plus loin, en effet (n" 571), que la variation première de l'intégrale précédente est toujours nulle lorsqu'on passe du mouvement naturel à tout autre mouvement infiniment peu différent amenant le système de (Po) en (P,). Nous allons démontrer ici une proposition plus précise et prouver que l'intégrale sera réellement un minimum lorsque la position (P<) sera suffisamment voisine de (Po)-

Soit, en effet, (y) un des mouvements naturels; considérons une famille orthogonale de solutions (F) à laquelle appartiendra le mouvement (y). On peut, par exemple, choisir toutes les solutions correspondantes à une position initiale (P') qui soit l'une de celles que prend le système dans le mouvement naturel. Constituons un domaine continu de positions, caractérisé, par exemple, par certaines inégalités auxquelles doivent satisfaire ^,, ^2) •••? qni assujetti à l'unique condition que la solution 9 de l'équation (aS), qui caractérise la famille orthogonale, y reste finie et uniforme, ainsi que ses dérivées premières, sauf peut-être pour une certaine position déterminée (P"). Supposons, de plus, que

(') Vorlesungen uber Dynamik, sixième Leçon.

ce domaine comprenne dans son intérieur une partie des positions qu'occupe le système mobile dans le mouvement (y). Si (Po) et (P, ) désignent deux de ces positions, nous allons montrer que

rintégrale

à laquelle nous donnerons le nom d^action, sera plus petite dans le mouvement naturel que pour tout autre mouvement s'accomplissant, entre les mêmes positions, à l'intérieur du domaine défini plus haut. En effet, il est impossible que deux positions différentes (Pq)) (P«)' comprises à l'intérieur du domaine défini, appartiennent à deux solutions distinctes de la famille orthogonale, correspondantes à la détermination de 0 que nous avons choisie. S'il en était ainsi, une des deux positions (Pq), (Pi ) serait distincte de (P) et, comme les vitesses relatives à cette position

sont déterminées par les équations (26), où les dérivées - — ne

sont, d'après l'hypothèse, ni infinies, ni indéterminées, il en résulterait que les deux solutions distinctes correspondraient à la même position initiale et aux mêmes vitesses initiales, ce qui est évidemment impossible.

D'après cela, évaluons l'action ^ en nous servant de la formule (4o). Nous aurons

p.) '(P«) Dans le mouvement naturel on a

f/Oi = f/6i = ...= rfe„, =0;

et, d'autre part, — étant toujours positive d'après la formule (Sg), 0 est une fonction croissante. On aura donc

Si Ton considère maintenant tout autre mouvement s'accomplissant dans le domaine défini, il ne peut, d'après la démonstration précédente, réunir les deux positions (Pq), (P.) et constituer

une solution de la famille orthogonale correspondante à la détermination de Q que nous avons choisie. Par suite, les différentielles d^,, ..., d^n i ne seront pas toujours nulles dans ce second mouvement; et, comme / est une forme définie positive, l'intégrale ^, évaluée dans le nouveau mouvement, sera supérieure à

et a fortiori à

^(Pi)

Or, la fonction 0 étant bien déterminée à l'intérieur du domaine, celte dernière intégrale est toujours Q,p^) — 0,p^). La proposition que nous avions en vue est donc établie.

Supposons, en particulier, que la famille orthogonale considérée soit celle qui est formée par toutes les solutions qui ont en commun la position initiale (Po). Soit 9 l'intégrale correspondante de l'équation aux dérivées partielles, à laquelle on pourra toujours ajouter une constante, de telle manière qu'elle s'annule pour la position (Pq). Le domaine continu pourra être ici caractérisé par l'inégalité (^)

A étant une constante positive choisie par l'unique condition que 0 et ses dérivées ne deviennent ni infinies, ni indéterminées à l'intérieur du domaine. Alors l'action, dans le mouvement naturel qui s'effectue à l'intérieur du domaine entre la position (Po) et une autre position (Pi) comprise dans le domaine, sera un minimum absolu. Car, d'après la démonstration précédente, elle est plus petite que celle qui est relative à tout autre mouvement s'accomplissant dans le domaine; mais elle est aussi inférieure à celle qui se rapporte à tout mouvement sortant des limites, puisque déjà l'action dans ce mouvement, étendue sevilement jusqu'à la première position pour laquelle il sort du domaine, est au moins égale à A et, par suite, supérieure à O(p^). Ce raisonnement ne diffère

(') La définition complète et précise de ce domaine exigerait quelques développements qui sont analogues à ceux que nous avons donnés aux n°" 518 et 521 relativement aux lignes géodésiques.

que par le nombre des variables de celui que nous avons présenté au n° o21.

569. La démonstration précédente établit donc, sans l'intervention du calcul des variations et par des méthodes purement algébriques, le principe de la moindre action ; sous ce point de vue, elle doit être rapprochée de celle que M. Liouville a fait connaître dans un article inséré en i856 aux Comptes j'endus ('). Nous allons indiquer rapidement une méthode nouvelle qui conduit aux résultats obtenus par l'illustre géomètre.

Désignons par tjsï les expressions

mi = «a dcji -^ «,0 dq-i

Oin dqn-

qui sont égales aux quantités /?, multipliées par dt^ et considérons la forme quadratique

«Il

«/Il agi

«in

àqi

àqn

TS

de

àqn

On reconnaîtra aisément qu'elle est toujours positive ou nulle et qu'elle ne peut s'annuler que si 1 on a

dqi

àqi

de

àqn

Cela posé, désignons par les notations 6h> ^«2» ^2t» ^22 les quatre éléments qui sont des zéros et qui appartiennent aux deux dernières lignes et aux deux dernières colonnes. Une formule

(') J. Liouville, Expression remarquable de la quantité qui, dans le mouvement d'un système de points matériels à liaisons quelconques, est un minimum en vertu du principe de la moindre action {Comptes rendus, t. XLII, p. 1146, et Journal de Liouville, 1' série, t. I, p. 297; i856).

déjà rappelée (p. 124) nous donnera la relation

On établit immédiatement, ou par des combinaisons faciles de colonnes, que l'on a

d^K ^ dK

àbii db^i

= D> J^ = - ^^^a^k dqt dq,,

0612 db<i2

D et AQ étant les expressions déjà définies par les formules (5) et (24). En portant ces valeurs dans l'équation (46), on trouvera

AO^^a,/- dqt dq/, = d%^' -h ~.

Si l'on suppose maintenant que 9 satisfasse à l'équation

AO =2(U4-/i), on aura

(47) 2(U + h)^^^aii,dqidqk = c^O^ + ^ .

Cette équation, qui doime, comme la formule (4o), une expression de l'action élémentaire, peut remplacer cette identité et jouerait le même rôle dans la démonstration que nous avons donnée du principe de la moindre action. Au reste, on peut déduire très aisément la première formule de la seconde.

En effet, d'après l'expression (45)5 on reconnaît immédiatement que K est une fonction quadratique des binômes

àqic àqi

Toutes ces quantités, s'annulant lorsqu'on se déplace sur une trajectoire, en vertu des équations différentielles (26), seront nécessairement de la forme

-^ sera donc une forme quadratique des différentielles <i8i, dh^, ...,

d^ii-\ • Cette remarque suffît à montrer que l'équation (4o) est une conséquence de la formule (47)'

oTO. Xous négligerons ici ce qui concerne le principe d'Hamilton. Il suffirait, pour établir ce principe et reconnaître qu'il j a réellement un minimum de l'intégrale correspondante, de répéter la démonstration du n" 546, en substituant partout au terme 3-2 c^; la fonction /(û^,, ...,</9„,) qui figure dans la formule (4o). Nous insisterons, au contraire, sur la généralisation suivante d'un résultat établi au n** o34.

Lorsqu'on connaîtra une intégrale complète 6 de l'équation (20), on pourra prendre pour les fonctions S,, ..., 0„, les dérivées de H par rapport aux constantes c,. Posons

d6 dci

dci dck '

nous allons voir que l'on peut exprimer entièrement le second membre de la formule (4o) en fonction de 8 et de ses dérivées.

Remplaçons partout dans cette formule la caractéristique d par </— Ao et égalons les coefficients de A dans les deux membres; nous aurons la relation

(48) 1{\J -^ h)^^^aikdqilqk = d(il^ ~ '-^-^l^i.

qui est équivalente à léqualion d'où on l'a déduite, mais qui contient deux systèmes de différentielles. Les deux membres peuvent être considérés comme dépendant des 4/i — i variables 9ii dqkt ^qk', O.- Laissant toutes les autres variables constantes, différentions par rapport à c>.. En remarquant que le premier membre ne contient pas o. et que l'on a, généralement,

d , ^ du

-r—du = d ,

dc\ oci^

nous trouverons le résultat suivant

Gela posé, choisissons pour les différenlielles o^,, valeurs annulant 88,, ô9o, . . ., û9„,. Si l'on pose

. , o<7/i des

àqi

()0 àqn

dOi

^Oi

dqi

àqn

àq\

àqn

les valeurs de 8^,, ..., oqn seront proportionnelles aux coefficients

de —, • • ., -— dans le déterminant précédent. Si l'on désigne par

dqi àqn

la notation {ik) ce que devient ce déterminant lorsqu'on y remplace 6 par 0/A, l'équation précédente nous donnera

tous les autres termes disparaissant en vertu de l'hypothèse faite sur 6^, , . . . , oq,,. Si l'on joint aux équations précédentes l'identité

JL

àd^.

dOi,

on pourra éliminer toutes les dérivées i j^ et obtenir l'équation

ner toutes

les aerivees - -r-^ et •2 à d^i

(i,n-i) c/Oi

qui fera connaître /.On trouve ainsi

ddn-i o

D' désignant le déterminant

Ainsi la forme quadratique 2{{j -i- /i)\\aikdqidqk, qui représente ce que l'on peut appeler le carré de V action élémentaire ^ sera entièrement exprimée en fonction de ^ et de ses dérivées par une formule où ne subsistera plus rien d'inconnu. Ce résultat comprend, comme nous l'avons annoncé, celui qui a été démontré au n° o34.

571. La variable i joue un rôle très effacé et disparaît presque complètement dans les raisonnements précédents. On aurait pu l'éliminer dès le début et retrouver ainsi, d'une autre manière, les résultats que nous venons d'établir. La question est assez importante pour que nous indiquions rapidement ce nouveau mode d'exposition.

On peut, en employant le principe des forces vives, faire disparaître le temps des équations de Lagrange. Si l'on pose, eu effet,

^ ( T ) = 22 «a- dqt dqk,

les équations de Lagrange s'écrivent comme il suit :

a , ■ -7- r -i — - — dt - — = o.

\^oaqi dt J dt dqt dqi

Or on a, d'après le principe des forces vives.

Si l'on porte cette valeur de dt dans les équations de Lagrange, elles prennent la forme

djl) y/U-^A v/(T) d^ ^^i ^{T) U-i-h àqi

ou, plus simplement,

(^^> ^^-rf^v/(U-^A)(T)-^-yCU-^/i)(T) = o.

5oo LIVRE V. — CHAP. VIII.

Ce sont celles auxquelles on serait conduit en égalant à zéro Ja variation première de l'intégrale

(53) f \{{r~hj{T) = '- f \/'i{V + h)yyaadqidq,. .

Posons ( ^4 ) (^^^ = (2U -i-'ih) ^^ «/A- <^(7i dq//,

ds désignera ce que nous avons appelé Vaction élémentaire , et l'on voit que la solution du problème général de la Mécanique est ainsi ramenée à la recherche du maximum ou du minimum de l'intégrale

/ ds,

où ds- désigne une forme quadratique assujettie à la seule condition d'être définie positive. C'est en cela que consiste le principe de la moindre action; et l'on reconnaît immédiatement, grâce à ce principe, que le problème général de la Mécanique n'est qu'une extension à un nombre quelconque de variables du problème de la recherche des lignes géodésiques. C'est à ce point de vue que nous allons nous placer maintenant en prenant pour guide un beau Mémoire de M, Beltrami (' ).

572. Etant donnée la forme quadratique ( 55 ) ds"' =2d^u^''' ^^^ ^^'^■'

si l'on fait un changement de variables qui donne y]^«/A- dqi dqi; =^^^/A- dri dr^, on aura aussi, en introduisant deux systèmes de différentielles,

(') E. Beltrami, Sulla teorica générale dei parametri differenziali {Memorie dell' Accademia délie Scienze dell' Istiluto diBologna, série 2', t. VIIF, p. 549; 1869).

LE PROBLÈUE GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 5oi

Par suite, l'angle (ds, os), défini par l'équation ( 56 ) ds os cos{ds, o*) = ^ 7 a a- dqi Zqt,

sera un invariant. Dans le cas où la forme est définie, on s'assure aisément, par l'emploi dune identité deLagrange, quecos(c^5, Zs) est en valeur absolue inférieur à Tunité. Nous dirons que 1 élément (ds, os) est V angle des deux directions définies par les deux systèmes de différentielles </ et 0. Deux directions seronl perpendiculaires lorsqu'on aura

icqt, = o.

Étant donnée une relation quelconque

(58) o(qi,gî-,-.qn) = o.

elle définira ce que nous appellerons une sur/ace. Supposons que Çti ••'} Çn varient sans cesser de satisfaire à cette équation; leurs différentielles de\Tont, à chaque instant, vérifier la relation

Nous réserverons le nom de ligne à l'ensemble des valeurs de <7i, ..., q„ qui sont des fonctions données d'un paramètre variable t. Nous ne considérerons dans ce Chapitre que des lignes et des surfaces. Une ligne et une surface ont, en général, un nombre limité d'éléments communs. La condition d'orthogonalilé de deux lignes avant un élément commun sera exprimée par la formule (d-), où les caractéristiques c? et o se rapportent respectivement aux déplacements effectués sur les deux lignes.

Si une ligne et une surface ont un élément commun, nous dirons que la ligne est normale à la surface lorsqu'elle sera normale à toutes les liçnes de la surface contenant l'élément commun. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que louait

( 60 ) S2 "'* dqiOqk = o.

5o>, LIVRE V. — Cil A P. VI II.

la dilTérenlielle d se rapportant à un déplacement sur la ligne et la différentielle o à un déplacement sur la surface. Si la surface est représentée par l'équalion (58), les différentielles tiqi satisfont à la seule condition (ap). Il faudra donc que les coefficients des différentielles ùqi dans les deux équations (57) et (09) soient proportionnels. On est ainsi conduit au système

où X est un facteur de proportionnalité.

Si on le résout par rapport aux dérivées -— , on obtient les valeurs suivantes

les sjmboles A//, et D désignant les quantités déjà définies, c'està-dire le déterminant | ain \ et ses mineurs du premier ordre. Gomme on a

x^yy^- i? i? -r

la multiplication des équations (61) et (62) donnera En posant ici encore

(6/i) Ao=yy^^ii^-^,

on trouvera

Aci

Si l'on remarque maintenant que l'ensemble des termes qui multiplient --|^' dans l'équation (63) est égal, d'après la for-

mule (Oij, a A— ^, on peut encore écrire cette équation sous la lorme suivante

.^^dqi as

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DVNAMIQUE. 5o3

ce qui donne

la différentielle d-:^ se rapportant à un déplacement qui s'effectue sur la courbe normale à la surface. La comparaison des formules (65) et (66) nous donne donc

et cette expression montre immédiatement que Ai est un invariant (*).

o73. Ce fait essentiel peut aussi être établi de la manière suivante. Considérons la forme quadratique ds- et cherchons la fonction m, telle que la différence

as >

considérée comme fonction de dcji, ..., dqn, se réduise à une somme de n — i carrés. Si l'on prend les dérivées de la différence précédente par rapport à dq\^ dq^^ ...,dq„^ on obtient les n équations

^aikdqk -r- d(i = o, (£=1.2 ni.

^mà m aqi

dont le déterminant devra être nul. On peut leur adjoindre l'équation

qui définit </0. En éliminant cfS, c?^i, . . . , dqn-. on est conduit à une équation qui donne précisément

m = AO.

La fonction m étant, d'après sa définition même, un invariant, il en sera de même de AQ.

(') E. Beltrami, Mémoire cité.

5o4 LIVRE V. — CHAP. VIII.

57i. Puisque la différence

se réduit à une somme de n~i carrés, qui sont même positifs quand la forme est définie positive, on est conduit à introduire l'élément (8, ds) défini par l'équation

(68) -fi =^^sin(e,^*).

\/ao .

L'élément (Q, ds) sera dit Y angle àe la surface (6) et de la courbe à laquelle se rapportent les différentielles dqi. Cette définition est d'accord avec celle que nous avons déjà donnée plus haut pour l'orthogonalité, puisque alors on aura, d'après la relation (67),

sin2(6, <^5) = 1.

De l'invariant AQ on déduit immédiatement le suivant (*)

qui est le coefficient de il dans le développement de A(8 + X8,), ordonné suivant les puissances de la constante \.

Cela nous conduit à introduire encore l'élément (9, Q,) défini par la formule

A(o,ei)

(70) cos(0, Oi)

qui sera V angle des deux sui^faces (9), (9,).

En résumé, nous avons défini, au moyen des invariants qui se sont présentés successivement, l'angle de deux lignes, de deux surfaces, d'une ligne et d'une surface. On vérifiera aisément que

(') On peut donner pour A(0, 6J une formule analogue à l'équation (67). On a, en effet,

A(0,9,)=v/Â9^i', la différentielle d se rapportant à un déplacement normal à la surface (6).

LB PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 5o5

ces angles ne changent pas lorsque la forme est multipliée par une fonction quelconque des variables indépendantes. Si l'on considère des lignes et des surfaces avant un élément commun, l'angle dune ligne et d'une surface est le complément de l'angle que fait la ligne avec la direction normale à la surface; l'angle de deux surfaces est égal à celui des lignes qui leur sont normales. Des calculs élémentaires établissent ces propositions, qu'il était aisé de prévoir et que le lecteur vérifiera sans peine.

o7o. Nous allons maintenant indiquer une conséquence intéressante de lun des résultats précédents. Nous avons vu que la différence

M*- (70 ds^-^

est toujours réductible à une somme àe n — i carrés

Égalons à zéro chacun de ces carrés; nous aurons un système d'équations différentielles

B,i dqi -h ...-;- B/„ dqn == o,

au nombre de n — i . Désignons par 0|, Ôo. ..., ^h-\ les n — i intégrales de ce svslème, c'est-à-dire les fonctions qui, égalées à des constantes, donnent les relations les plus générales entre les valeurs de gr,, ..., q„ qui satisfont à ces équations. On aura évidemment n — I identités de la forme suivante :

P, = C/,c^O,— C/2^i — ...— C,,„icffl„-i (t = 1,2 n — i);

et, par suite, la différence (71) prendra la forme

ds^—^^fy{d^, d^n-^),

/, désignant une forme quadratique des n — i différentielles d^i. Celte égalité ne peut exister que si les fonctions 0, Q, , . . • , ^n-% sont indépendantes les unes des autres; et, par suite, en les substituant aux variables primitives, on pourra exprimer Aô et les coefficients de/, en fonction de Q, Oi, . . ., ^n-i-

[ïïiri7BRSIT7]

5o6 LIVRE V. — CIIAP. Vin.

Ainsi, par un changement de variables qui exige seulement V intégration de n — i équations différentielles ordinaires, on peut toujours ramener la fonction quadratique ds- à la forme suivante

^72) ds^^= — -:-/i(^0, t/0„O.

oi( 0 est une fonction arbitrairement clioisie, assujettie à l'unique condition que A9 ne soit pas nul.

lin particulier, si l'on a

AO = 1, on trouvera

(73) f/52= rf02 + /i(f/0i,...,t^0„i).

Cette remarquable proposition, à laquelle on pourrait aisément ramener la précédente, est due à M. Beltrami. Elle joue dans la théorie des formes à n variables le même rôle que la proposition de Gauss relative aux lignes géodésiques (n°^ 519 et o31).

On peut définir d'une manière élégante le système des équations différentielles dont l'intégration fera connaître les n — i fonctions 0,- lorsqu'on aura choisi la fonction 9. Il suffit, pour cela, de s'ajipuyer sur les propriétés d'invariance du symbole A(9, ^^).

Si l'on cherche, en effet, les fonctions u satisfaisant à l'équation

on trouve aisément, en calculant A(0, u) avec le second membre de l'équation (73), que l'équation précédente se réduit à la forme

simple

du

Par suite, elle admet les n — i intégrales indépendantes 0,, O2, • . . , 9/i). Il suffira donc d'écrire avec les variables primitives l'équation linéaire

les n — I intégrales indépendantes de cette équation linéaire se-

ronl les fonctions que 1 on devra associer à h pour obtenir le nouveau système de variables.

Si la fonction quadratique c/s- est telle qu'il existe une équation aux dérivées partielles