Reprenons l'identité (47) et désignons par j),, r

y^^^^ p f- I solutions particulières distinctes de l'équation linéaire

(55) ÀY - À, Y' --. . .- X^^iY-^^' = o;

T, , . . . , J'n+i seront des fonctions de y dont le déterminant

I ri yt ••• Vn+i

\rr y-r ••• y.?u

ne sera pas nul.

L'équation (47) devant avoir lieu pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire Y, remplaçons-y 1 par l'une quelconque Vi des solutions particulières précédentes. Nous aurons

^(B^V-- B, vi-. . .-B„yf) = o,

et, par suite, en intégrant

Xi désignant une fonction de la seule variable x. En attribuant à i toutes les valeurs i, 2, ..., /iH- i , on obtient ainsi n-r- i équations différentes d'où l'on pourra tirer les valeurs de B, B<, . . ., B„. Porter ces valeurs dans la formule (45) qui donne 8, c'est éliminer B, B), . . . , B„ entre les équations précédentes et la suivante

0 = BY-hBiY'-f...-4-B„Y'"' + X.

On est ainsi conduit à la valeur suivante de B

.Ti

Xn + \ J'«4-t J'/j+i

A étant le déterminant déjà défini par l'équation (")()). De la valeur de 0 on déduit celle de 5/

(58 his)

MH,

M désignant une fonction déterminée de x et àç, y dont la valeur ne joue aucun rôle dans la théorie.

Il est aisé de vérifier que la valeur précédente de B satisfait bien à l'équation (44)

;[XY^XiY'

oij l'on a remplacé Y< par sa valeur (46)? et de déterminer l'expression de a au moyen des fonctions xt, yi. La valeur de 0, ordonnée suivant les fonctions X et x/, est évidemment de la forme

UiX^-

Uii+\ 3P,i-\-lt

les coefficients ut contenant la fonction Y et ses dérivées. D'après l'expression (58) de cette fonction sous forme de déterminant, on reconnaît immédiatement que l'on a

0 = X — xi

pour

\ = yi.

Il suit de là que la dérivée sera nulle toutes les fois que l'on remplacera Y par jk/, et, comme elle est linéaire par rapport à \

et à ses n

premières dérivées, on aura Y Y'

yi y'i ••• y

dy ^

Jn+l

^ désignant une fonction qui ne contiendra plus Y. Le déterminant qui figure dans l'équation précédente est évidemment proportionnel au premier membre de l'équation (55); et, par suite, l'équation précédente est bien équivalente à l'équation (09) qu'il s'agissait d'établir, Quant à la valeur de a, on l'obtiendra, par exemple, en égalant les coefficients de la dérivée Y^""^'^ dans les deux membres de l'équation (Sg), ce qui donnera

( — rV'->

aà.

^n-t-i yii-i-i y» -ri

S'il j avait une relation linéaire quelconque entre les fonctions Xi^ a considérée comme fonction de y satisferait à une équation linéaire d'ordre inférieur à /i-i- i. Ainsi les fonctions x, doivent être indépendantes au même titre que les fonctions yi.

340. La solution que nous venons de donner offre ce grand avantage qu'elle permet de former non seulement l'équation (E/), mais encore toutes celles d'indice moindre et, en particulier, l'équation primitive (E). Il résulte en effet de la formule (29) que la valeur de ;;, satisfaisant à l'équation (E), sera de la forme

Ox-

0' Zi

iJXi '

et, d'autre part, nous savons que cette solution z sera de rang i -j- I par rapport à j: et de rang j +1 par rapport à y, c'està-dire qu'elle sera aussi de la forme

L'expression de :; résulte aisément, on va le voir, du rapprochement de ces deux formules.