JA-, --:./.-/.
Ainsi, par les deux substitutions indiquées, on déduit de l'équation proposée, que nous désignerons par la lettre (E), deux équations nouvelles (E< ) et (E< ). On peut évidemment appliquer la
même méthode à ces deux équations ; mais il importe de remarquer qu'elle ne donnera pas deux équations nouvelles pour chacune d'elles. La formule 1^2 i;, mise sous la forme
nous montre que la première des deux substitutions appliquée à l'équation (E, ) nous ramènerait à l'équation proposée dans
laquelle z serait remplacée par j-, et la formule (16) montre de
même que la deuxième substitution, appliquée à (E,), nous ramènerait à l'équation proposée dans laquelle :; serait remplacée
Si donc on regarde comme équivalentes deux équations qui se ramènent l'une à l'autre par le changement de z en A:; et qui ont, par conséquent, la même réduite et les mêmes invariants, on voit que les substitutions de Laplace appliquées successivement nous donneront seulement une suite linéaire d'équations
..., (E-O, (E-iX (E), (El), (E,), ...
à indices positifs et négatifs, dans laquelle chaque équation (Ej) se déduira de l'équation (E/,) par la première substitution et de l'équation (E/^., ) par la deuxième. Si l'on remplace partout, pour éviter toute confusion, les variables x ely par p et p,, et si l'on se reporte à l'interprétation géométrique de la méthode de Laplace donnée au Chapitre précédent, on reconnaîtra que, (E) étant l'équation relative au svstème conjugué tracé sur la surface (-), (Et) sera l'équation relative au système conjugué tracé sur la surface (S/).
331. Les invariants des équations (E,) se déduisent les uns des autres par l'emploi répété des formules (19) et (24). On trouve ainsi
,.5) p'--^'''-^'--7)^ijr'
' Av+1 = hc.
Ces formules peuvent être résolues par rapport à hi et /./; et
3o LIVRE IV. — CIIAP. II.
elles donnent
dx ôy
On pourra d'ailleurs attribuer à l'indice i toutes les valeurs
entières, positives ou négatives; on retrouve, par exemple, les
formules (19) et (24) en faisant t = o et i =^ — i. On pourrait
aussi, au lieu de considérer deux séries de quantités hi et A"/,
introduire seulement les quantités lit. On aurait alors une suite de
quantités
..., /i-2, h-i, h, hi, lii, ...
se déduisant les unes des autres par la formule de récurrence
(27) A,vi + /.,•-! = . A/ --^--^-,
et les invariants de l'équation (E/) seraient ht et hi\. L'équation (E) fournira donc les deux termes consécutifs Ji et li\\ et la relation précédente permettra de calculer les autres de proche en proche.
11 est difticile d'obtenir directement l'expression de ht en fonction de h et de /i( . On peut signaler cependant la relation
( 28) hi+x =-- hi -^h — k— ^ '
dx ùy
qui s'obtient par la combinaison linéaire des équations (2^).
Les formules relatives à la sul^stitution par laquelle on passe de l'équation (E^) à l'équation (E) peuvent être écrites sous une forme où ne figurent plus que les invariants des équations intermédiaires. Si l'on se reporte, en effet, aux équations (18), on reconnaît que le coefficient b de l'équation linéaire demeure toujours le même si l'on applique indéfiniment la première substitution. La formule (16) donnei'a donc, en général,
-- -^ bzi = hi-iZi-i ox
OU
LA MÉTHODE DE LAPLACE. Il
L'application répétée de cette formule conduit à la suivante
qui détermine z en fonction de z-i et de ses dérivées par rapport à X prises jusqu'à l'ordre i. En opérant de même avec la formule (i5), on obtiendra l'équation
(3o) z, = e-^^<^M, . . . /,,, ±-^^...! ±{zef<"'>\
ôy hi-i dy h dy ^ ^
qui fait connaître z-i en fonction de ;;.
Il existe, évidemment, des formules analogues relatives à la deuxième substitution; il suffira d'ailleurs, pour les obtenir, d'échanger, dans les formules précédentes, tout ce qui se rapporte aux variables x et y.
332. On peut se proposer un grand nombre de questions différentes au sujet de la suite d'équations linéaires fournie par la méthode de Laplace. Examinons, par exemple, les cas les plus simples dans lesquels la suite sera périodique. Si Ton veut que toutes les équations de la suite soient identiques, il suffira que l'équation (E, ) soit identique à (E), c'est-à-dire que l'on ait
Aj = h, kl = k.
Les formules (19) nous donneront alors
à^dy
En adoptant pour nouvelles variables x, y des fonctions convenablement choisies de x et de t', on pourra réduire la valeur de h à l'unité (n° 327). L'équation ( E ) aura donc pour forme réduite (n°329)
dx ÔY
On reconnaît, en effet, immédiatement que la méthode de Laplace transforme cette équation en elle-même.
Si l'on veut que les équations (E/) se reproduisent de deux en deux, il suffira que l'équation (E2) soit identique à l'équation (E),
c'est-à-dire que l'on ait
A.2 = h, ki = /c.
On est ainsi conduit au système
1K lll ; ; — O,
ùx ôy
, , d-\o"h %n — ik r — ^ = o,
dx ôy
qui doit déterminer h et k. En ajoutant les deux équations, on
trouve
ù^-\os.hk
ôx dy
= o, hk = XY.
Ici encore, en remplaçant les variables .r, y par des fonctions nouvelles de ces variables, on peut ramener la relation précédente
à la forme
hk = I ;
tout se réduira donc à l'intégration de l'équation
dx dy \ h
que nous rencontrerons plus tard dans la théorie des surfaces à courbure constante et dans l'étude d'autres questions de Géométrie. Si l'on pose
h = e^, elle prend la forme
(3.) ^=.(ee«e-e,.
333. Nous laisserons de côté, pour le moment, l'étude de cette équation et l'examen des questions analogues que l'on peut se proposer relativement à la suite de Laplace, pour nous attacher surtout au problème le plus important, et rechercher dans quel cas la méthode de Laplace peut donner l'intégrale générale de l'équation linéaire proposée. Cette méthode ramène l'intégration de l'équation proposée à celle de l'une quelconque des équations (E/); il suffira donc que l'on sache intégrer l'une de ces équations. C'est ce qui aura lieu, en particulier, si l'un des deux invariants lii ou
Ai est nul : il importe seulement de bien définir les conditions dans lesquelles la méthode réussira.
Supposons d'abord qu'après avoir appliqué une ou plusieurs fois la première substitution, on rencontre une équation (E/) d'indice positif pour laquelle un des invariants soit nul; ce ne pourra être que l'invariant /«,, puisque l'invariant ki de cette équation est égal, d'après les formules (ao), à l'invariant /*,, de l'équation précédente (E/,\ qui, par hypothèse, n'est pas nul. Ecrivons donc
/le = o.
L'application de la méthode de liaplace sera alors arrêtée, et il sera impossible de former l'équation (E/+,): mais l'équation (E,) pourra, nous l'avons vu au n° 326, se mettre sous la forme
et elle admettra l'intégrale première
Y désignant une fonction quelconque de y. Une nouvelle intégration donnera la valeur générale de z-i qui sera
( 32) .-, = e-f"'''y U - y*Y e/«'-0-A'/- ^^\ Cette solution est de la forme
(33) -i^^O^-^f'^'î^dvY
a et ^ étant des fonctions déterminées de x et de ^; X et Y désignent les fonctions arbitraires, qui dépendent respectivement de la seule variable x et de la seule variable y.
De la valeur de Zi on passera à celle de z. Nous avons vu plus haut (n° 331) que z sera une fonction linéaire et homogène de Zi et de ses dérivées par rapport à x jusqu'à l'ordre i. La forme D. - II. 3
générale de la valeur de z sera donc la suivante
(. = a(x../yp.^)
A, A, , . . . , Aj désignant des fonctions déterminées de x et de y. On voit que la fonction arbitraire Y sera engagée en général sous plusieurs signes d'intégration. Si l'on annule cette fonction, on obtiendra la solution
(35) 5 = AX + AiX'-T-...-,-AiX<'',
qui est moins générale, mais où la fonction arbitraire X est dégagée de tout signe d'intégration.
334. Réciproquement, toutes les fois que l'équation linéaire proposée admettra une solution particulière de la forme précédente, l'application répétée de la méthode de Laplace conduira certainement, après des opérations en nombre au plus égal à /, à une équation linéaire dont l'invariant h sera nul. Pour démontrer ce point essentiel, remarquons que, si l'on substitue une expression de z de la forme (35) dans l'équation proposée, elle prend la
forme
II X H- H 1 X' + ... + H;+ 1 X^'+i) = o.
Si l'équation doit être vérifiée, comme nous le supposons, quelle que soit la fonction arbitraire X, il faudra que H, H< , . . . , H/, ) soient nuls. En effet, si ces expressions n'étaient pas toutes nulles, il suffirait d'attribuer ky une valeur arbitraire dans l'équation précédente, pour obtenir une relation linéaire entre la fonction X et ses dérivées : cette fonction ne pourrait donc être choisie arbitraireinent, ce qui est contraire à l'hypothèse.
On calcule aisément les valeurs de H/^, et de H^-. On a
()A/i , , ^'A,- , dki , dAf ^
ôy dx dy dx ùy
On voit donc que la fonction A, devra satisfaire à réqualion (36) ^V«A, = o.
En outre, si l'on égale à zéro la valeur de H/ en y remplaçant -~ par sa valeur tirée de l'équation précédente, on trouve
Ces points étant établis, appliquons la première substitution, définie par la formule (i 5). On aura
âz -1 = -; az
et, en vertu de la relation (36 ), la valeur de z^ ne contiendra plus les dérivées de X que jusqu'à lordre i—i au plus. D'ailleurs, d'après la formule (87), le coefficient de X^'"'' sera — h A,. Il ne sera donc nul que dans le cas où l'invariant h le sera.
Par conséquent, l'application répétée de la substitution nous conduira à une équation (Ey), d'indice j inférieur à i, pour laquelle l'invariant h sera nul; ou bien nous finirons par obtenir 1 équation (E,) admettant une solution de la forme
Zi=^X\.
La substitution directe montre alors que, pour cette équation aussi, l'invariant h est nul. Donc, dans tous les cas, au bout de i opérations au plus, la méthode de Laplace conduira à une équation intégrât le.
335. En rapprochant les résultats précédents, on peut parvenir à une proposition précise; mais il faut que nous présentions auparavant quelques remarques sur les expressions de la forme
qui contiennent une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé.
Il est évident qu'il est toujours possible de remplacer de telles
expressions par d'autres qui contiennent les dérivées jusqu'à un ordre plus élevé.
Substituons, en effet, à X une expression telle que la suivante
«V, i '3V' __ , ) Y(Li.)
a .Vi -1- p ^v , -1- . . . -t- A A j- ,
oii a, [3, . . . , X désignent des fonctions données de x et X, une fonction arbitraire nouvelle. La fonction U sous sa nouvelle forme contiendra les dérivées de X, jusqu'à l'ordre i -\- pi. Réciproquement, il pourra se faire que le nombre des dérivées puisse être diminué dans U par un choix convenable de la fonction arbitraire. Par exemple, la fonction
peut être ramenée à une forme plus simple, si l'on pose
