NOTIONS GÉNÉRALES SLR LES CONGRUENCES. I

t; elle doit donc être vérifiée identiquement (n" 99), ce qui donne À = a, q — — o, p = — — c.

Les formules (12) et (i3) se transforment donc dans les suivantes

dr (.4) X-— -ax, ....

où tout est connu et qui définissent complètement la nouvelle surface (S,). Pour obtenir (2,), il suffirait d'échanger les deux variables 0 et 0, .

324. Supposons, par exemple, que les coordonnées jr, j', ;, t soient données par les formules

^= D(p rf)'/i(p, d)".

où a, b, c, d désignent maintenant des constantes quelconques, et qui ont été déjà employées au n° 112 [I, p. 142] ; x, y, z, t sont des solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles

(? — ?«) :j7-rr — " x: — "' tt = »•

oj opi dp opi

Pour définir la surface dérivée, on emploiera les formules (i4) qui nous donnent ici

ipi—a)(p — pi) (p^ — f,){p — pi)-

On peut multiplier les quatre coordonnées homogènes par le facteur —; ce qui conduit aux formules définitives

i" X= A(p — a)'"-^' (pi — «)«-!.

Ce sont les équations primitives dans lesquelles m, n sont remplacés respectivement par m -^ i , n — i . En poursuivant l'application de la méthode, on obtiendra pour la surface (Sj) le système

;■ X/ = A(p — «)'«+'• (pi — «)«-',

^ j Z; = C.{p—cY^+i{p, - c)'^-^,

qui convient, on s'en assure aisément, à toutes les valeurs entières, tant positives que négatives, de i. La suite obtenue sera illimitée dans les deux sens toutes les fois que les nombres m et n ne seront pas entiers. Mais si n, par exemple, était entier et positif, la surface (2,^) se réduirait à une courbe, et l'application de la méthode serait arrêtée à partir de (S,,).

325. Revenons aux formules générales (i4) et (i5); les coordonnées a;, y, z, t d'un point de la surface primitive (S) sont des solutions particulières de l'équation (i i) : cherchons l'équation de même forme à laquelle satisfont les coordonnées X, Y, Z, T d'un point de la surface (S,). La formule (i4) nous montre qu'il faudra faire la substitution

L'équation (i i) peut être mise sous la forme

dp \ dpi j ()pi

on a donc

ôp \dp j

àpx

et cette formule est d'ailleurs identique à l'équation (i5) que nous aurions pu poser a priori. Pour obtenir l'équation à laquelle satisfait o-, il faudra éliminer 8 entre les équations (19) et (20). Supposons d'abord que la quantité

, àa ,

soit nulle : alors il sera impossible de résoudre les équations (19)