OT = O
oz
La solution générale de cette équation du premier ordre est de la forme
c3 désignant une fonction arbitraire de S). Comme X, Y, Z, T sont des valeurs particulières de t, on voit que les rapports mutuels de ces quantités seront des fonctions de pi; et, par suite, la surface (S,) se réduira à une courbe.
Supposons maintenant que la fonction h ne soit pas nulle. Des
équations (19) et (20) on pourra déduire les valeurs de 8, -^1 qui seront
(22) h^ = hz -r- —y
dp
en égalant la valeur de -7 — fournie par la seconde formule à
àpi
celle que l'on obtient par la différentiation de la première, on trouvera pour t l'équation
] dTdfi ~^ \ dpi ) dp
^*^^ j àj / da db , dlo£rA\
1 âpi \ dp dpi àpi ]
Telle est l'équation à laquelle satisferont les coordonnées X, Y, Z, T d'un point quelconque de (S,).
Nous sommes ainsi conduits, par une voie purement géométrique, à une méthode de transformation des équations linéaires aux dérivées partielles. Cette méthode, très importante, est due à Laplace qui l'a développée dans les Mémoires de l'Académie des
