Considérons l'équation linéaire aux dérivées partielles

, ^ d'-z âz Oz

(i) - — , (i o — ^ cz = o,

^ ^ dxdy dx Oy

OÙ a, 6, c désignent des fonctions quelconques de or et de j^; elle peut être mise sous l'une ou l'autre des deux formes suivantes :

I àx\ov I or \ Hxj

Introduisons les deux fonctions h et k définies f)ar les relations i h— - — - ab — c,

y dx

\ dy

Si h est nulle, la première des équations (2) peut se mettre

24 LIVRE IV. — Cil A P. II.

SOUS la forme

et, par suite, la détermination complète de toutes les intégrales de l'équation (i) se ramène à l'intégration successive des deux équations du premier ordre

intégration qui n'exige que des quadratures.

De même, si k est nulle, la seconde des équations (y) prend la forme

et l'on pourra remplacer l'équation proposée par le système suivant

-J- az i = o,

ôz

\- bz = Z^i,

tout à fait semblable au système (4)-

327. Supposons maintenant que h et A" ne soient pas nulles : nous allons montrer que ces fonctions jouissent de propriétés d'invariance, qui ont une grande importance dans l'étude de l'équation proposée; nous envisagerons successivement les substitutions

z = X;:'; x = o{x'), jK = <l>(y);

qui ne changent évidemment pas la forme de l'équation proposée. Faisons d'abord

\ étant une fonction quelconque de x et de y. L'équation en :: '

sera

/ d^z' f d\o?L^.\dz' I d\ovC).\dz'

Ma: dx V ' . dy } dx \ dx j dy

^^^ i / dlo-X , ()lo£rX I d^-\ \ ,

\ \ Ox oy K ox oy J

On calcule sans difficulté les nouvelles valeurs des fonctions h et A- : on trouve ainsi que ces fonctions n'' ont pas changé. Effectuons maintenant la substitution

L'équation (i) deviendra

Les nouvelles valeurs h', A' de h et de A- seront .g. i ^'= ho'ix')^'iy'),

Enfin la substitution

échangera les valeurs de h et de A\

Toutes ces propriétés justifient le nom d'invariants que nous donnerons à A et A".

328. Lorsqu'on remplace :; par a;, on a, nous Tavons vu, une équation de même forme

d^z ,dz ,,dz

dx dy dx dy

OÙ a', b' , c' ont les valeurs suivantes :

f , (JloeX , dXo?.! I d^\

' âx dy A dxdy

et qui admet encore les invariants h et A. On pourra toujours

déterminer la fonction )., de telle manière que l'on ait

En effet, en remplaçant a', b', c' par leurs valeurs, nous obtiendrons l'équation

(11) — — - =r= ah — c,

qui fera connaître log). par une double quadrature. Nous appellerons équations réduites toutes celles dans lesquelles la relation (lo) sera satisfaite. Il y a une infinité de formes réduites correspondantes à une équation donnée. Pour supprimer cet inconvénient, nous conviendrons de faire la quadrature double indiquée par la formule (ii) de telle manière que a' s'annule pour a: = Xq quel que soit y, que b' s'annule pour j/ = j-„, quel que soit x. Ces conditions détermineront parfaitement les deux fonctions arbitraires introduites par l'intégration de l'équation (i i).

La forme réduite ainsi définie peut se calculer exclusivement au moyen des invariants; car on a, par suite des expressions de h

et de /c,

da' , db' ,

et, par conséquent,

hdx, ^'~ f ^^' <'{>') c'=a'b'.

Il suit de là que deux équations linéaires ayant les mêmes invariants peuvent toujours se ramener l'une à Vautre par la substitution

Les formules d'identification (9) donneront d'ailleurs ■ " 7 — -—■ et, par conséquent, A sera détermine a un lacteur constant

329. On peut encore adopter d'autres formes réduites pour l'équation proposée. Les formules (9) montrent immédiatement

que I on pourra, par exemple, disposer de )v de telle manière que d s'annule identiquement et que h' s'annule pour y = l'o- Alors

on aura

, àa' .,, ■ , .

db' ,,. , db' k = ^ a b — c = c

Oy Oy

et, par suite,

c' = ~h, ^— I (^" — h)dy-> «'=o.

La forme réduite serait donc

(i3) f^ -^.\ f^ (k-/i)dyy-f--hz^o.

^ ^ Oxôy \J^^ ' -^ \ày

Il est clair que l'on pourrait, par l'échange de x et de j , obtenir la forme analogue

où le terme en -r^ a disparu. On reconnaît ainsi que, dans le cas

où les invariants sont égaux et dans ce cas seulement, on peut ramener l'équation proposée à la forme

dx Oy

330. Après ces remarques et ces définitions préliminaires, nous allons exposer la méthode de Laplace.

Supposons que les invariants h et k ne soient pas nuls. Nous pourrons substituer à l'équation proposée (i) deux équations de même forme dont l'intégration entraînera celle de Téqualion (i).

Faisons d'abord la substitution définie par la formule

dz (o) z,= --az.

L'équation proposée pourra s'écrire

■20 LIVRE IV. — Cil A P. II.

L'élimination de z entre ce.s deux équations conduit, nous l'avons vu, à l'équation nouvelle

dx dy dx dy

où l'on a

. o, àlo^h , , ùa ùh ,à\oii/i

{18) ai = a -^—, ùi = 0, ci = c— — -+-- ^>^T^--

ày dx ôy ôy

Les nouvelles valeurs des invariants seront

,)Ji^-k —

(19) / " dx dy

Elles s'expriment, comme il fallait s'y attendre, uniquement en fonction des invariants de l'équation donnée. Effectuons de même la substitution

ûx nous aurons

(21) kz = ---^ -^-az-u

et nous serons conduits pour ^„, à l'équation

/ , d'^z-i dz^'^ , dz-i

dx dy dx dy

avec les valeurs suivantes des coefficients

/ o, Il dXc^r^k db da d\o"k

<)x dy dx dx

Les valeurs correspondantes des invariants seront

04 ) J , , , d^-\0<rk